Update "整数表示"

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@@ -169,7 +169,7 @@ C语言标准定义了每种数据类型必须**能够表示的最小的取值
 **原理**：无符号数编码的定义
 
 $$
-B2U_{w}\left(\vec{x}\right) \dot{=} \sum_{i=0}^{w-1}x_{i}2^i
+B2U_{w}\left(\vec{x}\right) \dot{=} \sum_{i=0}^{w-1}x_{i}2^i \tag{2.1}
 $$
 
 映射的范围
@@ -182,10 +182,12 @@ $$
 
 函数 $B2U_{w}$ 是一个双射。
 
+### 补码编码
+
 **原理**：补码编码的定义
 
 $$
-B2T_{w}\left(\vec{x}\right) \dot{=} -x_{w-1}2^{w-1} + \sum_{i=0}^{w-2}x_{i}2^i
+B2T_{w}\left(\vec{x}\right) \dot{=} -x_{w-1}2^{w-1} + \sum_{i=0}^{w-2}x_{i}2^i \tag{2.3}
 $$
 
 最高有效位 $x_{w-1}$ 称为符号位，权重为 $-2^{w-1}$，符号位被设置为 1 时，表示值为负，当设置为 0 时，值为非负。
@@ -243,6 +245,130 @@ $$
 
 > 了解术语来源比单纯的记忆术语有意思多了！
 
+### 有符号数和无符号数之间的转化
+
+C语言允许在各种不同的数字数据类型之间做强制类型转换。
+- 从数学的角度来说：
+1. 对于两种形式都能表示的值，保持不变
+2. 负数转换为无符号数，0
+3. 无符号数超过补码范围，TMax
+- 从C语言的实现角度来说：**保持位模式不变，改变解释的方式**
+
+**原理**：补码转换为无符号数
+
+$$
+T2U_w\left(x\right)\dot{=}B2U_w\left(T2B_w\left(x\right)\right)
+$$
+
+对满足 $TMin_w \leq x \leq TMax_w$ 的 $x$ 有：
+
+$$
+T2U_w\left(x\right) = \begin{cases}
+    x & \text{if } x \geq 0 \\\\
+    x + 2^w & \text{if } x < 0
+    \end{cases}  \tag{2.5}
+$$
+
+这是通过比较公式 2.1 和公式 2.3 推导而来
+
+$$
+B2U_w\left(T2B_w\left(x\right)\right) = T2U_w\left(x\right) = x + x_{w-1}2^w \tag{2.6}
+$$
+
+**原理**：无符号数转换为补码
+
+$$
+U2T_w\left(x\right)\dot{=}B2T_w\left(U2B_w\left(x\right)\right)
+$$
+
+对满足 $0 \leq u \leq UMax_w$ 的 $u$ 有：
+
+$$
+U2T_w\left(u\right) = \begin{cases}
+    u & \text{if } x \leq TMax_w \\\\
+    u - 2^w & \text{if } x > TMax_w
+    \end{cases}  \tag{2.7}
+$$
+
+这是通过比较公式(2.1)和公式(2.3)推导而来
+
+$$
+B2T_w\left(U2B_w\left(u\right)\right) = U2T_w\left(u\right) = u - u_{w-1}2^w \tag{2.8}
+$$
+
+### C语言中的有符号数与无符号数
+
+尽管C语言标准没有指定有符号数要采用某种表示，但是几乎所有的机器都使用补码。
+通常，大多数数字都默认是有符号的，如果要创建一个无符号常量，必须加上后缀 U 或者 u。
+尽管C语言标准没有精确规定应如何进行无符号数和有符号数之间的转换，但大多数系统遵循的原则是底层的位表示保持不变。
+
+> 转换的结果依赖于如何进行转换的规则，要理解胜出的规则的底层逻辑。它避免了计算和修改位模式，只改变了 interpretation。
+
+- 显示的强制类型转换
+- **隐式的类型转换**（比如赋值，另外当心发生在**表达式**中的非直观情况）
+
+### 扩展一个数字的位表示
+
+将一个无符号数转换为一个更大的数据类型，只要简单地在表示的开头添加0。这种运算被称为**零扩展**（zero extension）
