Skip to content

Commit

Permalink
Add changes for 8664517
Browse files Browse the repository at this point in the history
  • Loading branch information
@actions-user
actions-user committed Dec 12, 2023
1 parent dd6646e commit a11a92a
Show file tree
Hide file tree
Showing 14 changed files with 615 additions and 5 deletions.
Binary file added .doctrees/assets/links.doctree
View file
Binary file not shown.
Binary file modified .doctrees/assets/notes/algebra.doctree
View file
Binary file not shown.
Binary file modified .doctrees/assets/notes/algebra/algebra_2023.12.05.doctree
View file
Binary file not shown.
Binary file added .doctrees/assets/notes/algebra/algebra_2023.12.12.doctree
View file
Binary file not shown.
Binary file modified .doctrees/assets/notes/matematyka.doctree
View file
Binary file not shown.
Binary file modified .doctrees/environment.pickle
View file
Binary file not shown.
137 changes: 137 additions & 0 deletions assets/links.html
View file
Original file line number Diff line number Diff line change
@@ -0,0 +1,137 @@


<!DOCTYPE html>

<html lang="pl" data-content_root="../">
<head>
<meta charset="utf-8" />
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0" /><meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" />

<title>&lt;no title&gt; &#8212; Matematyka - dokumentacja</title>
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="../_static/pygments.css?v=fa44fd50" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="../_static/cloud.css?v=f9ae72be" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="../_static/sphinxcontrib-images/LightBox2/lightbox2/dist/css/lightbox.css?v=5c84f910" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="../_static/css/custom.css?v=2c74f6a9" />
<link rel="stylesheet" href="https://fonts.googleapis.com/css?family=Noticia+Text:400,i,b,bi|Open+Sans:400,i,b,bi|Roboto+Mono:400,i,b,bi&amp;display=swap" type="text/css" />

<script src="../_static/documentation_options.js?v=a28d12eb"></script>
<script src="../_static/doctools.js?v=888ff710"></script>
<script src="../_static/sphinx_highlight.js?v=dc90522c"></script>
<script src="../_static/translations.js?v=a186e9ce"></script>
<script src="../_static/sphinxcontrib-images/LightBox2/lightbox2/dist/js/lightbox-plus-jquery.min.js?v=ffc8af2d"></script>
<script src="../_static/sphinxcontrib-images/LightBox2/lightbox2-customize/jquery-noconflict.js?v=12818e64"></script>




<script src="../_static/jquery.cookie.js"></script>




<script src="../_static/cloud.base.js"></script>




<script src="../_static/cloud.js"></script>


<link rel="icon" href="../_static/icon.ico"/>
<link rel="index" title="Indeks" href="../genindex.html" />
<link rel="search" title="Szukaj" href="../search.html" />
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1">
</head><body>
<div class="relbar-top">

<div class="related" role="navigation" aria-label="related navigation">
<h3>Nawigacja</h3>
<ul>
<li class="right" style="margin-right: 10px">
<a href="../genindex.html" title="Indeks ogólny"
accesskey="I">indeks</a></li>
<li><a href="../index.html">Matematyka - dokumentacja</a> &#187;</li>

<li class="nav-item nav-item-this"><a href="">&lt;no title&gt;</a></li>
</ul>
</div>
</div>


<div class="document">
<div class="documentwrapper">
<div class="bodywrapper">
<div class="body" role="main">

<div class="admonition tip">
<p class="admonition-title">Wskazówka</p>
<p>Materiały:</p>
<ul class="simple">
<li><p>wykłady: <a class="reference external" href="https://home.agh.edu.pl/~esowa/ft_2023_24_malf.html">https://home.agh.edu.pl/~esowa/ft_2023_24_malf.html</a></p></li>
<li><p><a class="reference external" href="https://www.3blue1brown.com/">https://www.3blue1brown.com/</a></p></li>
<li><p>kalkulator granic: <a class="reference external" href="https://mathdf.com/lim/pl/">https://mathdf.com/lim/pl/</a></p></li>
<li><p>kalkulator pochodnych: <a class="reference external" href="https://mathdf.com/der/pl/">https://mathdf.com/der/pl/</a></p></li>
<li><p>kalkulator całek: <a class="reference external" href="https://mathdf.com/int/pl/">https://mathdf.com/int/pl/</a></p></li>
</ul>
</div>


