Add changes for 758b8b9

assets/index.html

@@ -271,8 +271,8 @@ <h3>Własności działań<a class="headerlink" href="#wlasnosci-dzialan" title="
 Na przykład
 $$</p></li>
 </ul>
-<div class="amsmath math notranslate nohighlight" id="equation-13d36019-7750-4ab9-b6ff-070808c95f28">
-<span class="eqno">(1)<a class="headerlink" href="#equation-13d36019-7750-4ab9-b6ff-070808c95f28" title="Permalink to this equation">¶</a></span>\[\begin{bmatrix}
+<div class="amsmath math notranslate nohighlight" id="equation-fe6028ef-db7d-443d-82bb-a387475befc4">
+<span class="eqno">(1)<a class="headerlink" href="#equation-fe6028ef-db7d-443d-82bb-a387475befc4" title="Permalink to this equation">¶</a></span>\[\begin{bmatrix}
 1&amp;0 \\
 0&amp;1
 \end{bmatrix}\]</div>
@@ -354,19 +354,88 @@ <h3>Macierz odwrotna<a class="headerlink" href="#macierz-odwrotna" title="Link t
 <p class="admonition-title">Informacja</p>
 <p>Macierz jest odwracalna jeżeli jest niosobliwa</p>
 </div>
+<hr class="docutils" />
+<p><em>Notatki z pliku <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">notes/notes/algebra/algebra_2023.10.24.md</span></code></em></p>
+<div class="admonition important">
+<p class="admonition-title">Ważne</p>
+<p>Macierze odwracalne tworzą grupę (tzw. grupę liniową)</p>
+</div>
 <section id="obliczanie-macierzy-odwrotnej">
 <h4>Obliczanie macierzy odwrotnej<a class="headerlink" href="#obliczanie-macierzy-odwrotnej" title="Link to this heading">¶</a></h4>
 <ul class="simple">
-<li><p>Macierz odwrotna to taka macierz, która składa się z odpowiednich dopełnień arytmetycznych
-wszystkich elementów macierzy początkowej.</p></li>
-<li><p>dopełnienie arytmetyczne elementu <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">a_ij</span></code> to wyznacznik macierzyz z wykreślon <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">i</span></code>tym rzędem i <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">j</span></code>otą kolumną pomnożony przez <span class="math notranslate nohighlight">\(\fra{1}{detA}\)</span></p></li>
+<li><p>metoda dopełnień algebaicznych</p>
+<ul>
+<li><p>możemy ją obliczyć tylko gdy <span class="math notranslate nohighlight">\(detA \neq 0\)</span></p></li>
+<li><p><span class="math notranslate nohighlight">\(a_ij = (-1)^{i+j} * m_{ij}\)</span></p></li>
+<li><p>tak powstałą macierz transponujemy i kążdy element mnożymy przez <span class="math notranslate nohighlight">\(\frac{1}{detA}\)</span></p></li>
+</ul>
+</li>
+<li><p>metoda operacji elementarnych (bezwyznacznikiowa)</p>
+<ul>
+<li><p>zestawienie macierzy blokowej z macierzy A i macierzy jednostkowej</p></li>
+<li><p>jeżeli macierz A uda się sprowadzić do macierzy jednostkowej, to druga część bloku
+będzie macierzą odwrotną <span class="math notranslate nohighlight">\(A^{-1}\)</span></p></li>
+</ul>
+</li>
+</ul>
+<div class="admonition-algorytm-gausa admonition">
+<p class="admonition-title">Algorytm gausa</p>
+<ul class="simple">
+<li><p>korzystając z operacji elementarnych uzyskać macierz trujkątną górną
+przemieszczając się od lewego górnego rogu macierzy</p></li>
+<li><p>zerowanie od prawej na lewą stronę</p></li>
+</ul>
+</div>
+</section>
+<section id="wlasnosci-macierzy-odwrotnej">
+<h4>Własności macierzy odwrotnej<a class="headerlink" href="#wlasnosci-macierzy-odwrotnej" title="Link to this heading">¶</a></h4>
+<ul class="simple">
+<li><p><span class="math notranslate nohighlight">\(detA = \frac{1}{detA^{-1}}\)</span></p></li>
+<li><p><span class="math notranslate nohighlight">\((A^{-1})^{-1} = A\)</span></p></li>
+<li><p><span class="math notranslate nohighlight">\((A^{-1})^T = (A^T)^{-1}\)</span></p></li>
+<li><p><span class="math notranslate nohighlight">\((\alpha A)^{-1} = \frac{1}{\alpha} A^{-1}\)</span></p></li>
+<li><p>(AB)^-1 = B^{-1} A^{-1}$</p></li>
+</ul>
+</section>
+</section>
+</section>
+<section id="uklady-rownan-liniowych">
+<h2>Układy równań liniowych<a class="headerlink" href="#uklady-rownan-liniowych" title="Link to this heading">¶</a></h2>
+<p>Układ równań liniowych można zapisać jako <span class="math notranslate nohighlight">\(A * X = B\)</span></p>
+<section id="uklad-rownan">
+<h3>Układ równań<a class="headerlink" href="#uklad-rownan" title="Link to this heading">¶</a></h3>
+<div class="admonition-uklady-crammerowskie admonition">
+<p class="admonition-title">układy crammerowskie</p>
+<p>są to takie układy, w których liczba niewiadomych jest równa liczbie równań</p>
+</div>
+<ul class="simple">
+<li><p>Macierz A jest kwadratowa</p></li>
+<li><p><span class="math notranslate nohighlight">\(x = \frac{W}{W_x}\)</span> …</p></li>
+<li><p>jeśli W = 0 układ <strong>nie</strong> jest oznaczony</p></li>
+<li><p>jeśli macierz <strong>nie</strong> jest kwadratowa należy wykorzystać rząd macierzy</p>
+<ul>
+<li><p>rząd to <strong>największy stopień niezerowego minora</strong></p></li>
+</ul>
+</li>
+</ul>
+</section>