+
+**原理**：无符号数的零扩展
+
+定义宽度为 $w$ 的位向量 $\vec{u}=\left[u_{w-1},u_{w-2},...,u_0\right]$ 和宽度为 $w'$ 的位向量 $\vec{u}'=\left[0,...,0,u_{w-1},u_{w-2},...,u_0\right]$，其中 $w'>w$。则 $B2T_w\left(\vec{u}\right)=B2T_{w'}\left(\vec{u}'\right)$
+
+按照公式(2.1)，该原理直接遵循无符号数编码的定义。
+
+将一个补码数字转换为一个更大的数据类型，可移植性**符号扩展**（sign extension），在表示的开头添加最高有效位的值。
+
+**原理**：补码数的符号扩展
+
+定义宽度为 $w$ 的位向量 $\vec{x}=\left[x_{w-1},x_{w-2},...,x_0\right]$ 和宽度为 $w'$ 的位向量 $\vec{x}'=\left[x_{w-1},...,x_{w-1},x_{w-1},x_{w-2},...,x_0\right]$，其中 $x'>x$。则 $B2T_w\left(\vec{x}\right)=B2T_{x'}\left(\vec{x}'\right)$
+
+根据归纳法，结合公式(2.3)
+
+$$
+B2T_{w+1}\left(\left[x_{w-1},x_{w-1},x_{w-2},...,x_0\right]\right)=B2T_{w}\left(\left[x_{w-1},x_{w-2},...,x_0\right]\right)
+$$
+
+> 本质上，权重总和的变化量为 0。
+
+### 截断数字
+
+当把int类型的x强制类型转换为short时，就将32位的int截断为16位的short。截断一个数字可能会改变它的值——**溢出的一种形式**。
+
+**原理**：截断无符号数
+
+令 $\vec{x}$ 等于位向量 $\left[x_{w-1},x_{w-2},...,x_0\right]$，而 $\vec{x}'$ 是将其截断为 $k$ 位的结果：$\vec{x}'=\left[x_{k-1},x_{k-2},...,x_0\right]$。令 $x=B2U_w\left(\vec{x}\right)$，$x'=B2U_w\left(\vec{x'}\right)$。则 $x'=x \quad mod \quad 2^k$。
+
+通过对等式(2.1)应用取模运算可以得到
+
+$$
+\begin{align*}
+B2U_w\left(\left[x_{w-1},x_{w-2},...x_0\right]\right) \quad mod \quad 2^k &= \left[\sum_{i=0}^{w-1}x_i2^i\right] \quad mod \quad 2^k \\\\ 
+&= B2U_k\left(\left[x_{k-1},x_{k-2},...x_0\right]\right)
+\end{align*}
+$$
+
+**原理**：截断补码数值
+
+令 $\vec{x}$ 等于位向量 $\left[x_{w-1},x_{w-2},...,x_0\right]$，而 $\vec{x}'$ 是将其截断为 $k$ 位的结果：$\vec{x}'=\left[x_{k-1},x_{k-2},...,x_0\right]$。令 $x=B2U_w\left(\vec{x}\right)$，$x'=B2T_k\left(\vec{x'}\right)$。则 $x'=U2T_k\left(x \quad mod \quad 2^k\right)$。
+
+> 到这一步有一点感觉，自己主动用数学工具描述原理的能力似乎退化了，尽管不难理解。
+
+> 很微妙的一点是，“截取”并不是开辟了一个更小的空间，虽然也涉及修改“被截取”掉的部分，但本质上是在使用时提取了有用的一部分，忽略了剩余部分，这有点像缓冲区的使用方式。
+
+### 关于有符号数与无符号数的建议
+
+有符号数到无符号数的隐式强制类型转换导致了某些非直观的行为。这些非直观的特性经常导致程序错误，并且这种包含隐式强制类型转换的细微差别的错误很难被发现，因为它们是在没有明确指示的情况下发生的。
+避免这类错误的一种方法是绝不使用无符号数。实际上，除了C语言很少有语言支持无符号整数。
+
+使用场景：
+1. 往一个字中放入描述各种布尔条件的标记（flag）时
+2. 作为地址使用
+3. 当实现模运算和多精度运算的数学包时，数字是由字的数组来表示的
+
+> 第3种不太理解。
+
+
 ## 参考文章
 
 - 《深入理解计算机系统》