update

assets/notes/algebra/algebra_2023.11.14.md

@@ -16,27 +16,86 @@ $$
 Jest podprzestrzenią
 ```
 
-```{tip}
-**Generatory**
+### Baza
+
+Układ wektorów (generatorów) można nazwać bazą, jeżeli:
+- są niezależne liniowo
+- generują przestrzeń wektorową
+
+```{admonition} Baza 
+Podsumowując: układ n wektorów-generatorów liniowo niezależnych w przestrzeni n-wymiarowej jest bazą
+
+:::{important}
+przestrzeń $\left\{\bf{0}\right\}$ nie posiada bazy.
+:::
 
-w przestrzei 2-wymiarowej generatorami są wersory $\hat{i}$ i $\hat{j}$, ponieważ każdy inny
-wektor w tej przestrzeni można opisać w postaci kombinacji liniowej tych wektorów
+:::{tip}
+Najprostszą bazą przestrzeni 3-wymiarowej jet układ wersorów $(\hat{j}, \hat{k}, \hat{l})$
+:::
+
+:::{admonition} Reper Bazowy (aka Baza uporządkowana)
+To uporządkowany ciąg wektorów bazowych.
+:::
 ```
 
-```{admonition} Układ niezależny
-jeżeli $a_1 v_1+ ... + a_n v_n = 0 \rightarrow a_1...a_n = 0$
+```{admonition} Wymiar przestrzeni wektorowej V
+To liczba eleentów bazy i oznaczamy $dimX$ gdzie X to przestrzeń.
+
+:::{note}
+$dim{0} = 0$
+:::
+
+:::{tip}
+Wymiar podprzestrzeni jest mniejszy niż wymiar przestrzeni wyjściowej.
+Jeżeli $dimV = dimW \Rightarrow W = V$
+:::
+```
 
-Oznacza to, że wszystkie elementy są istotne i żadnego nie można przedstawić jako kombinacji pozostałych.
+```{tip}
+Współrzędnymi wektora nazywamy skalary $v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n$
+i zapisujemy jako $v = [\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n]_B$
 ```
 
+### Macierz Przejścia
+
 ```{note}
-wektory generują przestrzeń $\mathbb{R}^n \Leftrightarrow$ rząd macierzy złożonej
-z tych wektorów jes trówny `n`
+Oznaczenie: $P_{B \to B'}$
 ```
 
-### Baza
+```{admonition} Macierz przejścia
+Wektor v należy do przestrzeni liniowej V.
 
-Układ wektorów można nazwać bazą, jeżeli:
-- są niezależne liniowo
-- generują przestrzeń wektorową
-- układ n wektorów liniowo niezależnych wprzestrzeni n-wymiarowej jest bazą
+W bazie `B` można zapisać go jako $v = [x_1, x_2, ..., x_n]_B$ natomiast w bazie $B'$:
+$v = [x_1', x_2', ..., x_n']_{B'}$
+
+__W takim przypadku macierz przejścia można powiązać z wektorami w poszczególnych bazach jako:__ $\bf{X = P_{B \to B'} X'}$.
+
+X to wypisane w jdenej kolumnie współrzędne w bazie B a $X'$ - w bazie $B'$.
+
+$$
+X = \begin{Bmatrix}
+x_1 \\
+x_2 \\
+... \\
+x_n
+\end{Bmatrix}
+\quad
+X' = \begin{Bmatrix}
+x_1' \\
+x_2' \\
+... \\
+x_n'
+\end{Bmatrix}
+$$
+
+$P_{B \to B'}$ to obraz azy $B'$ w bazie $B$
+
+$$
+P_{B \to B'} = \begin{Bmatrix}
+b_{1_1} & b_{1_2} & ... & b_{1_n} \\
+b_{2_1} & b_{2_2} & ... & b_{2_n} \\
+... & ... & ... & ... \\
+b_{n_1} & b_{n_2} & ... & b_{n_n} \\
+\end{Bmatrix}
+$$
+```