Quelques améliorations dans les displaystyle.

content/latex/lessons/premiere/fonctions-trigonometriques.tex

@@ -38,7 +38,7 @@
 	\includerepresentation{b4vazqb5}
 
 	\begin{tip}[Longueur d'arcs de cercle]
-		L'enroulement de cette droite permet ainsi de mesurer des longueurs d'arcs sur le cercle $\mathcal{C}$. Ainsi, la longueur d'un quart de cercle vaut $\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$ (celle d'un demi-cercle vaut $\pi$ et celle d'un cercle vaut $2\pi$).
+		L'enroulement de cette droite permet ainsi de mesurer des longueurs d'arcs sur le cercle $\mathcal{C}$. Ainsi, la longueur d'un quart de cercle vaut $\frac{\pi}{2}$ (celle d'un demi-cercle vaut $\pi$ et celle d'un cercle vaut $2\pi$).
 	\end{tip}
 
 	Ainsi, puisque l'on peut enrouler infiniment cette droite autour du cercle, les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période $2\pi$.

content/latex/lessons/terminale/chaines-markov.tex

@@ -65,7 +65,7 @@
 	\end{formula}
 
 	\begin{tip}[Exemple]
-		Dans l'exemple précédent (en supposant que $S$ est le 1\ier{} sommet et que $M$ est le 2\ieme{}) la matrice de transition du graphe $G$ est $\displaystyle{\begin{pmatrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,4 & 0,6 \end{pmatrix}}$.
+		Dans l'exemple précédent (en supposant que $S$ est le 1\ier{} sommet et que $M$ est le 2\ieme{}) la matrice de transition du graphe $G$ est $\begin{pmatrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,4 & 0,6 \end{pmatrix}$.
 	\end{tip}
 
 	Attention cependant à ne pas confondre matrice de transition et matrice d'adjacence.
@@ -105,11 +105,11 @@
 		\newpar
 		Si on note par $X_n$ le nombre de vignettes différentes dans la collection d'Eliott après qu'il eut ouvert $n$ paquets de céréales, alors $(X_n)$ est une chaîne de Markov homogène (commençant par $X_0 = 0$). En effet, pour tout $k \in \{0, 1, \dots, 11\}$, on a que l'événement $(X_{n+1} = k)$ ne dépend que de $X_n$ :
 		\newpar
-		$\displaystyle{P_A(X_{n+1} = k) = \begin{cases}
-				\frac{k}{11} \text{ si } A \text{ est l'événement } (X_n = k) \\
-				1 - \frac{k-1}{11} \text{ si } A \text{ est l'événement } (X_n = k-1) \text{ et que } k \geq 1 \\
-				0 \text{ sinon}
-		\end{cases}}$
+		\[ P_A(X_{n+1} = k) = \begin{cases}
+      \frac{k}{11} \text{ si } A \text{ est l'événement } (X_n = k) \\
+      1 - \frac{k-1}{11} \text{ si } A \text{ est l'événement } (X_n = k-1) \text{ et que } k \geq 1 \\
+      0 \text{ sinon}
+    \end{cases} \]
 		\newpar
 		Pour détailler un peu plus :
 		\begin{itemize}
@@ -183,7 +183,7 @@
 
