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- 设$P$是一数域，一个系数在数域$P$中的$x_1,x_2,\cdots,x_n$的二次齐次多项式
称为数域$P$上一个$n$元二次型，或简称为二次型。
- 把（1）的系数排成一个$n \times n$矩阵
$$ A= \left ( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \
\end{matrix} \right ) a_{ij}=a_{ji},i,j=1,\cdots,n $$
它就称为二次型（1）的矩阵。
因为$a_{ij}=a_{ji},i,j=1,\cdots,n$，所以，$A'=A$。因此二次型的矩阵都是对称的。
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令 $$ X=\left ( \begin{matrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_n \ \end{matrix} \right ) $$ 于是二次型可以用矩阵的乘积表示出来 $$ X'AX=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\left ( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \
\end{matrix} \right )\left ( \begin{matrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_n \ \end{matrix} \right )=f(x_1,x_2,\cdots,x_n) $$
二次型和它的矩阵是相互唯一决定的。
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线性替换 设$x_1,\cdots,x_n;y_1,\cdots,y_n$是两组文字，系数在数域$P$中的一组关系式 $$ \begin{cases} x_1=c_{11}y_1 +c_{12}y_2+\cdots +c_{1n}y_n \ x_2=c_{21}y_1 +c_{22}y_2+\cdots +c_{2n}y_n\ \ \ \ \cdots \cdots \ x_n=c_{n1}y_1 +c_{n2}y_2+\cdots +c_{nn}y_n \ \end{cases} $$ 称为由$x_1,\cdots,x_n$到$y_1,\cdots,y_n$的一个线性替换。
如果系数行列式$|c_{ij}|\neq 0$，那么线性替换（5）就称为非退化的。
线性替换把二次型变成二次型。
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令 $$ C=\left ( \begin{matrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \
\end{matrix} \right )， Y= \left ( \begin{matrix} y_1 \ y_2 \ \vdots \ y_n \ \end{matrix} \right ) $$ 线性替换可以写成 $$ \left ( \begin{matrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_n \ \end{matrix} \right )
\left ( \begin{matrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \
\end{matrix} \right ) \left ( \begin{matrix} y_1 \ y_2 \ \vdots \ y_n \ \end{matrix} \right ) $$ 或者
$X=CY$ -
替换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系 $$ f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X'AX=(CY)'A(CY)=Y'(C'AC)Y=Y'BY $$ 因此
$B=C'AC$
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定义 数域$P$上$n \times n$矩阵$A,B$称为合同的，如果有数域$P$上可逆的$n \times n$矩阵$C$，使
$B=C'AC$ 合同是矩阵之间的一个关系。合同关系具有
- 自反性
$A=E'AE$ - 对称性 由
$B=C'AC$ 可以得到$A=(C^{-1})'BC^{-1}$ - 传递性 由$A_1=C_1'AC_1,A_2=C_2’AC_2$即得$A_2=(C_1C_2)'A(C_1C_2)$
因此，经过非退化的线性替换，新的二次型的矩阵与二次型的矩阵是合同的。
- 自反性
- 数域$P$上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方和$d_1x_1^2+d_2x_2^2+\cdots+d_nx_n^2$的形式.
二次型$f(x_1，x_2,\cdots,x_n)$经过非退化线性替换所变成的平方和称为$f(x_1，x_2,\cdots,x_n)$的一个标准形。
(x_1,x_2,\cdots,x_n)\left ( \begin{matrix} d_1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & d_2 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & d_n \
\end{matrix} \right )\left ( \begin{matrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_n \ \end{matrix} \right ) $$
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在数域$P$上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵。
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在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所做的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩
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在一般的数域中，二次型的标准形不是唯一的而与所作的非退化的线性替换有关。
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配方法
