algebra translation to human-understendable format

in IT there is a common practice to add `-h` option in certain
commands (e.g. df -h) that changes disk size given in bytes
to human-readable size given in MB or GB.

In this case I'm trying to apply metody-algebry-liniowej -h

assets/index.md

@@ -29,6 +29,10 @@ _Notatki z pliku `notes/algebra/algebra_2023.11.07.md`_
 ```{include} notes/algebra/algebra_2023.11.07.md
 ```
 ---
+_Notatki z pliku `notes/algebra/.algebra_2023.11.07.md.swp`_
+```{include} notes/algebra/.algebra_2023.11.07.md.swp
+```
+---
 _Notatki z pliku `notes/algebra/algebra_2023.11.14.md`_
 ```{include} notes/algebra/algebra_2023.11.14.md
 ```

assets/notes/algebra/algebra_2023.11.07.md

@@ -1,7 +1,7 @@
 ## Przestrzenie wektorowe
 
 ```{admonition} Przestrzeń Wektorowa
-(K, +, $*$) jest grupą abelową, natomiast `V` zbiorem ($V \neq \emptyset$).
+(K, +, C, $*$) jest grupą abelową, natomiast `V` zbiorem ($V \neq \emptyset$).
  
 - (V, +) jest grupą abelową
 - $\forall v, v \in V \quad \forall \alpha \in K \quad \alpha * (v + v) = (\alpha * v) + (\alpha * v)$ (występuje rozdzielność mnożenia względem dodawania w mnożeniu **sumy wektorów** przez **skalar**)
@@ -14,3 +14,82 @@
 ```{tip}
 Elementy zbioru V nazywamy wektorami, a K - skalarami
 ```
+
+```{note}
+Zbiór $(\mathbb{R}^2, +, \mathbb{R}, *)$ to tradycyjny zbiór wektorów na płaszczyźnie dwuwymiarowej.
+$V = \mathbb{R}^2$ określa dwa wymiary palszczyzny a $K = \mathbb{R}$ to ciało (zbiór) tzw. skalarów.
+```
+
+### Podprzestrzenie liniowe
+
+Zbiór $U$ nazywamy podprzestrzenią przestrzeni V gdy działania zadeklarowane dla te podprzestrzeni są w niej wewnętrzne.
+
+```{note}
+Innymi słowy aby sprawdzić czy dany zbiór jest podprzestrzenią przestrzeni V dla dla dwuch wektorów $v_1 i v_2 \in V$ oraz skalara $\alpha$
+
+$$
+v_1 + v_2 \in V' \land \alpha v_1 \in V'
+$$
+```
+
+```{important}
+**0** musi należeć do podprzestrzeni
+
+$$
+niech~(\mathbb{R^3}, +, \mathbb{R}, *) \\
+-1 * v_1 = -v_1 \in \mathbb{R}^3 \\
+v_1 - v_1 = 0 \\
+$$
+```
+
+```{tip}
+Jeżeli w definicji przestrzeni występuje translacja (dodanie stałej) przestrzeń ta nie jest podprzestrzenią przestrzeni V.
+
+$$
+V = (\mathbb{R}^3, +, K, *) \\
+U = \left{(x + 1, y + x, z) : x, y, z \in \mathbb{R} \right} \\
+\\
+x_1 + 1 + x_2 + 1 = (x_1 + x_2) + 2 \neq (x_1 + x_2) + 1
+\\
+\\
+V = (\mathbb{R}^3, +, K, *) \\
+U = \left{(2x, y + x, z) : x, y, z \in \mathbb{R} \right} \\
+\\
+2x_1 + 2x_2 = 2(x_1 + x_2) \\
+\alpha 2 x_1 + \alpha 2 x_2 = \alpha 2 (x_1 + x_2)
+$$
+
+Analogicznie można postępować dla innych wyrazów.
+```
+
+### Liniowa zależność wektorów
+
+```{admonition} liniowa zależność wektorów
+
+Wektory są liniowo niezależne gdy żadnego z nich nie można przedstawić w formie kombinacji liniowej pozostałych.
+
+Przykładowo $v = \alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3$ nie jest liniowo niezależny.
+
+Biorąc pod uwagę inny przykład:
+
+$$
+v = (5, 4, -18) \\
+v = 5 \hat{i} + 4 \hat{j} - 18 \hat{k} \\
+gdzie:\\
+\hat{i} = (1, 0, 0) \\
+\hat{j} = (0, 1, 0) \\
+\hat{k} = (0, 0, 1) \\
+$$
+```
+
+```{admonition} Generatory
+Zbiór generatorów to zbiór wektorów pozwalających na zapisanie każdego
+innego wektora w danej podprzestrzeni.
+
+$$
+v = \alpha w_1 + \beta w_2 + ... + \theta w_n
+$$
+
+- zbiór generatorów oznaczamy jako $W$
+- natomiast generowaną przez nie podprzestrzeń $limW$
+```