 	\begin{formula}[Définition]
 		\contentwidth[big]
-		Soit $(X_n)$ une chaîne de Markov homogène dont on note $E = \{x_1, x_2, \dots, x_m\}$ l'espace des états. On appelle \textbf{suite des distributions} de $(X_n)$ la suite de matrices $(\pi_n)$, définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $\displaystyle{\pi_n = \begin{pmatrix} P(X_n = x_1) & P(X_n = x_2) & \dots & P(X_n = e_m) \end{pmatrix}}$.
+		Soit $(X_n)$ une chaîne de Markov homogène dont on note $E = \{x_1, x_2, \dots, x_m\}$ l'espace des états. On appelle \textbf{suite des distributions} de $(X_n)$ la suite de matrices $(\pi_n)$, définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $\pi_n = \begin{pmatrix} P(X_n = x_1) & P(X_n = x_2) & \dots & P(X_n = e_m) \end{pmatrix}$.
 		\newpar
 		$\pi_n$ est donc une matrice ligne d'ordre $m$ et est appelée \textbf{distribution au temps $n$}.
 		\newpar
@@ -217,9 +217,9 @@
 		\newpar
 		Soit $M$ la matrice de transition $M$ de $(X_n)$. Calculons quelques puissances de $M$ :
 		\begin{itemize}
-			\item $\displaystyle{M = \begin{pmatrix} 0,5 & 0,3 & 0,2 \\ 0,2 & 0,7 & 0,1 \\ 0,3 & 0,3 & 0,4 \end{pmatrix}}$
-			\item $\displaystyle{M^2 = \begin{pmatrix} 0,37 & 0,42 & 0,21 \\ 0,27 & 0,58 & 0,15 \\ 0,33 & 0,42 & 0,25 \end{pmatrix}}$
-			\item $\displaystyle{M^3 = \begin{pmatrix} 0,332 & 0,468 & 0,2 \\ 0,296 & 0,532 & 0,172 \\ 0,324 & 0,468 & 0,208 \end{pmatrix}}$
+			\item $M = \begin{pmatrix} 0,5 & 0,3 & 0,2 \\ 0,2 & 0,7 & 0,1 \\ 0,3 & 0,3 & 0,4 \end{pmatrix}$
+			\item $M^2 = \begin{pmatrix} 0,37 & 0,42 & 0,21 \\ 0,27 & 0,58 & 0,15 \\ 0,33 & 0,42 & 0,25 \end{pmatrix}$
+			\item $M^3 = \begin{pmatrix} 0,332 & 0,468 & 0,2 \\ 0,296 & 0,532 & 0,172 \\ 0,324 & 0,468 & 0,208 \end{pmatrix}$
 		\end{itemize}
 		Ainsi :
 		\begin{itemize}
@@ -235,7 +235,7 @@
 	\begin{formula}[Définition]
 		Soit $(X_n)$ une chaîne de Markov homogène de matrice de transition $M$. Une distribution $\pi$ est \textbf{invariante} si les deux conditions suivantes sont respectées :
 		\begin{itemize}
-			\item $\displaystyle{\pi M = \pi}$ (donc si $\pi$ est une distribution à un temps $n$, on a $\pi = \pi_n$ et cette condition se résume à avoir $\pi_n = \pi_n M = \pi_{n+1}$).
+			\item $\pi M = \pi$ (donc si $\pi$ est une distribution à un temps $n$, on a $\pi = \pi_n$ et cette condition se résume à avoir $\pi_n = \pi_n M = \pi_{n+1}$).
 			\item La somme des coefficients de $\pi$ vaut $1$.
 		\end{itemize}
 	\end{formula}

content/latex/lessons/terminale/matrices-graphes.tex

@@ -64,8 +64,7 @@
 	\begin{formula}[Somme de deux matrices]
 		\contentwidth[big]
 		Pour additionner deux matrices de même taille, il suffit d'additionner leurs coefficients deux-à-deux. Plus spécifiquement :
-		\newpar
-		$\displaystyle \begin{pmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \dots & a_{m,n}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_{1,1} & b_{1,2} & \dots & b_{1,n} \\ b_{2,1} & b_{2,2} & \dots & b_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m,1} & b_{m,2} & \dots & b_{m,n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{1,1} + b_{1,1} & a_{1,2} + b_{1,2} & \dots & a_{1,n} + b_{1,n} \\ a_{2,1} + b_{2,1} & a_{2,2} + b_{2,2} & \dots & a_{2,n} + b_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} + b_{m,1} & a_{m,2} + b_{m,2} & \dots & a_{m,n} + b_{m,n}\end{pmatrix}$
+		\[ \begin{pmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \dots & a_{m,n}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_{1,1} & b_{1,2} & \dots & b_{1,n} \\ b_{2,1} & b_{2,2} & \dots & b_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m,1} & b_{m,2} & \dots & b_{m,n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{1,1} + b_{1,1} & a_{1,2} + b_{1,2} & \dots & a_{1,n} + b_{1,n} \\ a_{2,1} + b_{2,1} & a_{2,2} + b_{2,2} & \dots & a_{2,n} + b_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} + b_{m,1} & a_{m,2} + b_{m,2} & \dots & a_{m,n} + b_{m,n}\end{pmatrix} \]
 	\end{formula}
 
 	\begin{tip}[Attention !]