<div class="clearer"></div>
</div>
</div>
</div>
<div class="sphinxsidebar" role="navigation" aria-label="main navigation">
<div class="sphinxsidebarwrapper">
<div id="searchbox" style="display: none" role="search">
<h3 id="searchlabel">Szybkie wyszukiwanie</h3>
<div class="searchformwrapper">
<form class="search" action="../search.html" method="get">
<input type="text" name="q" aria-labelledby="searchlabel" autocomplete="off" autocorrect="off" autocapitalize="off" spellcheck="false"/>
<input type="submit" value="Szukaj" />
</form>
</div>
</div>
<script>document.getElementById('searchbox').style.display = "block"</script>
</div>
</div>


<div class="sidebar-toggle-group no-js">

<button class="sidebar-toggle" id="sidebar-hide" title="Hide the sidebar menu">
«
<span class="show-for-small">hide menu</span>

</button>
<button class="sidebar-toggle" id="sidebar-show" title="Show the sidebar menu">

<span class="show-for-small">menu</span>
<span class="hide-for-small">sidebar</span>
»
</button>
</div>

<div class="clearer"></div>
</div>
<div class="relbar-bottom">

<div class="related" role="navigation" aria-label="related navigation">
<h3>Nawigacja</h3>
<ul>
<li class="right" style="margin-right: 10px">
<a href="../genindex.html" title="Indeks ogólny"
>indeks</a></li>
<li><a href="../index.html">Matematyka - dokumentacja</a> &#187;</li>

<li class="nav-item nav-item-this"><a href="">&lt;no title&gt;</a></li>
</ul>
</div>
</div>