+<section id="wyznaczanie-rzedu">
+<h3>Wyznaczanie rzędu<a class="headerlink" href="#wyznaczanie-rzedu" title="Link to this heading">¶</a></h3>
+<ul class="simple">
+<li><p>sprowadzanie macierzy do postaci schodkowej</p></li>
+<li><p>rząd macierzy to ilość “schodów”</p></li>
+</ul>
+</section>
+<section id="rozwiazywanie-ukladow-rownan-m-neq-n">
+<h3>Rozwiązywanie układów równań <span class="math notranslate nohighlight">\(m \neq n\)</span><a class="headerlink" href="#rozwiazywanie-ukladow-rownan-m-neq-n" title="Link to this heading">¶</a></h3>
+<ul class="simple">
+<li><p>układ jest sprzeczny jeżei rząd macierzy jest rożny od rzędu macierzy uzupełnionej</p></li>
 </ul>
 <hr class="docutils" />
 <p><em>Notatki z pliku <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">notes/notes/matematyka_cw/matematyka_cw_2023.10.19.md</span></code></em></p>
 </section>
 </section>
 </section>
-</section>
 <section class="tex2jax_ignore mathjax_ignore" id="matematyka-cwiczenia">
 <h1>Matematyka - ćwiczenia<a class="headerlink" href="#matematyka-cwiczenia" title="Link to this heading">¶</a></h1>
 <div class="admonition-wzor-sterlinga admonition">
@@ -473,7 +542,7 @@ <h3>ważne granice<a class="headerlink" href="#wazne-granice" title="Link to thi
 </ul>
 <div class="math notranslate nohighlight">
 \[\begin{split}
-\lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} \\
+\lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = logn~a \\
 \end{split}\]</div>
 </section>
 </section>
@@ -577,6 +646,57 @@ <h3>Przykłady funkcji ciągłych<a class="headerlink" href="#przyklady-funkcji-
 <li><p><span class="math notranslate nohighlight">\(\root{n}{x}\)</span> (funkcja odwrotna do <span class="math notranslate nohighlight">\(x^n\)</span>)</p></li>
 <li><p><span class="math notranslate nohighlight">\(f(x) = a^x~a &gt; 0 \land a \neq 1\)</span></p></li>
 </ul>
+<hr class="docutils" />
+<p><em>Notatki z pliku <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">notes/notes/matematyka/matematyka_2023.10.24.md</span></code></em></p>
+<div class="math notranslate nohighlight">
+\[
+cosh (x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}
+sinh (x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}
+tgh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}
+\]</div>
+</section>
+<section id="interpretacja-krzywej">
+<h3>Interpretacja krzywej<a class="headerlink" href="#interpretacja-krzywej" title="Link to this heading">¶</a></h3>
+<p>Opis parametryczny krzywej:</p>
+<ul class="simple">
+<li><p>Okrąg</p></li>
+</ul>
+<div class="math notranslate nohighlight">
+\[\begin{split}
+\left\{\begin{matrix}
+x = r sin(t) \\
+y = r cos(t) 
+\end{matrix}\right.
+\end{split}\]</div>
+<ul class="simple">
+<li><p>Elipsa</p></li>
+</ul>
+<div class="math notranslate nohighlight">
+\[\begin{split}
+\left\{\begin{matrix}
+x = a cos(t) \\
+y = b sin(t)
+\end{matrix}\right.
+\end{split}\]</div>
+<ul class="simple">
+<li><p>Hiperbola</p></li>
+</ul>
+<div class="math notranslate nohighlight">
+\[\begin{split}
+\left\{\begin{matrix}
+x = a cosh(t) \\
+y = b sinh(t)
+\end{matrix}\right.
+\end{split}\]</div>
+<div class="admonition note">
+<p class="admonition-title">Informacja</p>
+<div class="math notranslate nohighlight">
+\[
+arsinh (x) = logn \left(x + \sqrt{1+x}\right)
+\]</div>
+</div>
+<hr class="docutils" />
+<p><em>Notatki z pliku <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">notes/notes/matematyka/.matematyka_2023.10.24.md.swp</span></code></em></p>
 </section>
 </section>
 </section>
@@ -616,8 +736,15 @@ <h3><a href="../index.html">Spis treści:</a></h3>
 </li>
 <li><a class="reference internal" href="#macierz-odwrotna">Macierz odwrotna</a><ul>
 <li><a class="reference internal" href="#obliczanie-macierzy-odwrotnej">Obliczanie macierzy odwrotnej</a></li>
+<li><a class="reference internal" href="#wlasnosci-macierzy-odwrotnej">Własności macierzy odwrotnej</a></li>
+</ul>
+</li>
 </ul>
 </li>
+<li><a class="reference internal" href="#uklady-rownan-liniowych">Układy równań liniowych</a><ul>
+<li><a class="reference internal" href="#uklad-rownan">Układ równań</a></li>
+<li><a class="reference internal" href="#wyznaczanie-rzedu">Wyznaczanie rzędu</a></li>
+<li><a class="reference internal" href="#rozwiazywanie-ukladow-rownan-m-neq-n">Rozwiązywanie układów równań <span class="math notranslate nohighlight">\(m \neq n\)</span></a></li>
 </ul>
 </li>
 </ul>
@@ -640,6 +767,7 @@ <h3><a href="../index.html">Spis treści:</a></h3>
 <li><a class="reference internal" href="#funkcje-ciagle">Funkcje ciągłe</a><ul>
 <li><a class="reference internal" href="#wlasnosci-funkcji-ciaglych">Własności funkcji ciągłych</a></li>
 <li><a class="reference internal" href="#przyklady-funkcji-ciaglych">Przykłady funkcji ciągłych</a></li>
+<li><a class="reference internal" href="#interpretacja-krzywej">Interpretacja krzywej</a></li>
 </ul>
 </li>
 </ul>