content/latex/lessons/terminale/nombres-complexes.tex

@@ -26,7 +26,7 @@
 
 	\begin{tip}[Schéma]
 		Il peut être dur de se représenter l'ensemble des nombres complexes, voici un schéma représentant les ensembles de nombres déjà connus :
-		\includelatexpicture{ensembles}
+		\includelatexpicture[200pt]{ensembles}
 
 		Comme on peut le voir ici, l'ensemble $\mathbb{C}$ contient l'ensemble $\mathbb{R}$ mais également des nombres qui ne sont pas réels ($i$, $1 + i$, etc.).
 	\end{tip}
@@ -139,9 +139,8 @@
 	On donne enfin la \textbf{formule du binôme de Newton}, qui peut s'avérer utile pour développer certaines expressions.
 
 	\begin{formula}[Formule du binôme de Newton]
-		Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes.
-		\newpar
-		Alors pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\displaystyle{(a + b)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{k}{n} a^k b^{n-k}}$.
+		Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes. Alors pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
+		\[ (a + b)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{k}{n} a^k b^{n-k} \]
 	\end{formula}
 
 	\begin{demonstration}[Formule du binôme de Newton]
@@ -158,9 +157,7 @@
 		Ainsi, forcément, $i = n-k$ (car si on ne choisit pas $a$, alors on choisit $b$ ; choisir $k$ fois $a$ revient donc à choisir $n-k$ fois $b$).
 		\newpar
 		De plus, il y a $\binom{n}{k}$ manières de choisir $k$ fois $a$ parmi les $n$ expressions $(a+b)$, alors l'expression $a^k b^{n-k}$ apparaît $\binom{n}{k}$ lors du développement. Notre somme de termes devient donc :
-		\newpar
-		$ \displaystyle (a+b)^n = \underbrace{(a^0b^{n-0} + \dots + a^0b^{n-0})}_{\binom{n}{0} \text{ termes}} + \dots + \underbrace{(a^kb^{n-k} + \dots + a^kb^{n-k})}_{\binom{n}{k} \text{ termes}} + \dots + \underbrace{(a^nb^{n-n} + \dots + a^nb^{n-n})}_{\binom{n}{n} \text{ termes}} $
-		\newpar
+		\[ (a+b)^n = \underbrace{(a^0b^{n-0} + \dots + a^0b^{n-0})}_{\binom{n}{0} \text{ termes}} + \dots + \underbrace{(a^kb^{n-k} + \dots + a^kb^{n-k})}_{\binom{n}{k} \text{ termes}} + \dots + \underbrace{(a^nb^{n-n} + \dots + a^nb^{n-n})}_{\binom{n}{n} \text{ termes}} \]
 		C'est ce qu'il fallait démontrer.
 	\end{demonstration}
 
@@ -183,7 +180,7 @@
 		On considère l'équation $(E) : az^2 + bz + c = 0$ (où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels et $a \neq 0$). On pose $\Delta = b^2 - 4ac$, et alors les solutions de $(E)$ dépendent du signe de $\Delta$ :
 		\begin{itemize}
 			\item Si $\Delta > 0$, $(E)$ admet deux solutions réelles $z_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
-			\item Si $\Delta = 0$, $(E)$ admet une solution réelle $\displaystyle{z_0 = \frac{-b}{2a}}$.
+			\item Si $\Delta = 0$, $(E)$ admet une solution réelle $z_0 = \frac{-b}{2a}$.
 			\item Si $\Delta < 0$, $(E)$ admet deux solutions complexes conjuguées $z_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \bar{z_1}$.
 		\end{itemize}
 	\end{formula}