notes: todays update

assets/notes/eio/eio_2024.03.05.md

@@ -11,7 +11,7 @@ Relacje dyspersji ($E(\vec{k}), E(p)$)
 ### Efekt Dopplera
 
 $$
-\ni' = \ni \frac{v+-v_o}{v-+v_ź}
+\ni' = \ni \frac{v+-v_o}{v-+v_z}
 $$
 
 ### Zasada Heuyhens'a

assets/notes/labfiz1/.~lock.labfiz0.ods#

@@ -0,0 +1 @@
+,mszeptuch,fedora,10.03.2024 20:52,file:///home/mszeptuch/.config/libreoffice/4;

assets/notes/matematyka2/matematyka2_2024.03.05.md

@@ -73,7 +73,7 @@ $$
 ```
 
 ```{admonition} Rozwiązanie problemu coshiego
-Jeżeli f jest ciągła w X i g jest ciągła i różna od 0 w Y, to $(x,y) \in X \cross Y$ przechodzi jedna krzywa całkowa
+Jeżeli f jest ciągła w X i g jest ciągła i różna od 0 w Y, to $(x,y) \in X \times Y$ przechodzi jedna krzywa całkowa
 ```
 
 $$

assets/notes/matematyka2/matematyka2_2024.03.11.md

@@ -0,0 +1,90 @@
+## Równania liniowe
+
+### Równania liniowe 1 rzędu
+
+$$
+y' + p(x) * y = f(x) \\
+niech~
+L(y) = y' + p(x) * y  \\
+L(y_1 + y_2) = L(y_1) + L(y_2) \\
+L(\alpha y) = \alpha L(y) \\
+$$
+
+Mówi się, że równanie jest liniowe, jeżeli _lewa strona_ jest liniowa
+ze względu na `y`.
+
+```{note}
+jeżeli $f(x) = 0$, mówimy o równaniu jednorodnym.
+```
+
+```{tip}
+niech $y^{*}$ i $y$ będą rozwiązaniami równania liniowego niejednorodnego, wtedy
+
+$$
+L(y^{*}) - L(y) = f(x) - f(x) = 0 \\
+L(y^{*} - y) = 0
+$$
+
+Z tego wynika, że różnica $y^{*} - y$ jest rozwiązaniem równania jednorodnego
+```
+
+```{admonition} tw. kukurydzy
+
+$$
+CORN = CSRN + CORJ
+$$
+
+- CORN = całka ogólna równania niejednorodnego
+- CSRN = Całka szczególna równania jednorodnego
+- CORJ = Całka ogólna równania jednorodnego
+```
+
+$$
+y' + p(x) y = 0 \\
+\frac{dy}{y} = -p(x) dx \\
+\int \frac{dy}{y} = \int -p(x) dx \\
+ln(y) = \int p(x) dx + C \\
+|y| = e^{\int p(x) dx} + C \\
+CORJ: \quad y = Ce^{\int p(x) dx} \\
+$$
+
+#### Metoda Uzmienniania stałej:
+
+Szuikamy CSRN W postaci $y(x) = C(x) * e^{-\int p(x) dx}$
+
+$$
+C'(x) * e^{-\int p(x) dx} + \cancel{C(x) * (-p(x)) e^{-\int p(x) dx}} + \cancel{p(x)* C(x)e^{-\int p(x) dx}} = f(x) \\
+C'(x) * e^{-\int p(x) dx} = f(x) \\
+C'(x) = f(x) e^{\int p(x) dx}
+C(x) = \int f(x) e^{\int p(x) dx}
+$$
+
+#### Metoda Przewidywania
+
+Jeżeli $p(x) = const$
+
+$$
+\frac{dy}{dx} + 3y = x^2 \\
+$$
+
+Pomińmy COFJ, CSRN:
+Rozwiązaniem Najprawodopodobniej będzie wielomian stopnia 2
+
+$$
+y=Ax^2 + Bx + C \\
+y' = 2Ax + b \\
+2Ax + B + 3Ax^2 + 3Bx + 3C = x^2 \\
+\left\{\begin{matrix}
+3A = 1 \\
+2A + 3B = 0 \\
+B + 3C = 0 \\
+\end{matrix}\right. \Rightarrow
+\left\{\begin{matrix}
+A = \frac{1}{3} \\
+B = \frac{-2}{9} \\
+3C = \frac{2}{27} \\
+\end{matrix}\right.
+$$
+
+Jeżeli f(x) jest w postaci funkcji trygonometrycznych, zakładamy
+rozwiązanie w postaci $Asin(x) + Bcos(x)$