update 06_odhad

06_odhad.qmd

@@ -107,7 +107,7 @@ Takto formulovaný bodový a intervalový je jednou z nejčastěji prováděnýc
 mean(x)
 ```
 
-Vidíme, že $x =$ `r x`. Pro tento průmer následně spočítáme interval spolehlivosti.
+Vidíme, že $x =$ `r mean(x)`. Pro tento průmer následně spočítáme interval spolehlivosti.
 
 ## Intervalový odhad
 
@@ -145,48 +145,52 @@ $$
 f(y|\mu, \sigma) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\dfrac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]
 $$ {#eq-maxlike-normalni-rozdeleni}
 
+Věrohodnostní funkce je vyjádřena:
+
+$$
+L\left(\mu, \sigma^2; x_1, \ldots, x_n\right) = (2\pi\sigma^2)^{-n/2}\exp\left(-\dfrac{1}{2\sigma^2}\sum_{j=1}^{n}(x_j-\mu)^2\right)
+$$ {#eq-05odhad-likelihood}
+
+Dva parametry $\mu$ a $\sigma$ jsou neznámé
+
 ```{r}
 mu <- 5 # <1>
 sigma <- 1 # <1>
 
-n <- 10000 # <2>
+n <- 1000 # <2>
 x <- rnorm(n, mu, sigma^2) # <2>
 
-likelihood <- function(params) { # <3>
-  mean_param <- params[1] # <3>
-  sd_param <- params[2]# <3>
-  return(prod(dnorm(x, mean = mean_param, sd = sd_param)))# <3>
+norm.lik <- function(pars, x) { # <3>
+  n <- length(x) # <3>
+  mu <- pars[1]
+  sigma2 <- pars[2]
+  logl <- -0.5 * n * log(2*pi) - 0.5 * n * log(sigma2) - 
+    (1/(2 * sigma2))*sum((x - mu)^2) # <3>
+  return(-logl)# <4>
 }
 
 
-result <- optim(par = c(5, 1), #<4>
-                fn = function(params) -likelihood(params), #<4>
-                hessian = TRUE) #<4>
-
-mle_mean <- result$par[1] #<5>
-mle_sd <- result$par[2] #<5>
-
-cat("MLE pro střední hodnotu:", mle_mean, "\n")
-cat("MLE pro směrodatnou odchylku:", mle_sd, "\n")
+result <- optim(par = c(0.1, 2), #<5>
+                fn = norm.lik, #<5>
+                x = x, #<5>
+                method = "BFGS", #<5>
+                hessian = TRUE) #<5>
 