<div class="footer" role="contentinfo">
&#169; Copyright 2023, Maciej Szeptuch.
Created using <a href="https://www.sphinx-doc.org/">Sphinx</a> 7.2.6.
</div>
<!-- cloud_sptheme 1.4 -->
</body>
</html>
144 changes: 142 additions & 2 deletions assets/notes/algebra.html
View file
Original file line number Diff line number Diff line change
Expand Up @@ -855,11 +855,11 @@ <h2>Endomorfizmy<a class="headerlink" href="#endomorfizmy" title="Link to this h
</div>
<div class="admonition-wartosc-wlasna admonition">
<p class="admonition-title">wartość włąsna</p>
<p>Liczba <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> jest wartością własną jężeli istnieje niezerowy wektor <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">v</span></code>, któ©y spełnia
<p>Liczba <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> jest wartością własną jężeli istnieje niezerowy wektor <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">v</span></code>, który spełnia
równość <span class="math notranslate nohighlight">\(\phi(v) = \lambda v\)</span></p>
<div class="admonition note">
<p class="admonition-title">Informacja</p>
<p>Zbió© wszystkich wartości własnych nazywa się spektrum (lub widmem) operatora</p>
<p>Zbiór wszystkich wartości własnych nazywa się spektrum (lub widmem) operatora</p>
</div>
</div>
<div class="admonition-operator-rzutowania admonition">
Expand Down Expand Up @@ -888,6 +888,144 @@ <h3>Szukanie wartości własnych<a class="headerlink" href="#szukanie-wartosci-w
<p class="admonition-title">Informacja</p>
<p>Wielomiany włąsne nie zależą od bazy</p>
</div>
<hr class="docutils" />
<p><em>Notatki z pliku <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">notes/algebra/algebra_2023.12.12.md</span></code></em></p>
</section>
<section id="wlasnosci-spektrum">
<h3>Własności spektrum<a class="headerlink" href="#wlasnosci-spektrum" title="Link to this heading"></a></h3>
<ul class="simple">
<li><p>spec(A) = spec(A^T)</p></li>
<li><p>spec(A^n) = spec(A)^n</p></li>
<li><p>\frac{1}{\lambda} = spec(A^{-1})</p></li>
</ul>
<div class="admonition-kiedy-mozna-dokonac-diagonalizacji-macierzy-odwzorowania admonition">
<p class="admonition-title">Kiedy można dokonać diagonalizacji macierzy odwzorowania?</p>
<p>Jeżeli wszystkie pierwiastki wielomianu (z któ©ego szukamy wartości włąsnych)
są krotności 1.</p>
<p>Inaczej musi istnieć baza z wektoróœ własnych.</p>
</div>
<div class="admonition note">
<p class="admonition-title">Informacja</p>
<p>macierze reprezentujące to samo odwzorowanie <strong>w różnych bazach</strong> są do siebie podobne</p>
</div>
</section>
<section id="schemat-rozwiazywania-zadan">
<h3>Schemat rozwiązywania zadań:<a class="headerlink" href="#schemat-rozwiazywania-zadan" title="Link to this heading"></a></h3>
<ul class="simple">
<li><p>załóżmy, że mamy dane odwzorowanie.</p></li>
</ul>
<div class="admonition tip">
<p class="admonition-title">Wskazówka</p>
<p>Jeżeli odwzorowanie mamy zadane w następujący sposób:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}
\phi(1, 0, 0) = (1, 0, 0) \\
\phi(0, 1, 1) = (0, 2, 2) = 2 * (0, 1, 1) \\
e.t.c.
\end{split}\]</div>
<p>Oznacza to że mamy zadane już wektory/wartości własne w tym przypadku:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}
\begin{matrix}
\lambda_1 = 1 &amp;&amp; v_1 = (1, 0, 0) \\
\lambda_2 = 2 &amp;&amp; v_2 = (0, 1, 1)
\end{matrix}
\end{split}\]</div>
</div>
<ul class="simple">
<li><p>Najpierw należy skonstruować macierz odwzorowania</p></li>
<li><p>teraz od wszystkich elementów na diagonali macierzy odejmujemy <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span> (bądź <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> - ja przyjmuję tutaj <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span> dla kompatybilności z panią dr)</p></li>
</ul>
<div class="admonition tip">
<p class="admonition-title">Wskazówka</p>
<p>Jeżeli macierz ma postać trujkątną, można pominąć ten i następny krok
przyjmując za <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> elementy na diagonali.</p>
</div>
<ul class="simple">
<li><p>Obliczamy wyznacznik z którego później wyliczamy wartości <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span>.</p></li>
</ul>
<div class="admonition important">
<p class="admonition-title">Ważne</p>
<p>Należy pamiętać o możliwych wartościach <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span> (<span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{R}\)</span> czy <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{C}\)</span>)</p>
</div>
<div class="admonition important">
<p class="admonition-title">Ważne</p>
<p>Jeśli wyszło nam w sumie (licząc krotności) mniej <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> nniż wynika z wymiaru przestrzeni
(na przykład część rozwiązań wyszła urojona i nie było to dopuszczone)
macierz <strong>NIE</strong> jest diagonalizowalna.</p>
</div>
<div class="admonition-spektrum admonition">
<p class="admonition-title">Spektrum</p>
