algebra: figuring out perpendicular vectors

assets/notes/algebra.md

@@ -48,3 +48,7 @@ _Notatki z pliku `notes/algebra/algebra_2023.12.05.md`_
 _Notatki z pliku `notes/algebra/algebra_2023.12.12.md`_
 ```{include} ../notes/algebra/algebra_2023.12.12.md
 ```
+---
+_Notatki z pliku `notes/algebra/algebra_2024.01.07.md`_
+```{include} ../notes/algebra/algebra_2024.01.07.md
+```

assets/notes/algebra/algebra_2024.01.07.md

@@ -0,0 +1,88 @@
+## Przestrzenie euklidesowe
+
+```{admonition} Przestrzeń euklidesowa
+to po prostu w dziwny sposób powiedziane "Iloczyn Skalarny".
+
+To tak aprzestrzeń wektrowoa, nad któ©ą zdefiiowano iloczyn skalarny.
+
+Oznaczenie: $\mathbb{E}^n$ to $\mathbb{R}^n$ ze zdefiniowanym standardowym iloczynem skalarnym.
+
+:::{note}
+standardowy iloczyn skalarny to funkcja zefiniwoana w następujący sposób
+
+$$
+u = (u_0, u_1, ... u_n) \\
+w = (w_0, w_1, ... w_n) \\
+s(u, w) = u \dot w = \Sigma_{i=0}^{n} u_i * w_i
+$$
+:::
+```
+
+```{admonition} Norma
+Norma to dziwna nazwa na "długość wektora"
+
+oznaczenie: $||v||$
+:::{note}
+- Norma spełnia zasadę liniowości
+- $||v|| = 0 \Leftrightarrow v = \bf{0}$
+- $||\alpha v|| = |\alpha| * ||v||$
+:::
+
+Przestrzeń wektorową ze zdefiniowaną normą nazywamy _Przestrzenią Unormowaną_
+```
+
+```{tip}
+Jeżeli znamy iloczyn wektorowy możemy od razu zdefiniować normę.
+Określamy ją następującym wzorem:
+
+$$
+||v|| = \sqrt{s(v, v)}
+$$
+
+Obrazowo:
+- iloczynn skalarny $v \dot v$ lub $s(v, v)$ to po prostu z definicji
+iloczynu skalarnego długość $v$ pomnożona przez rzut $v$ na $v$ czyli po prostu długość $v$
+podniesiona do kwadratu
+- gdy nałożymy na to pierwiastek otrzymamy długość $v$
+```
+
+```{admonition} Wektor unormowany
+Również znany jako **wersor**.
+
+Jesto to wektor w przestrzeni V którego norma wynosi `1`
+
+:::{tip}
+Każdy wektor z przestrzeni euklidesowej można unormować.
+
+$$
+\hat{v} = \frac{v}{||v||}
+$$
+:::
+```
+
+Znając powyższe zależności można określić
+miarę kąta między wektorami.
+
+$$
+cso \angle (u, v) = \frac{u \dot v}{||u|| * ||v||}
+$$
+
+```{important}
+To wszystko nie ma sensu dopuki togo nie zobaczysz, więc polecam
+<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/LyGKycYT2v0?si=wuELwsKmKt-c6Mfc" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe>
+```
+
+```{tip}
+W przypadku ww. zależnośći warto rozważyć dwa skrajne przypadki:
+- jeżeli wektory są współliniowe, to długość rzutu `u` na `v` ma długość całego `u`, więc $$\frac{\cancel{||u|| * ||v||}}{\cancel{||u||*||v||}} = 1 \Rightarrow cos \angle(u, v) = 0^o$
+- jeżeli wektory są prostopadelk, długość rzutu `u` na `v` ma długość `0` z czego wynika, że $\frac{0 * ||v||}{||u||*||v||} = 0 \Rightarrow cos\angle(u,v) = 90^o$
+```
+
+```{admonition} Wektory ortogonalne
+To inaczej wektory prostopadłe (aka $u \perp w$). Z tego również wynika, że
+$u \dot w = 0$ (ofc w drugą stronę też to działa)
+:::{important}
+w tym przypadku jednak inna nazwa ma sens, ponieważ pojęcie wektoróœ ortogonalnych ma również
+sens w większej liczbie wymiarów (np. 4)
+:::
+````

assets/notes/matematyka_cw/matematyka_cw_2024.01.04.md

@@ -18,3 +18,13 @@ cosh~2x = sinh^2 x + cosh^2x \\
 1 = cosh~x - sinh~1
 $$
 ```
+
+- Podstawienia uniwersalne dla funkcji trygonometrycznych:
+
+| $tg \frac{x}{2}$ |  $cos~x$              | $sin~x$            | $dx$                 |
+|------------------|-----------------------|--------------------|----------------------|
+| $t$              | $\frac{1-t^2}{1+t^2}$ | $\frac{2t}{1+t^2}$ | $\frac{2}{1+t^2} dt$ |
+
+| $tg~x$ | $cos^2x$          | $sin^2 x$           | $dx$              |
+|--------|-------------------|---------------------|-------------------|
+| $t$    | $\frac{1}{1+t^2}$ | $\frac{t^2}{1+t^2}$ | $\frac{1}{1+t^2}$ |