Merge branch 'master' into wip-generation

.github/workflows/build.yml

@@ -1,6 +1,8 @@
 name: Pages
 on: 
   push:
+    branch:
+      - master
   workflow_dispatch:
 
 jobs:

assets/notes/algebra/algebra_2023.11.07.md

@@ -1,7 +1,7 @@
 ## Przestrzenie wektorowe
 
 ```{admonition} Przestrzeń Wektorowa
-(K, +, $*$) jest grupą abelową, natomiast `V` zbiorem ($V \neq \emptyset$).
+(K, +, C, $*$) jest grupą abelową, natomiast `V` zbiorem ($V \neq \emptyset$).
  
 - (V, +) jest grupą abelową
 - $\forall v, v \in V \quad \forall \alpha \in K \quad \alpha * (v + v) = (\alpha * v) + (\alpha * v)$ (występuje rozdzielność mnożenia względem dodawania w mnożeniu **sumy wektorów** przez **skalar**)
@@ -14,3 +14,104 @@
 ```{tip}
 Elementy zbioru V nazywamy wektorami, a K - skalarami
 ```
+
+```{note}
+Zbiór $(\mathbb{R}^2, +, \mathbb{R}, *)$ to tradycyjny zbiór wektorów na płaszczyźnie dwuwymiarowej.
+$V = \mathbb{R}^2$ określa dwa wymiary palszczyzny a $K = \mathbb{R}$ to ciało (zbiór) tzw. skalarów.
+```
+
+### Podprzestrzenie liniowe
+
+Zbiór $U$ nazywamy podprzestrzenią przestrzeni V gdy działania zadeklarowane dla te podprzestrzeni są w niej wewnętrzne.
+
+```{note}
+Innymi słowy aby sprawdzić czy dany zbiór jest podprzestrzenią przestrzeni V dla dla dwuch wektorów $v_1 i v_2 \in V$ oraz skalara $\alpha$
+
+$$
+v_1 + v_2 \in V' \land \alpha v_1 \in V'
+$$
+```
+
+```{important}
+**0** musi należeć do podprzestrzeni
+
+$$
+niech~(\mathbb{R^3}, +, \mathbb{R}, *) \\
+-1 * v_1 = -v_1 \in \mathbb{R}^3 \\
+v_1 - v_1 = 0 \\
+$$
+```
+
+```{tip}
+Jeżeli w definicji przestrzeni występuje translacja (dodanie stałej) przestrzeń ta nie jest podprzestrzenią przestrzeni V.
+
+$$
+V = (\mathbb{R}^3, +, K, *) \\
+U = \left\{(x + 1, y + x, z) : x, y, z \in \mathbb{R} \right\} \\
+\\
+x_1 + 1 + x_2 + 1 = (x_1 + x_2) + 2 \neq (x_1 + x_2) + 1
+\\
+\\
+V = (\mathbb{R}^3, +, K, *) \\
+U = \left\{(2x, y + x, z) : x, y, z \in \mathbb{R} \right\} \\
+\\
+2x_1 + 2x_2 = 2(x_1 + x_2) \\
+\alpha 2 x_1 + \alpha 2 x_2 = \alpha 2 (x_1 + x_2)
+$$
+
+Analogicznie można postępować dla innych wyrazów.
+```
+
+### Liniowa zależność wektorów
+
+```{admonition} liniowa zależność wektorów
+
+Wektory są liniowo niezależne gdy żadnego z nich nie można przedstawić w formie kombinacji liniowej pozostałych.
+
+Przykładowo $v = \alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3$ nie jest liniowo niezależny.
+
+Biorąc pod uwagę inny przykład:
+
+$$
+v = (5, 4, -18) \\
+v = 5 \hat{i} + 4 \hat{j} - 18 \hat{k} \\
+gdzie:\\
+\hat{i} = (1, 0, 0) \\
+\hat{j} = (0, 1, 0) \\
+\hat{k} = (0, 0, 1) \\
+$$
+
+:::{tip}
+To tak jak w macierzach, gdzie jeden z rzędów można wyzerować za pomocą innych.
+:::
+
+:::{note}
+Aby sprawdzić czy wektory są liniowo niezależne budujemy macierz
+z wektorami wpisanymi w kolumny (tak aby poróœnywać x-owe współrzędne e.t.c.) i przyrównujemy do (0,0,...,0)
+i obliczamy jej rząd.
+:::
+```
+
+```{admonition} Generatory
+Zbiór generatorów to zbiór wektorów pozwalających na zapisanie każdego
+innego wektora w danej podprzestrzeni.
+
+$$
+v = \alpha w_1 + \beta w_2 + ... + \theta w_n
+$$
+
+- zbiór generatorów oznaczamy jako $W$
+- natomiast generowaną przez nie podprzestrzeń $limW$
+```
+
+```{admonition} Twierdzenie o geneowaniu podprzestrzeni $\mathbb{R}^n$
+Wektory $v_1, v_2, ..., v_k$ generują przestrzeń $\mathbb{R}^n$ (o n wymiarach) $\Leftrightarrow$ $rowA$ (rząd macierzy A) jest równy n.
+Macierz A to taka macierz, która składa się w kolejno wpisanych w wierszach wektorach v.
+
+:::{tip}
+$k \geq n$ tzn. że generatorów może być więcej niż wymiarów przestrzeni, jednak jeżeli tak jest
+oznacza to że kilka z nich ($k-n$) jest liniowo zależnych.
+:::
+```
+
+

assets/notes/algebra/algebra_2023.11.14.md

@@ -16,27 +16,86 @@ $$
 Jest podprzestrzenią
 ```
 