+mle_mean <- result$par[1] #<6>
+mle_sigma2 <- result$par[2] #<6>
 ```
 1. Skutečné parametry $\mu$ a $\sigma$, které použijeme ke generování náhodných čísel.
 2. Získáme pseudonáhodná čísla z Normálního rozdělení.
-3. Definice věrohodnostní funkce.
-4. S použitím funkce `optim()` hledáme maximálně věrohodný odhad.
-5. Získané hodnoty odhadů.
+3. Definice věrohodnostní funkce @eq-05odhad-likelihood,
+4. je nutné pro optimalizační algoritmus vrátit v záporné hodnotě.
+5. S použitím funkce `optim()` hledáme maximálně věrohodný odhad. Je potřeba zadat
+počáteční parametry, optimalizovanou funkci, vektor měření a methodu řešení. Pokud 
+bychom chtěli i intervalový odhad, je nutné nechat spočítat hessián, neboli determinant
+Hessovy matice.
+6. Uložíme získané hodnoty odhadů.
 
-Spočítejte hodnotu věrohodnostní funkce pro $X = 4$
-
-```{r}
-n <- 10000
-x <- rnorm(n, 5, 1)
-L <- x*pnorm(x, mean = 5, sd = 1)
-max(L)
-boxplot(x)
-curve(dnorm(x, 4, 1), xlim = c(0,8))
-curve(dlnorm(x, 1, 0.5), add = TRUE)
-```
+MLE pro střední hodnotu: `r mle_mean`\     
+MLE pro rozptyl: `r mle_sigma2`.
 
 ## $t$-test {#ttest}
 Testování hypotéz podrobněji probereme v @sec-testovani. Nyní si nicméně ukážeme, 
@@ -210,6 +214,5 @@ $$ pro $\mu < \mu_0$. $n-1$ je počet stupňů volnosti.
 ## Úloha
 
   1. Spočítejte pomocí funkce `t.test` intervalový odhad pro `x = rnorm(100)` a `set.seed(100)`.\
-  2. Spočítejte, zda můžeme s pravděpodobností $90\:\%$ zamítnout hypotézu, že střední hodnota veličiny generující výběr `x <- c(0.77, 1.11, 1.14, 0.92, 0.49, 5.03, 1.35, 0.94, 0.33, 2.49)` je menší než 1.\
-  3. Pro stejný výběr spočítejte, zda je možné na hladině významnosti $0.05$ zamítnout hypotézu, že střední hodnota veličiny generující výběr je rovna $1$.
-:::
+:::
+

07_testovani.qmd

@@ -100,14 +100,63 @@ $$
 $$
 
 
-## Rekapitulace
-
-::: callout-tip
-## Úloha
-
-  1. a) Nalezněte 90% interval spolehlivosti pro roztpyl veličiny
-     b) Otestujte, zda veličiny generující sobory $x$ a $y$ mají shodný rozptyl.
-:::
-
+<!-- ## SPEI -->
+
+<!-- Načteme data -->
+
+<!-- ```{r} -->
+<!-- precip <- as.numeric(unlist((read.csv2("./data/CHMI_SRA/U2HRAD01_SRA_N.csv", skip = 30)["X0"]))) -->
+<!-- ``` -->
+
+
+<!-- # Výpočet statistických parametrů -->
+<!-- ```{r} -->
+<!-- mean_precip <- mean(precip)             # Průměr -->
+<!-- sd_precip <- sd(precip)                 # Směrodatná odchylka -->
+<!-- skewness_precip <- mean((precip - mean_precip)^3) / sd_precip^3  # Koeficient šikmosti -->
+<!-- ``` -->
+
+<!-- # Funkce pro CDF Pearsonova rozdělení III. typu -->
+<!-- ```{r} -->
+<!-- pearson_cdf <- function(x, mean, sd, skew) { -->
+<!--   if (skew == 0) { -->
+<!--     pnorm((x - mean) / sd) -->
+<!--   } else { -->
+<!--     alpha <- 4 / skew^2 -->
+<!--     beta <- sqrt(sd^2 / alpha) -->
+<!--     x_shifted <- x - (mean - alpha * beta) -->
+<!--     pgamma(x_shifted / beta, shape = alpha) -->
+<!--   } -->
+<!-- } -->
+<!-- ``` -->
+
+<!-- # Výpočet CDF hodnot pro každou hodnotu srážek pomocí Pearsonova III rozdělení -->
+<!-- ```{r} -->
+<!-- cdf_values <- sapply(precip, pearson_cdf, mean = mean_precip, sd = sd_precip, skew = skewness_precip) -->
+<!-- ``` -->
+
+<!-- # Transformace CDF hodnot na standardní normální hodnoty (hodnoty SPI) -->
+<!-- ```{r} -->
+<!-- spi_values <- qnorm(cdf_values) -->
+<!-- ``` -->
+
+<!-- # Výsledek: hodnoty SPI -->
+<!-- ```{r} -->
+<!-- print(spi_values) -->
+<!-- plot(table(cut(spi_values, breaks = c(-5:5)))) -->
+<!-- ``` -->
+
+
+
+<!-- ## Rekapitulace -->
+
+<!-- ::: callout-tip -->
+<!-- ## Úloha -->
+
+<!--   1. a) Nalezněte 90% interval spolehlivosti pro roztpyl veličiny -->
+<!--      b) Otestujte, zda veličiny generující sobory $x$ a $y$ mají shodný rozptyl. -->
+<!--   2. Spočítejte, zda můžeme s pravděpodobností $90\:\%$ zamítnout hypotézu, že střední hodnota veličiny generující výběr `x <- c(0.77, 1.11, 1.14, 0.92, 0.49, 5.03, 1.35, 0.94, 0.33, 2.49)` je menší než 1.\ -->
+<!--   3. Pro stejný výběr spočítejte, zda je možné na hladině významnosti $0.05$ zamítnout hypotézu, že střední hodnota veličiny generující výběr je rovna $1$. -->
+<!-- ::: -->
 
 

10_hydro_index.qmd

@@ -187,4 +187,5 @@ points(Mdenni, pch = 21, bg = rev(rainbow(13, end = 0.7)))
 3.  Spočtete průměrný roční minimální průtok.
 :::
 
-## SPI
+<!-- ## SPI -->
+

_quarto.yml

@@ -75,7 +75,7 @@ format:
     fig-format: svg
     fig-dpi: 400
     fig-cap-location: bottom
-  pdf:
-    documentclass: scrreprt
+  # pdf:
+  #   documentclass: scrreprt
 editor: visual
 lang: cs-CZ