update

assets/notes/matematyka/matematyka_2023.12.11.md

@@ -0,0 +1,41 @@
+#### Przez podstawienie
+
+```{admonition} Podstawienie
+Niech $G(y)$ będzie funkcją pierwotną funkcji $g(y)$ a $f(x)$ będzie klasy $C^1$.
+Wtedy $\int g(y)dy |_{y = f(x)} = \int g(y) f'(x) dx
+
+:::{tip}
+$$
+\int \sqrt{1-x^2} dx \\
+x = sin t \\
+dx = cos t dt \\
+\int \sqrt{1-sin^2t} cos t*dt = \\
+= \int cos^2(t) dt = \frac{1}{2} \int 2 cos^2{t} dt = \\
+= \frac{1}{2} \int 1 + cos(2t) dt = \\
+= \frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} sin(2t)) = \\
+\frac{1}{2} arcsin(x) + \frac{1}{2}x \sqrt{1-x^2}
+
+$$
+:::
+```
+
+$$
+I_n = \int \frac{1}{(1+x^2)^n} \\
+I_1 = arctg(x) \\
+I_n = \int \frac{1+x^2 - x^2}{1+x^2} dx = \int \frac{dx}{(1+x^2)^n} - \int \frac{x^2}{(1+x^2)^n}dx = \\
+= I_{n-1} - \int \frac{x^2}{(1+x^2)^n}
+I_n = \frac{1}{2n-2} \frac{x}{(1+x^2)^{n-1}} + \frac{2n-3}{2n-2} I_{n-1}
+$$
+
+#### Całki funkcji wymiernych
+$$
+\int \frac{P(x)}{Q(x)}  = ?
+$$
+
+Należy znaleźć rozkład funkcji na ułamki proste:
+| f(x) | $\int f(x) dx$ |
+|---|---|
+| $\frac{A}{x-A}$ | $ln(x-A) |
+| $\frac{A}{(x-A)^k}$ | $\frac{-1}{x-1} ....$ |
+- $\frac{Cx - B}{(x-p)^2 + q^2}$
+- $\frac{Cx - B}{((x-p)^2 + q^2)^k}$