Skip to content

Commit

Permalink
Add changes for 7d64fbd
Browse files Browse the repository at this point in the history
  • Loading branch information
@actions-user
actions-user committed Nov 29, 2023
1 parent a281b55 commit 28482c4
Show file tree
Hide file tree
Showing 10 changed files with 53 additions and 478 deletions.
Binary file modified .doctrees/assets/index.doctree
View file
Binary file not shown.
Binary file modified .doctrees/assets/notes/algebra/algebra_2023.11.07.doctree
View file
Binary file not shown.
Binary file modified .doctrees/assets/notes/algebra/algebra_2023.11.14.doctree
View file
Binary file not shown.
Binary file modified .doctrees/environment.pickle
View file
Binary file not shown.
Binary file modified .doctrees/index.doctree
View file
Binary file not shown.
218 changes: 23 additions & 195 deletions assets/index.html
View file

Large diffs are not rendered by default.

111 changes: 2 additions & 109 deletions assets/notes/algebra/algebra_2023.11.07.html
View file
Original file line number Diff line number Diff line change
Expand Up @@ -68,7 +68,7 @@ <h3>Nawigacja</h3>
<h1>Przestrzenie wektorowe<a class="headerlink" href="#przestrzenie-wektorowe" title="Link to this heading"></a></h1>
<div class="admonition-przestrzen-wektorowa admonition">
<p class="admonition-title">Przestrzeń Wektorowa</p>
<p>(K, +, C, <span class="math notranslate nohighlight">\(*\)</span>) jest grupą abelową, natomiast <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">V</span></code> zbiorem (<span class="math notranslate nohighlight">\(V \neq \emptyset\)</span>).</p>
<p>(K, +, <span class="math notranslate nohighlight">\(*\)</span>) jest grupą abelową, natomiast <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">V</span></code> zbiorem (<span class="math notranslate nohighlight">\(V \neq \emptyset\)</span>).</p>
<ul class="simple">
<li><p>(V, +) jest grupą abelową</p></li>
<li><p><span class="math notranslate nohighlight">\(\forall v, v \in V \quad \forall \alpha \in K \quad \alpha * (v + v) = (\alpha * v) + (\alpha * v)\)</span> (występuje rozdzielność mnożenia względem dodawania w mnożeniu <strong>sumy wektorów</strong> przez <strong>skalar</strong>)</p></li>
Expand All @@ -82,103 +82,6 @@ <h1>Przestrzenie wektorowe<a class="headerlink" href="#przestrzenie-wektorowe" t
<p class="admonition-title">Wskazówka</p>
<p>Elementy zbioru V nazywamy wektorami, a K - skalarami</p>
</div>
<div class="admonition note">
<p class="admonition-title">Informacja</p>
<p>Zbiór <span class="math notranslate nohighlight">\((\mathbb{R}^2, +, \mathbb{R}, *)\)</span> to tradycyjny zbiór wektorów na płaszczyźnie dwuwymiarowej.
<span class="math notranslate nohighlight">\(V = \mathbb{R}^2\)</span> określa dwa wymiary palszczyzny a <span class="math notranslate nohighlight">\(K = \mathbb{R}\)</span> to ciało (zbiór) tzw. skalarów.</p>
</div>
<section id="podprzestrzenie-liniowe">
<h2>Podprzestrzenie liniowe<a class="headerlink" href="#podprzestrzenie-liniowe" title="Link to this heading"></a></h2>
<p>Zbiór <span class="math notranslate nohighlight">\(U\)</span> nazywamy podprzestrzenią przestrzeni V gdy działania zadeklarowane dla te podprzestrzeni są w niej wewnętrzne.</p>
<div class="admonition note">
<p class="admonition-title">Informacja</p>
<p>Innymi słowy aby sprawdzić czy dany zbiór jest podprzestrzenią przestrzeni V dla dla dwuch wektorów <span class="math notranslate nohighlight">\(v_1 i v_2 \in V\)</span> oraz skalara <span class="math notranslate nohighlight">\(\alpha\)</span></p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[
v_1 + v_2 \in V' \land \alpha v_1 \in V'
\]</div>
</div>
<div class="admonition important">
<p class="admonition-title">Ważne</p>
