vault backup: 2024-12-26 17:53:43

Affected files:
.obsidian/workspace.json
_posts/pool/2024-12-26-小case.md
_posts/pool/2024-12-26-微积分.md

.obsidian/workspace.json

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+              "title": "Diff View (2024-12-26-微积分)"
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+    "_posts/pool/2024-12-26-小case.md",
     "_posts/pool/2024-12-18-github_api爬虫.md",
     "_posts/engineering/2024-09-11-git版本管理常见技巧.md",
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     "_posts/engineering/2024-10-16-Elasticsearch之一百种你不得不记的RESTful api.md",
     "_posts/engineering/2024-10-24-ssh-keygen自定义密钥名称.md",
     "_posts/engineering/2024-09-13-linux安装全局可用的conda+创建有root权限的新账号.md",
-    "_posts/coding/2024-08-13-json.dumps输出美化版json.md",
-    "_posts/coding/2024-08-13-chatglm-PPO训练路径探索.md",
     "Clippings",
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     "assets/img/mrj9tyfxgpwc4ohkdhkq3uu3azxww8g.png",

_posts/pool/2024-12-26-小case.md

@@ -0,0 +1,12 @@
+---
+title: 
+author: X
+date: 2024-12-26 13:59:58 +0800
+categories:
+  - coding
+tags:
+---
+
+- `os.sep` 是操作系统的路径分隔符，在 Windows 上是反斜杠 (`\`)，在 Unix/Linux/MacOS 系统上是正斜杠 (`/`)。
+
+所以可以用`.split(os.sep)`的方式来分割路径，这种方式会比较通用。

_posts/pool/2024-12-26-微积分.md

@@ -0,0 +1,125 @@
+---
+title: 微积分
+author: X
+date: 2024-12-26 14:24:02 +0800
+categories:
+  - math
+tags:
+  - 自然哲学的数学原理
+---
+参考视频：
+[三分钟弄懂微积分](https://www.bilibili.com/video/BV1mb411r7bd/?vd_source=84405b9467efb94cfe7797c37e3fba56)
+参考笔记：
+[机器学习笔记 -- 数学×微积分入门](https://sunocean.life/blog/blog/2020/09/02/deep-learning-math-calculus)
+
+- 微分
+	- 主要研究两个无穷小量的比值
+- 积分
+	- 主要研究无限多的无穷小量之和
+
+## 微积分符号定义
+符号定义： $d+var$ 表示某个变量的极小的一点变化。
+
+$d$ 和 $∫$ 是可以互相抵消的，因为求导和求积分互为逆运算，这就好比平方和平方根可以抵消一样。
+
+积分符号“$∫$” 和 $Σ$ 有相同的意义。
+
+例如 $\int_{1}^{2} f(x) \, dx$， 意为 $f(x)$ 与 $dx$ 相乘，这将在坐标系中得到一个极小量（可以看作 $f(x)$ 与 $x$ 轴间的一根细条），将1~2间无数个极小量求和，即为1~2下 $f(x)$ 与 $x$ 轴围成的面积。
+
+## 与导数的关系
+
+### 导数定义
+对任意函数 $f(x)$ ，它的导数 $f'(x)$ 为 $\displaystyle \frac{df(x)}{dx}\,=\,\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}$  
+更精确的表示为，当 $dx$ 无限逼近 $0$ 时， $f'(x)$ 才是真正的导数，也就是说：
+$$
+\frac{df(x)}{dx}\,=\,\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} 
+$$ 
+在数学上，导数的含义是：经过图像上某一点的切线。
+
+### 关系桥梁推导
+微积分基本定理是微积分学中最核心的定理之一，它建立了微分和积分之间的联系。
+
+#### 微积分基本定理的第一部分
+
+**定理陈述**：设 $f$ 是区间 $[a, b]$ 上的连续函数，定义函数 $F$ 为
+$$
+F(x) = \int_a^x f(t) \, dt
+$$
+则 $F$ 在 $[a, b]$ 上可导，并且
+$$ F'(x) = f(x) $$
+即：第一部分定理指明了 $\int_a^x f(t) \, dt$ 为 $f(x)$ 的原函数。
+
+**详细证明**：
+
+1. **定义差商**：
+   $$
+   \frac{F(x + h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h} \left( \int_a^{x+h} f(t) \, dt - \int_a^x f(t) \, dt \right)
+   $$
+2. **利用积分的性质**：
+   $$
+   \int_a^{x+h} f(t) \, dt = \int_a^x f(t) \, dt + \int_x^{x+h} f(t) \, dt
+   $$
+   这里其实也可以直接看作是$\displaystyle \int_a^{x+h} - \int_a^x = \int_x^{x+h}$ 
+   因此，
+   $$
+   \frac{F(x + h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t) \, dt
+   $$
+3. **均值定理**：
+   由于 $f$ 在 $[x, x+h]$ 上连续，根据积分的均值定理，存在  $c \in [x, x+h]$ 使得
+   $$\int_x^{x+h} f(t) \, dt = f(c) \cdot h$$
+   因此，
+   $$\frac{F(x + h) - F(x)}{h} = f(c)$$
+4. **取极限**：
+   当 $h \to 0$ 时， $c \to x$ ，因为 $c$ 在 $[x, x+h]$ 内。由于 $f$ 在 $x$ 处连续，
+   $$\lim_{h \to 0} f(c) = f(x)$$
+   这段就是说，$h \to 0$ 时，相当于这段积分就在 $x$ 点上，那不就是 $c \to x$ 了吗？
+   因此，
+   $$F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F(x + h) - F(x)}{h} = f(x)$$
+
+#### 微积分基本定理的第二部分
+
+**定理陈述**：设 $f$ 是区间 $[a, b]$ 上的连续函数，且 $F$ 是 $f$ 的一个原函数（即 $F'(x) = f(x)$ ），则
+$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$
+
+**详细证明**：
+
+1. **定义辅助函数**：
+   设 $G(x) = \int_a^x f(t) \, dt$。根据第一部分，我们知道 $G'(x) = f(x)$。
+
+2. **原函数的性质**：
+   由于 $F$ 也是 $f$ 的一个原函数，即 $F'(x) = f(x)$，因此 $F(x)$ 和 $G(x)$只相差一个常数 $C$ ：
+   $$
+   F(x) = G(x) + C
+   $$
+
+3. **确定常数 $C$**：
+   由于 $G(a) = \int_a^a f(t) \, dt = 0$，我们有
+   $$
+   F(a) = G(a) + C = 0 + C = C
+   $$
+   因此，
+   $$
+   C = F(a)
+   $$
+   所以，
+   $$
+   F(x) = G(x) + F(a)
+   $$
+
+4. **计算定积分**：
+   当 $x = b$ 时，
+   $$
+   F(b) = G(b) + F(a)
+   $$
+   因此，
+   $$
+   G(b) = F(b) - F(a)
+   $$
+   即
+   $$
+   \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
+   $$
+
+#### 总结
+
+微积分基本定理的第一部分表明，积分函数的导数就是被积函数。第二部分表明，定积分可以通过原函数的差值来计算。