assets/notes/algebra/algebra_2023.10.17.html

@@ -108,8 +108,8 @@ <h2>Własności działań<a class="headerlink" href="#wlasnosci-dzialan" title="
 Na przykład
 $$</p></li>
 </ul>
-<div class="amsmath math notranslate nohighlight" id="equation-65d72e76-2dca-40e5-a4e3-f5f89d244147">
-<span class="eqno">(1)<a class="headerlink" href="#equation-65d72e76-2dca-40e5-a4e3-f5f89d244147" title="Permalink to this equation">¶</a></span>\[\begin{bmatrix}
+<div class="amsmath math notranslate nohighlight" id="equation-2f79fa62-121c-481c-8dcc-e4c5ec3459e3">
+<span class="eqno">(1)<a class="headerlink" href="#equation-2f79fa62-121c-481c-8dcc-e4c5ec3459e3" title="Permalink to this equation">¶</a></span>\[\begin{bmatrix}
 1&amp;0 \\
 0&amp;1
 \end{bmatrix}\]</div>
@@ -191,14 +191,6 @@ <h2>Macierz odwrotna<a class="headerlink" href="#macierz-odwrotna" title="Link t
 <p class="admonition-title">Informacja</p>
 <p>Macierz jest odwracalna jeżeli jest niosobliwa</p>
 </div>
-<section id="obliczanie-macierzy-odwrotnej">
-<h3>Obliczanie macierzy odwrotnej<a class="headerlink" href="#obliczanie-macierzy-odwrotnej" title="Link to this heading">¶</a></h3>
-<ul class="simple">
-<li><p>Macierz odwrotna to taka macierz, która składa się z odpowiednich dopełnień arytmetycznych
-wszystkich elementów macierzy początkowej.</p></li>
-<li><p>dopełnienie arytmetyczne elementu <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">a_ij</span></code> to wyznacznik macierzyz z wykreślon <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">i</span></code>tym rzędem i <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">j</span></code>otą kolumną pomnożony przez <span class="math notranslate nohighlight">\(\fra{1}{detA}\)</span></p></li>
-</ul>
-</section>
 </section>
 </section>
 
@@ -220,10 +212,7 @@ <h3><a href="../../../index.html">Spis treści:</a></h3>
 <li><a class="reference internal" href="#zmiany-na-macierzy-nie-zmieniajace-wyznacznika">zmiany na macierzy nie zmieniające wyznacznika</a></li>
 </ul>
 </li>
-<li><a class="reference internal" href="#macierz-odwrotna">Macierz odwrotna</a><ul>
-<li><a class="reference internal" href="#obliczanie-macierzy-odwrotnej">Obliczanie macierzy odwrotnej</a></li>
-</ul>
-</li>
+<li><a class="reference internal" href="#macierz-odwrotna">Macierz odwrotna</a></li>
 </ul>
 </li>
 </ul>