<p>Otrzymane wyniki nazywamy <strong>spektrum</strong> odwzorowania.</p>
</div>
<div class="admonition-spektrum-proste admonition">
<p class="admonition-title">Spektrum proste</p>
<p>Jeżeli wszystkie <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span> są jednokrotnymi rozwiązaniami równania, i jest ich dokładnie tyle
co wymiar przestrzeni, to mamy do czynienia ze spektrum prostym - pomiń następny krok (jeżeli zadanie tego nie wymaga)</p>
</div>
<ul class="simple">
<li><p>Obliczanie wektorów Własnych. Aby to zrobić rozwiązujemy następujące równanie:</p></li>
</ul>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}
\phi(v) = \lambda v \\
A * v = \lambda * I * v \\
(A - \lambda * I) * v = 0
\end{split}\]</div>
<p>Gdzie: <span class="math notranslate nohighlight">\(A\)</span> to macierz odwzorowania, <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> to dana wartość <span class="math notranslate nohighlight">\(t\)</span> a <span class="math notranslate nohighlight">\(v\)</span> to szukany wektor własny</p>
<div class="admonition important">
<p class="admonition-title">Ważne</p>
<p>jeśli <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> jest n-krotna należy sprawdzić następujący warunek:
<span class="math notranslate nohighlight">\(n = dim E_{\lambda} = dim A - Row(A-\lambda I)\)</span>
Jeżeli warunek nie jest spełniony - macierz nie jest diagonalizowalna.</p>
</div>
<ul class="simple">
<li><p>Teraz nowa macierz tego przekształcenia to</p></li>
</ul>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}
\begin{Bmatrix}
\lambda_1 &amp;&amp; 0 &amp;&amp; ... &amp;&amp; 0 \\
0 &amp;&amp; \lambda_2 &amp;&amp; ... &amp;&amp; 0 \\
... &amp;&amp; ... &amp;&amp; ... &amp;&amp; ... \\
0 &amp;&amp; 0 &amp;&amp; ... &amp;&amp; \lambda_n
\end{Bmatrix}
\end{split}\]</div>
<p>A więc macierz ze współczynnikami <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> na diagonali.</p>
<div class="admonition note">
<p class="admonition-title">Informacja</p>
<p>Nowa macierz odwzorowania zapisana jest dla bazy złożonej z wektorów własnych!</p>
</div>
<div class="admonition tip">
<p class="admonition-title">Wskazówka</p>
<p>załużmy wektor <span class="math notranslate nohighlight">\(v\)</span> w bazie kanonicznej. Aby przekształcić go taką macierzą diagonalną należy:</p>
<ul class="simple">
<li><p>Pomnożyć lewostronnie wektor przez macierz przejścia (złożoną z wektorów nowej bazy - wektorów własnych)</p></li>
</ul>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[
P_{B_k \to B} * v
\]</div>
<ul class="simple">
<li><p>Pomnożyć lewostronnie przez nową macierz diagonalną <span class="math notranslate nohighlight">\(D\)</span></p></li>
</ul>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[
D * P_{B_k \to B} * v
\]</div>
<ul class="simple">
<li><p>na koniec można powrócić do bazy kanonicznej</p></li>
</ul>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[
P_{B_k \to B}^{-1} * D * P_{B_k \to B} * v
\]</div>
</div>
<div class="admonition tip">
<p class="admonition-title">Wskazówka</p>
<p>Wizualizacja graficzna!</p>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/PFDu9oVAE-g?si=QySpNWEbMN5QoFL6" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe>
</div>
</section>
</section>
</section>
Expand Down Expand Up @@ -958,6 +1096,8 @@ <h3><a href="../../index.html">Spis treści:</a></h3>
</li>
<li><a class="reference internal" href="#endomorfizmy">Endomorfizmy</a><ul>
<li><a class="reference internal" href="#szukanie-wartosci-wlasnych">Szukanie wartości własnych</a></li>
<li><a class="reference internal" href="#wlasnosci-spektrum">Własności spektrum</a></li>
<li><a class="reference internal" href="#schemat-rozwiazywania-zadan">Schemat rozwiązywania zadań:</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
Expand Down
4 changes: 2 additions & 2 deletions assets/notes/algebra/algebra_2023.12.05.html
View file
Original file line number Diff line number Diff line change
Expand Up @@ -81,11 +81,11 @@ <h1>Endomorfizmy<a class="headerlink" href="#endomorfizmy" title="Link to this h
</div>
<div class="admonition-wartosc-wlasna admonition">
<p class="admonition-title">wartość włąsna</p>
<p>Liczba <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> jest wartością własną jężeli istnieje niezerowy wektor <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">v</span></code>, któ©y spełnia
<p>Liczba <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> jest wartością własną jężeli istnieje niezerowy wektor <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">v</span></code>, który spełnia
równość <span class="math notranslate nohighlight">\(\phi(v) = \lambda v\)</span></p>
<div class="admonition note">
<p class="admonition-title">Informacja</p>
<p>Zbió© wszystkich wartości własnych nazywa się spektrum (lub widmem) operatora</p>
<p>Zbiór wszystkich wartości własnych nazywa się spektrum (lub widmem) operatora</p>
</div>
</div>
<div class="admonition-operator-rzutowania admonition">
Expand Down
Loading

0 comments on commit a11a92a

Please sign in to comment.