todays update

assets/notes/eio/eio_2024.03.05.md

@@ -0,0 +1,37 @@
+```{admonition} Prędkość fazowa
+$$
+v_\phi = \frac{ \omega}{k} \\
+v_g = \frac{d\omega}{dk} \\
+v_g = \frac{d}{dk} (v_\phi * k)
+$$
+```
+
+Relacje dyspersji ($E(\vec{k}), E(p)$)
+
+### Efekt Dopplera
+
+$$
+\ni' = \ni \frac{v+-v_o}{v-+v_ź}
+$$
+
+### Zasada Heuyhens'a
+
+Każdy punkt ośrodka, do którego dotarła fala staje się źrudłem cząstkowej fali kulistej.
+Fala dalej propagująca się jest złożeniem tych cząstkowych fal kulistych.
+
+Ta zasada tłumaczy dyfrakcję fal na szczelinie.
+
+### Interferencja dwóch fal
+
+#### Fale stojące
+
+$$
+\psi = A sin(kx - \omega t) \\
+\psi_{odbita} = -A sin(kx + \omega t) \\
+\psi + \psi_{odbite} = 2A sin(kx)cos(\omega t)
+$$
+
+#### Rezonans akustyczny
+
+Doświadczenie: 2 kamertony
+doświadczenie: rury śpiewające

assets/notes/eio_cw/eio_2024.03.05.md

@@ -0,0 +1,12 @@
+## Zestaw 1 Zadanie 1
+
+$$
+\lambda = \frac{2 \pi}{k}\\
+v = \sqrt{\frac{F}{\rho_l}}
+$$
+
+## Zestaw 1 Zadanie 2
+
+$$
+\psi_1(x,t) = A sin(kx - \omega t+\phi_0) = \hat{A_1}e^{i(kx-\pi t + \phi_0)}
+$$

assets/notes/matematyka2/matematyka2_2024.03.05.md

@@ -0,0 +1,83 @@
+## Równania Różniczkowe
+
+```{admonition} postać ogólna równania różniczkowego zwyczajnego I Rzędu
+$$
+F(x,y,y')
+$$
+```
+
+Rząd róœnania zależy od najwyższego rzędu pochodnej z tego róœnania.
+
+```{admonition} Krzywa całkowa
+wykres całki szczególnej - rozwiązania róœnania różniczkowego
+```
+
+### Przykłąd 1
+
+$$
+y' = x^4 + 2x \\
+\int y' dx = \int x^4 + 2x dx \\
+y = \frac{1}{5}x^5 + x^2 + C
+$$
+
+### Przykład 2 
+
+```{math}
+y' = x^4 + 2x ~ y(0) = 1 \\
+\int y' dx = \int x^4 + 2x dx \\
+y = \frac{1}{5}x^5 + x^2 + C \\
+1 = \frac{1}{5}0^5 + 0^2 + C \Rightarrow C = 1 \\
+y = \frac{1}{5}x^5 + x^2 + 1 \\
+```
+
+### Przykłąd 3
+
+$$
+y' = 1+y^2 \\
+\frac{y'}{1+y^2} = 1 \\
+\int \frac{y'}{1+y^2} dx = \int dx \\
+\int \frac{\frac{dy}{\cancel{dx}}}{1+y^2} \cancel{dx} = \int dx \\
+arctg(y) = x \\
+y = tg(x + C) ~ X \in \left(-\frac{\pi}{2} -C, \frac{\pi}{2}-C)\right)
+$$
+
+```{admonition} Twierdzenie o istnieniu rozwiązań równania różniczkowego
+jeżeli prawa strona równania różniczkowego jest funkcją ciągłą w obszarze D,
+to przez każdy punkt tego obszaru musi przechodzić **conajmniej jedna** krzywa całkowa.
+```
+
+```{admonition} warunek na jedyne rozwiązanie problemu początkowego
+Oprócz ciągłości prawej strony zakłada się również ciągłość pochodnej cząstkowej $\frac{\partial y}{\partial x}$
+```
+
+### Przyład 4
+
+$$
+y' = \root{3}\of{y^2} \\
+$$
+
+Zauważmy, że $f(x)=0$ jest rozwiązaniem równania
+
+$$
+\frac{y'}{\root{3}\of{y^2}} = 1 \\
+\int \frac{dy}{\root{3}\of{y^2}} = x \\
+3 \root{3}\of{y} = x + C \\
+$$
+
+## Równania Różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
+
+```{admonition} Postać ogólna równania różniczkowego o zmienych rozdzielonych
+$$
+y' = \frac{f(x)}{g(x)}
+$$
+```
+
+```{admonition} Rozwiązanie problemu coshiego
+Jeżeli f jest ciągła w X i g jest ciągła i różna od 0 w Y, to $(x,y) \in X \cross Y$ przechodzi jedna krzywa całkowa
+```
+
+$$
+\frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{g(y)}
+dy * g(y) = dx * f(x)
+\int dy * g(y) = \int dx * f(x)
+$$