<p><strong>0</strong> musi należeć do podprzestrzeni</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}
niech~(\mathbb{R^3}, +, \mathbb{R}, *) \\
-1 * v_1 = -v_1 \in \mathbb{R}^3 \\
v_1 - v_1 = 0 \\
\end{split}\]</div>
</div>
<div class="admonition tip">
<p class="admonition-title">Wskazówka</p>
<p>Jeżeli w definicji przestrzeni występuje translacja (dodanie stałej) przestrzeń ta nie jest podprzestrzenią przestrzeni V.</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}
V = (\mathbb{R}^3, +, K, *) \\
U = \left\{(x + 1, y + x, z) : x, y, z \in \mathbb{R} \right\} \\
\\
x_1 + 1 + x_2 + 1 = (x_1 + x_2) + 2 \neq (x_1 + x_2) + 1
\\
\\
V = (\mathbb{R}^3, +, K, *) \\
U = \left\{(2x, y + x, z) : x, y, z \in \mathbb{R} \right\} \\
\\
2x_1 + 2x_2 = 2(x_1 + x_2) \\
\alpha 2 x_1 + \alpha 2 x_2 = \alpha 2 (x_1 + x_2)
\end{split}\]</div>
<p>Analogicznie można postępować dla innych wyrazów.</p>
</div>
</section>
<section id="liniowa-zaleznosc-wektorow">
<h2>Liniowa zależność wektorów<a class="headerlink" href="#liniowa-zaleznosc-wektorow" title="Link to this heading"></a></h2>
<div class="admonition-liniowa-zaleznosc-wektorow admonition">
<p class="admonition-title">liniowa zależność wektorów</p>
<p>Wektory są liniowo niezależne gdy żadnego z nich nie można przedstawić w formie kombinacji liniowej pozostałych.</p>
<p>Przykładowo <span class="math notranslate nohighlight">\(v = \alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3\)</span> nie jest liniowo niezależny.</p>
<p>Biorąc pod uwagę inny przykład:</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}
v = (5, 4, -18) \\
v = 5 \hat{i} + 4 \hat{j} - 18 \hat{k} \\
gdzie:\\
\hat{i} = (1, 0, 0) \\
\hat{j} = (0, 1, 0) \\
\hat{k} = (0, 0, 1) \\
\end{split}\]</div>
<div class="admonition tip">
<p class="admonition-title">Wskazówka</p>
<p>To tak jak w macierzach, gdzie jeden z rzędów można wyzerować za pomocą innych.</p>
</div>
<div class="admonition note">
<p class="admonition-title">Informacja</p>
<p>Aby sprawdzić czy wektory są liniowo niezależne budujemy macierz
z wektorami wpisanymi w kolumny (tak aby poróœnywać x-owe współrzędne e.t.c.) i przyrównujemy do (0,0,…,0)
i obliczamy jej rząd.</p>
</div>
</div>
<div class="admonition-generatory admonition">
<p class="admonition-title">Generatory</p>
<p>Zbiór generatorów to zbiór wektorów pozwalających na zapisanie każdego
innego wektora w danej podprzestrzeni.</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[
v = \alpha w_1 + \beta w_2 + ... + \theta w_n
\]</div>
<ul class="simple">
<li><p>zbiór generatorów oznaczamy jako <span class="math notranslate nohighlight">\(W\)</span></p></li>
<li><p>natomiast generowaną przez nie podprzestrzeń <span class="math notranslate nohighlight">\(limW\)</span></p></li>
</ul>
</div>
<div class="admonition-twierdzenie-o-geneowaniu-podprzestrzeni-mathbb-r-n admonition">
<p class="admonition-title">Twierdzenie o geneowaniu podprzestrzeni <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{R}^n\)</span></p>
<p>Wektory <span class="math notranslate nohighlight">\(v_1, v_2, ..., v_k\)</span> generują przestrzeń <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{R}^n\)</span> (o n wymiarach) <span class="math notranslate nohighlight">\(\Leftrightarrow\)</span> <span class="math notranslate nohighlight">\(rowA\)</span> (rząd macierzy A) jest równy n.
Macierz A to taka macierz, która składa się w kolejno wpisanych w wierszach wektorach v.</p>
<div class="admonition tip">
<p class="admonition-title">Wskazówka</p>
<p><span class="math notranslate nohighlight">\(k \geq n\)</span> tzn. że generatorów może być więcej niż wymiarów przestrzeni, jednak jeżeli tak jest
oznacza to że kilka z nich (<span class="math notranslate nohighlight">\(k-n\)</span>) jest liniowo zależnych.</p>
</div>
</div>
</section>
</section>


