add new algebra

assets/Makefile

@@ -2,7 +2,7 @@ all: build
 
 build:
 	echo -e "<!--This file is auto-generated by Makefile\n----DO NOT EDIT -->" > index.md
-	for i in `ls -1 notes/`; do \
+	for i in `find notes/`; do \
 		echo -e "---\n_Notatki z pliku \`notes/$$i\`_" >> index.md; \
-		echo -e "\`\`\`{include} notes/$${i}\n\`\`\`" >> index.md; \
+		echo -e "\`\`\`{include} $${i}\n\`\`\`" >> index.md; \
 		done

assets/index.md

@@ -1,18 +1,37 @@
 <!--This file is auto-generated by Makefile
 ----DO NOT EDIT -->
 ---
-_Notatki z pliku `notes/algebra_2023.10.09.md`_
-```{include} notes/algebra_2023.10.09.md
+_Notatki z pliku `notes/notes/`_
+```{include} notes/
 ```
 ---
-_Notatki z pliku `notes/algebra_2023.10.10.md`_
-```{include} notes/algebra_2023.10.10.md
+_Notatki z pliku `notes/notes/matematyka`_
+```{include} notes/matematyka
 ```
 ---
-_Notatki z pliku `notes/algebra_2023.10.11_zadanie.md`_
-```{include} notes/algebra_2023.10.11_zadanie.md
+_Notatki z pliku `notes/notes/matematyka/matematyka_2023.10.09.md`_
+```{include} notes/matematyka/matematyka_2023.10.09.md
 ```
 ---
-_Notatki z pliku `notes/matematyka_2023.10.09.md`_
-```{include} notes/matematyka_2023.10.09.md
+_Notatki z pliku `notes/notes/algebra`_
+```{include} notes/algebra
+```
+---
+_Notatki z pliku `notes/notes/algebra/algebra_2023.10.17.md`_
+```{include} notes/algebra/algebra_2023.10.17.md
+```
+---
+_Notatki z pliku `notes/notes/algebra/\`_
+```{include} notes/algebra/\n```
+---
+_Notatki z pliku `notes/notes/algebra/algebra_2023.10.11_zadanie.md`_
+```{include} notes/algebra/algebra_2023.10.11_zadanie.md
+```
+---
+_Notatki z pliku `notes/notes/algebra/algebra_2023.10.09.md`_
+```{include} notes/algebra/algebra_2023.10.09.md
+```
+---
+_Notatki z pliku `notes/notes/algebra/algebra_2023.10.10.md`_
+```{include} notes/algebra/algebra_2023.10.10.md
 ```

assets/notes/algebra/\

@@ -0,0 +1,34 @@
+## Macierze
+
+Oznaczenie: $M_{m \times n} (K)$ gdzie
+- m, n - wymiary macierzy
+- K - ciało na którym określamy macierz
+
+```{note}
+Dwie macierze są równe gdy ich wymiary są równe oraz wszystkie wartości są równe
+```
+
+```{tip}
+**Macierzą kwadratową** nazywamy macierz, w której $m=n$
+```
+
+```{admonition} Macierz zerowa
+to taka macierz $0_{m \times n}$ gdzie wszystkie elementy są równe 0
+```
+
+```{admonition} Macierz diagonalna
+Macierz, w której niezerowe elementy leżą jedynie na przekątnych
+```
+
+### Działania na macierzach
+
+- Dodawanie (i odejmowanie) macierzy których wyrazy są równe wykonujemy poprzez dodawanie odpowiednich wyrazów
+- Mnożenie przez liczbę - każdy wyraz macierzy mnożymy przez liczbę
+- transponowanie - wiersze zmieniają się na kolumny
+- mnożenie macierzy przez macierz macierz A musi mieć tyle samo kolumn co wierszy
+
+### Własności działań
+
+```{note}
+działania są dziedziczone ze zbioru $\mathbb{R}$
+```

assets/notes/algebra/algebra_2023.10.17.md

@@ -0,0 +1,113 @@
+## Macierze
+
+Oznaczenie: $M_{m \times n} (K)$ gdzie
+- m, n - wymiary macierzy
+- K - ciało na którym określamy macierz
+
+```{note}
+Dwie macierze są równe gdy ich wymiary są równe oraz wszystkie wartości są równe
+```
+
+```{tip}
+**Macierzą kwadratową** nazywamy macierz, w której $m=n$
+```
+
+```{admonition} Macierz zerowa
+to taka macierz $0_{m \times n}$ gdzie wszystkie elementy są równe 0
+```
+
+```{admonition} Macierz diagonalna
+Macierz, w której niezerowe elementy leżą jedynie na przekątnych
+```
+
+### Działania na macierzach
+
+- Dodawanie (i odejmowanie) macierzy których wyrazy są równe wykonujemy poprzez dodawanie odpowiednich wyrazów
+- Mnożenie przez liczbę - każdy wyraz macierzy mnożymy przez liczbę
+- transponowanie - wiersze zmieniają się na kolumny
+- mnożenie macierzy przez macierz macierz A musi mieć tyle samo kolumn co wierszy
+
+### Własności działań
+
+```{note}
+działania są dziedziczone ze zbioru $\mathbb{R}$
+```
+
+- składanie odwzorowań jest łączne, ale **nie** przemienne
+Macierz diagonalna jednostkowa jest elementem neutralnym.
+Na przykład
+$$
+\begin{bmatrix}
+1&0 \\
+0&1
+\end{bmatrix}
+$$
+
+- transponowanie:
+$$
+(A^T)^T = A
+$$
+
+```{important}
+$$
+(AB)^T = B^T A^T
+$$
+
+### Suma elementów na przekątnych
+
+$$
+tr \begin{vmatrix}
+\bf{1}&0&0 \\
+2&\bf{-7}&2 \\
+0&1&\bf{3}
+\end{vmatrix} = 1-7+3 = -3
+$$
+
+`tr` to ślad macierzy - suma elementów na przekątnej
+
+### Macierze symetryczne i antysymetryczne
+
+
+```{admonition} Twierdzenie
+każdą macierz kwadratową można rozbić na dwie macierze,
+z których jedna jest symetryczna, a druga antysymetryczna
+```
+
+### Wyznacznik macierzy
+
+```{admonition} Definicja
+wyznacznik to liczba $detA$ taka, że:
+- dla n = 1 $detA = a_11$
+- dla $n>=2$ $\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} * a_ij * detA_ij
+gdzie $detA_ij$ to wyznacznik (tzw. minor) macierzy powstałej po skreśleniu i-ego wiersza i j-tej kolumny
+```
+
+$detA = detA^T$
+
+```{tip}
+dla macierzy trujkątnych górnych i dolnych detA to iloczyn elementów na przekątnej
+```
+
+#### zmiany na macierzy nie zmieniające wyznacznika
+
+- $detA = detA^T$
+- jeżeli w jednej kolumnie są same 0, detA = 0
+- $det(nA) = n * detA~ n\in \mathbb{R}$
+- dla $A = B+C$ $detA = detB + detC
+- po zmianie kolumn miejscami wyznacznik zmieni znak
+- jeżeli dwie kolumny są proporcjonalne detA = 0
+- jeżeli kolumna jest kombinacją liniową pozostałych detA = 0
+- do kolumny można dodać kombinację liniową pozostałych co nie zmieni wyznacznika
+
+### Macierz odwrotna
+macierze kwadraowe
+$$
+\exists A^{-1} ~ A * A^{-1}a = I \\
+$$
+```{note}
+macierz osobliwa jeżeli detA = -
+```
+
+```{note}
+Macierz jest odwracalna jeżeli jest niosobliwa
+```