fix >= <=

assets/notes/algebra/algebra_2023.10.09.md

@@ -2,7 +2,7 @@
 
 ## Zestaw 1 zadanie 5
 Korzystając z zas. indukcji udowodnij że:
-dla dowolnego $n \in \mathbb{N}, n >= 4$ liczba diagonalnych
+dla dowolnego $n \in \mathbb{N}, n \geq 4$ liczba diagonalnych
 w n-koncie wypukłym jest niewiększa niż $\frac{1}{2} n(n-3)$
 
 - utworzenie wzoru na liczbę diagonalnych
@@ -15,26 +15,26 @@ z tego wniosek, że liczba diagonalnych $d = n-3$
 - sprawdzenie warunku dla ~ n = 4
 
 $$
-n-3 <= \frac{1}{2} n (n - 3)\\
+n-3 \leq \frac{1}{2} n (n - 3)\\
 dla ~ n = 4\\
-1 <= 2 * 1
+1 \leq 2 * 1
 $$
 
 - krok indukcyjny
 
 $$
 załóżmy, że: \\
-\frac{1}{2}n (n-3) >= n-3 \\
-n (n-3) >= 2n-6 \\
-n^2 - 3n >= 2n-6 \\
-n^2 - 5n + 6 >= 0 \\
+\frac{1}{2}n (n-3) \geq n-3 \\
+n (n-3) \geq 2n-6 \\
+n^2 - 3n \geq 2n-6 \\
+n^2 - 5n + 6 \geq 0 \\
 wtedy~dla~n+1:\\
-\frac{1}{2}(n+1)(n-2) >= n-2 \\
-n^2-n-2 >= 2n-4 \\
-n^2-3n+2 >= 0 \\
-(n^2-5n+2) + (2n - 4) >= 0\\
+\frac{1}{2}(n+1)(n-2) \geq n-2 \\
+n^2-n-2 \geq 2n-4 \\
+n^2-3n+2 \geq 0 \\
+(n^2-5n+2) + (2n - 4) \geq 0\\
 \begin{matrix}
-(n^2-5n+2) &  + & (2n - 4) & >= 0\\
-z~ind~mat. &    & \forall n >= 4 2n - 4 >=0 &
+(n^2-5n+2) &  + & (2n - 4) & \geq 0\\
+z~ind~mat. &    & \forall n \geq 4 2n - 4 \geq0 &
 \end{matrix}
 $$

assets/notes/algebra/algebra_2023.10.17.md

@@ -52,6 +52,7 @@ $$
 $$
 (AB)^T = B^T A^T
 $$
+```
 
 ### Suma elementów na przekątnych
 
@@ -78,7 +79,7 @@ z których jedna jest symetryczna, a druga antysymetryczna
 ```{admonition} Definicja
 wyznacznik to liczba $detA$ taka, że:
 - dla n = 1 $detA = a_11$
-- dla $n>=2$ $\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} * a_ij * detA_ij
+- dla $n \geq 2$ $\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} * a_ij * detA_ij
 gdzie $detA_ij$ to wyznacznik (tzw. minor) macierzy powstałej po skreśleniu i-ego wiersza i j-tej kolumny
 ```
 

assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.15.md

@@ -67,9 +67,9 @@ $\bf{\forall W \in (m, M) \exists x \in (a, b)~f(x) = W}$
 ```
 
 ```{admonition} Twierdzenie o przyjmowaniu kresów
-
 $f <a, b> \to \mathbb{R}$
-f ciągła \\
+
+f ciągła
 
 - f jest ograniczona
 ```