-```{tip}
-**Generatory**
+### Baza
+
+Układ wektorów (generatorów) można nazwać bazą, jeżeli:
+- są niezależne liniowo
+- generują przestrzeń wektorową
+
+```{admonition} Baza 
+Podsumowując: układ n wektorów-generatorów liniowo niezależnych w przestrzeni n-wymiarowej jest bazą
+
+:::{important}
+przestrzeń $\left\{\bf{0}\right\}$ nie posiada bazy.
+:::
 
-w przestrzei 2-wymiarowej generatorami są wersory $\hat{i}$ i $\hat{j}$, ponieważ każdy inny
-wektor w tej przestrzeni można opisać w postaci kombinacji liniowej tych wektorów
+:::{tip}
+Najprostszą bazą przestrzeni 3-wymiarowej jet układ wersorów $(\hat{j}, \hat{k}, \hat{l})$
+:::
+
+:::{admonition} Reper Bazowy (aka Baza uporządkowana)
+To uporządkowany ciąg wektorów bazowych.
+:::
 ```
 
-```{admonition} Układ niezależny
-jeżeli $a_1 v_1+ ... + a_n v_n = 0 \rightarrow a_1...a_n = 0$
+```{admonition} Wymiar przestrzeni wektorowej V
+To liczba eleentów bazy i oznaczamy $dimX$ gdzie X to przestrzeń.
+
+:::{note}
+$dim{0} = 0$
+:::
+
+:::{tip}
+Wymiar podprzestrzeni jest mniejszy niż wymiar przestrzeni wyjściowej.
+Jeżeli $dimV = dimW \Rightarrow W = V$
+:::
+```
 
-Oznacza to, że wszystkie elementy są istotne i żadnego nie można przedstawić jako kombinacji pozostałych.
+```{tip}
+Współrzędnymi wektora nazywamy skalary $v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n$
+i zapisujemy jako $v = [\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n]_B$
 ```
 
+### Macierz Przejścia
+
 ```{note}
-wektory generują przestrzeń $\mathbb{R}^n \Leftrightarrow$ rząd macierzy złożonej
-z tych wektorów jes trówny `n`
+Oznaczenie: $P_{B \to B'}$
 ```
 
-### Baza
+```{admonition} Macierz przejścia
+Wektor v należy do przestrzeni liniowej V.
 
-Układ wektorów można nazwać bazą, jeżeli:
-- są niezależne liniowo
-- generują przestrzeń wektorową
-- układ n wektorów liniowo niezależnych wprzestrzeni n-wymiarowej jest bazą
+W bazie `B` można zapisać go jako $v = [x_1, x_2, ..., x_n]_B$ natomiast w bazie $B'$:
+$v = [x_1', x_2', ..., x_n']_{B'}$
+
+__W takim przypadku macierz przejścia można powiązać z wektorami w poszczególnych bazach jako:__ $\bf{X = P_{B \to B'} X'}$.
+
+X to wypisane w jdenej kolumnie współrzędne w bazie B a $X'$ - w bazie $B'$.
+
+$$
+X = \begin{Bmatrix}
+x_1 \\
+x_2 \\
+... \\
+x_n
+\end{Bmatrix}
+\quad
+X' = \begin{Bmatrix}
+x_1' \\
+x_2' \\
+... \\
+x_n'
+\end{Bmatrix}
+$$
+
+$P_{B \to B'}$ to obraz azy $B'$ w bazie $B$
+
+$$
+P_{B \to B'} = \begin{Bmatrix}
+b_{1_1} & b_{1_2} & ... & b_{1_n} \\
+b_{2_1} & b_{2_2} & ... & b_{2_n} \\
+... & ... & ... & ... \\
+b_{n_1} & b_{n_2} & ... & b_{n_n} \\
+\end{Bmatrix}
+$$
+```