Expand All @@ -187,17 +90,7 @@ <h2>Liniowa zależność wektorów<a class="headerlink" href="#liniowa-zaleznosc
</div>
</div>
<div class="sphinxsidebar" role="navigation" aria-label="main navigation">
<div class="sphinxsidebarwrapper"><div class="sphinx-toc sphinxlocaltoc">
<h3><a href="../../../index.html">Spis treści:</a></h3>
<ul>
<li><a class="reference internal" href="#">Przestrzenie wektorowe</a><ul>
<li><a class="reference internal" href="#podprzestrzenie-liniowe">Podprzestrzenie liniowe</a></li>
<li><a class="reference internal" href="#liniowa-zaleznosc-wektorow">Liniowa zależność wektorów</a></li>
</ul>
</li>
</ul>

</div>
<div class="sphinxsidebarwrapper">
<div id="searchbox" style="display: none" role="search">
<h3 id="searchlabel">Szybkie wyszukiwanie</h3>
<div class="searchformwrapper">
Expand Down
101 changes: 18 additions & 83 deletions assets/notes/algebra/algebra_2023.11.14.html
View file
Original file line number Diff line number Diff line change
Expand Up @@ -84,88 +84,30 @@ <h3>Nawigacja</h3>
\]</div>
<p>Jest podprzestrzenią</p>
</div>
<section id="baza">
<h1>Baza<a class="headerlink" href="#baza" title="Link to this heading"></a></h1>
<p>Układ wektorów (generatorów) można nazwać bazą, jeżeli:</p>
<ul class="simple">
<li><p>są niezależne liniowo</p></li>
<li><p>generują przestrzeń wektorową</p></li>
</ul>
<div class="admonition-baza admonition">
<p class="admonition-title">Baza</p>
<p>Podsumowując: układ n wektorów-generatorów liniowo niezależnych w przestrzeni n-wymiarowej jest bazą</p>
<div class="admonition important">
<p class="admonition-title">Ważne</p>
<p>przestrzeń <span class="math notranslate nohighlight">\(\left\{\bf{0}\right\}\)</span> nie posiada bazy.</p>
</div>
<div class="admonition tip">
<p class="admonition-title">Wskazówka</p>
<p>Najprostszą bazą przestrzeni 3-wymiarowej jet układ wersorów <span class="math notranslate nohighlight">\((\hat{j}, \hat{k}, \hat{l})\)</span></p>
</div>
<div class="admonition-reper-bazowy-aka-baza-uporzadkowana admonition">
<p class="admonition-title">Reper Bazowy (aka Baza uporządkowana)</p>
<p>To uporządkowany ciąg wektorów bazowych.</p>
</div>
</div>
<div class="admonition-wymiar-przestrzeni-wektorowej-v admonition">
<p class="admonition-title">Wymiar przestrzeni wektorowej V</p>
<p>To liczba eleentów bazy i oznaczamy <span class="math notranslate nohighlight">\(dimX\)</span> gdzie X to przestrzeń.</p>
<div class="admonition note">
<p class="admonition-title">Informacja</p>
<p><span class="math notranslate nohighlight">\(dim{0} = 0\)</span></p>
</div>
<div class="admonition tip">
<p class="admonition-title">Wskazówka</p>
<p>Wymiar podprzestrzeni jest mniejszy niż wymiar przestrzeni wyjściowej.
Jeżeli <span class="math notranslate nohighlight">\(dimV = dimW \Rightarrow W = V\)</span></p>
<p><strong>Generatory</strong></p>
<p>w przestrzei 2-wymiarowej generatorami są wersory <span class="math notranslate nohighlight">\(\hat{i}\)</span> i <span class="math notranslate nohighlight">\(\hat{j}\)</span>, ponieważ każdy inny
wektor w tej przestrzeni można opisać w postaci kombinacji liniowej tych wektorów</p>
</div>
<div class="admonition-uklad-niezalezny admonition">
<p class="admonition-title">Układ niezależny</p>
<p>jeżeli <span class="math notranslate nohighlight">\(a_1 v_1+ ... + a_n v_n = 0 \rightarrow a_1...a_n = 0\)</span></p>
<p>Oznacza to, że wszystkie elementy są istotne i żadnego nie można przedstawić jako kombinacji pozostałych.</p>
</div>
<div class="admonition tip">
<p class="admonition-title">Wskazówka</p>
