add zadanie 4

assets/index.md

@@ -9,6 +9,10 @@ _Notatki z pliku `notes/algebra_2023.10.10.md`_
 ```{include} notes/algebra_2023.10.10.md
 ```
 ---
+_Notatki z pliku `notes/algebra_2023.10.11_zadanie.md`_
+```{include} notes/algebra_2023.10.11_zadanie.md
+```
+---
 _Notatki z pliku `notes/matematyka_2023.10.09.md`_
 ```{include} notes/matematyka_2023.10.09.md
 ```

assets/notes/algebra_2023.10.10.md

@@ -10,6 +10,17 @@ w postaci linearnej
 Przy dzieleniu liczb zespolonych należy pomnożyć przez czynnik sprzężony
 (tak jak usuwanie niewymierności z mianownika)
 
+### Sprzężenie
+
+Sprzężenie liczby zespolonej $z$ określamy jako $\bar{z}$.
+
+$$
+niech~z \in \mathbb{C} \\
+x, y \in \mathbb{R}
+z = x + y~i \\
+\bar{z} = x - y~i
+$$
+
 ### moduł liczby zespolonej
 
 Utożsamiany z długością wektora będącego interpretacją liczby urojonej.
@@ -19,6 +30,10 @@ $$
 |z| = \sqrt{x^2 + y^2}
 $$
 
+```{note}
+$|z|$ określamy również jako $r$
+```
+
 ### Postać trygonometryczna liczyb zespolonej
 $$
 niech~z = x + yi \neq 0 \\
@@ -40,7 +55,16 @@ $$
 
 $$
 e^{i \phi} = cos \phi + i sin \phi
-$$$
+$$
+
+```{admonition} Sprzężenie w postaci wykładniczej
+niech $z \in \mathbb{C}$
+
+$$
+z = |z|e^{i\phi} \Leftrightarrow \bar{z} = |z|e^{-i\phi}
+$$
+
+```
 
 $$
 z_k = \root{n} \of{r}(cos \frac{\phi + 2k \pi}{n} + i ~ sin\frac{\phi + 2k \pi}{n} ~~ k = 0 , 1 ... n

assets/notes/algebra_2023.10.11_zadanie.md

@@ -0,0 +1,16 @@
+## Zestaw 2 zadanie 4, przykład a
+
+Równanie jest spelnione dlz $z = 0$
+
+$$
+z^2 + 3 \bar{z} = 0 \\
+z^2 = -3 \bar{z} \\
+|z|^2 e^{2i\phi} = -3 |z|e^{-i\phi} \\
+|z| e^{3i\phi} = -3 \\
+|z| e^{3i\phi} = -3 e^{2k\pi i} \\
+\\
+|z| = -3 \\
+3 i \phi = 2k \pi i \\
+\phi = \frac{2k \pi}{3} ~ ~ k \in [0, 2] \cap \mathbb{Z} \\
+z = -3 \lor z = \frac{3}{2} + \frac{3}{2}\sqrt{3} i \lor z = \frac{3}{2} + \frac{3}{2}\sqrt{3}i
+$$