<p>Współrzędnymi wektora nazywamy skalary <span class="math notranslate nohighlight">\(v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n\)</span>
i zapisujemy jako <span class="math notranslate nohighlight">\(v = [\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n]_B\)</span></p>
</div>
</section>
<section id="macierz-przejscia">
<h1>Macierz Przejścia<a class="headerlink" href="#macierz-przejscia" title="Link to this heading"></a></h1>
<div class="admonition note">
<p class="admonition-title">Informacja</p>
<p>Oznaczenie: <span class="math notranslate nohighlight">\(P_{B \to B'}\)</span></p>
</div>
<div class="admonition-macierz-przejscia admonition">
<p class="admonition-title">Macierz przejścia</p>
<p>Wektor v należy do przestrzeni liniowej V.</p>
<p>W bazie <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">B</span></code> można zapisać go jako <span class="math notranslate nohighlight">\(v = [x_1, x_2, ..., x_n]_B\)</span> natomiast w bazie <span class="math notranslate nohighlight">\(B'\)</span>:
<span class="math notranslate nohighlight">\(v = [x_1', x_2', ..., x_n']_{B'}\)</span></p>
<p><strong>W takim przypadku macierz przejścia można powiązać z wektorami w poszczególnych bazach jako:</strong> <span class="math notranslate nohighlight">\(\bf{X = P_{B \to B'} X'}\)</span>.</p>
<p>X to wypisane w jdenej kolumnie współrzędne w bazie B a <span class="math notranslate nohighlight">\(X'\)</span> - w bazie <span class="math notranslate nohighlight">\(B'\)</span>.</p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}
X = \begin{Bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
... \\
x_n
\end{Bmatrix}
\quad
X' = \begin{Bmatrix}
x_1' \\
x_2' \\
... \\
x_n'
\end{Bmatrix}
\end{split}\]</div>
<p><span class="math notranslate nohighlight">\(P_{B \to B'}\)</span> to obraz azy <span class="math notranslate nohighlight">\(B'\)</span> w bazie <span class="math notranslate nohighlight">\(B\)</span></p>
<div class="math notranslate nohighlight">
\[\begin{split}
P_{B \to B'} = \begin{Bmatrix}
b_{1_1} &amp; b_{1_2} &amp; ... &amp; b_{1_n} \\
b_{2_1} &amp; b_{2_2} &amp; ... &amp; b_{2_n} \\
... &amp; ... &amp; ... &amp; ... \\
b_{n_1} &amp; b_{n_2} &amp; ... &amp; b_{n_n} \\
\end{Bmatrix}
\end{split}\]</div>
<p>wektory generują przestrzeń <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{R}^n \Leftrightarrow\)</span> rząd macierzy złożonej
z tych wektorów jes trówny <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">n</span></code></p>
</div>
<section id="baza">
<h1>Baza<a class="headerlink" href="#baza" title="Link to this heading"></a></h1>
<p>Układ wektorów można nazwać bazą, jeżeli:</p>
<ul class="simple">
<li><p>są niezależne liniowo</p></li>
<li><p>generują przestrzeń wektorową</p></li>
<li><p>układ n wektorów liniowo niezależnych wprzestrzeni n-wymiarowej jest bazą</p></li>
</ul>
</section>


Expand All @@ -174,14 +116,7 @@ <h1>Macierz Przejścia<a class="headerlink" href="#macierz-przejscia" title="Lin
</div>
</div>
<div class="sphinxsidebar" role="navigation" aria-label="main navigation">
<div class="sphinxsidebarwrapper"><div class="sphinx-toc sphinxlocaltoc">
<h3><a href="../../../index.html">Spis treści:</a></h3>
<ul>
<li><a class="reference internal" href="#">Baza</a></li>
<li><a class="reference internal" href="#macierz-przejscia">Macierz Przejścia</a></li>
</ul>

</div>
<div class="sphinxsidebarwrapper">
<div id="searchbox" style="display: none" role="search">
<h3 id="searchlabel">Szybkie wyszukiwanie</h3>
<div class="searchformwrapper">
Expand Down
Loading

0 comments on commit 28482c4

Please sign in to comment.