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$a_{ii}(i=1,2,\cdots,n)$ 中至少有一个不为零，不妨设$a_{11}\neq 0$，这时 $$ f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_{11}x_1^2+\sum_{j=2}^n{a_{1j}x_1x_j}+\sum_{i=2}^n{a_{i1}x_ix_1}+\sum_{i=2}^n\sum_{j=2}^{n}{a_{ij}x_ix_j} \ =a_{11}x_1^2+2\sum_{j=2}^n{a_{1j}x_1x_j}+\sum_{i=2}^n\sum_{j=2}^{n}{a_{ij}x_ix_j} \ (合并x_1出现的交叉项)\ =a_{11}(x_1+\sum_{j=2}^n{a_{11}^{-1}a_{1j}x_j})^2-a_{11}^{-1}(\sum_{j=2}^n{a_{1j}x_j})^2+\sum_{i=2}^n\sum_{j=2}^{n}{a_{ij}x_ix_j} \ (把x_1凑成平方和) \ =a_{11}(x_1+\sum_{j=2}^n{a_{11}^{-1}a_{1j}x_j})^2+\sum_{i=2}^n\sum_{j=2}^{n}{b_{ij}x_ix_j} \ 这里\sum_{i=2}^n\sum_{j=2}^{n}{b_{ij}x_ix_j}=-a_{11}^{-1}(\sum_{j=2}^n{a_{1j}x_j})^2+\sum_{i=2}^n\sum_{j=2}^{n}{a_{ij}x_ix_j}是一个x_2,x_3,\cdots,x_n的二次型 $$ 令 $$ \begin{cases} y_1=x_1+\sum_{j=2}^{n}{a_{11}^{-1}a_{1j}x_j} \ y_2=x_2\ \ \ \ \cdots \cdots \ y_n=x_n \ \end{cases} $$ 即 $$ \begin{cases} x_1=y_1-\sum_{j=2}^{n}{a_{11}^{-1}a_{1j}y_j} \ x_2=y_2\ \ \ \ \cdots \cdots \ x_n=y_n \ \end{cases} $$ 这是一个非退化线性替换，它使 $$ f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_{11}y_1^2+\sum_{i=2}^n\sum_{j=2}^{n}{b_{ij}y_iy_j} $$ -
所有$a_{ii}=0$，但至少有一$a_{qj}\neq 0(j>1)$，不妨设$a_{12}\neq 0$
令 $$ \begin{cases} x_1=z_1+z_2 \ x_2=z_1-z_2\ x_3=z_3\ \ \ \ \cdots \cdots \ x_n=z_n \ \end{cases} $$ 它是非线性替换，且使 $$ f(x_1，x_2,\cdots,x_n)=2a_{12}x_1x_2+\cdots \ =2a_{12}(z_1+z_2)(z_1-z_2)+\cdots \ =2a_{12}z_1^2-2a_{12}z_2^2 $$ 这时上式右端是$z_1,z_2,\cdots,z_n$的二次型，且$z_1^2$的系数不为零。
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合同变换法
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$a_{11}\neq 0$ .这时的变数替换为 $$ \begin{cases} x_1=y_1-\sum_{j=2}^{n}{a_{11}^{-1}a_{1j}y_j} \ x_2=y_2\ \ \ \ \cdots \cdots \ x_n=y_n \ \end{cases} $$ 令 $$ C_1= \left ( \begin{matrix} 1 & -a_{11}^{-1}a_{12} & \cdots & -a_{11}^{-1}a_{1n} \ 0 & 1 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 1 \\end{matrix} \right ) $$ 则上述变数替换相应于合同变换 $$ A \rightarrow C_1^{'}AC_1= \left ( \begin{matrix} a_{11} & O \ O &A_1-a_{11}^{-1}a'a\ \end{matrix} \right )\ 这里 a=(a_{12},\cdots,a_{1n}),A_1=\left ( \begin{matrix} a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & & \vdots \ a_{n2} & \cdots & a_{nn} \ \end{matrix} \right ) $$
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$a_{ii}=0,i=1,\cdots,n$ 但有一$a_{ij}\neq0,j\neq1$作合同变换$P(2,j)'AP(2,j)$ 可以把$a_{1j}$搬到第一行第二列的位置，这样就变成了配方法中第二种情况。
与第二种情形的变数替换相对应，取 $$ C_1=
\left ( \begin{matrix} 1 & 1 &0& \cdots & 0 \ 1 & -1 &0& \cdots & 0 \ 1 & 1 &1& \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \vdots& \cdots & 0 \ 0 & 0 &0& \cdots & 1 \end{matrix} \right ) $$ 于是$C_1'AC_1$的左上角就是 $$ \left ( \begin{matrix} a_{12} & 0 \ 0 & -2a_{12} \ \end{matrix} \right ) $$ 可以归结到第一种情形
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复二次型的规范形
设$f(x_1,x_2，\cdots,x_n)$是一个复系数的二次型，经过一系列适当的非退化线性替换后，$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$变成标准形。
不妨假定它的标准形是$d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ry_r^2,d_i\neq 0,i=1,2,\cdots,r$，易知$r$就是$f(x_1,x_2，\cdots,x_n)$的秩。
因为复数总是可以开平方的，我们再做一个非退化的线性替换 $$ \begin{cases} y_1=\frac{1}{\sqrt{d_1}}z_1 \ \ \ \ \cdots \cdots \ y_r=\frac{1}{\sqrt{d_r}}z_r\ \ \ \ \cdots \cdots \ y_{r+1}=z_{r+1}\ \ \ \ \cdots \cdots \ y_n=z_n \ \end{cases} $$ 就变成 $$ z_1^2+z_2^2+\cdots+z_r^2 $$ 上式称为复二次型的规范形
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定理 任意一个复系数的二次型，经过一个适当的非退化线性替换可以变成规范形，并且规范形是唯一的
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定理 任一复数的对称矩阵都合同于一个形式为 $$ \left ( \begin{matrix} 1 & & & & & &\ &\ddots & & & & & \ & & 1 & & & & \ & & & 0& & & \ & & & &\ddots & & \ & & & & & & 0 \ \end{matrix} \right ) $$ 的对角矩阵，其中对角线上1的个数$r$等于$A$的秩。
两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等。
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实二次型的规范形
设$f(x_1,x_2，\cdots,x_n)$是一个实系数的二次型，经过一系列适当的非退化线性替换后，再适当排列文字的次序，可使$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$变成标准形 $$ d_1y_1^2+\cdots+d_py_p^2-d_{p+1}y_{p+1}^2-\cdots-d_ry_r^2,d_i>0,i=1,\cdots,r;r是二次型的秩 $$ 因为在实数域中，正实数总是可以开平方的，我们再做一个非退化的线性替换
就变成 $$ z_1^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_{r}^2 $$ 上式称为实二次型的规范形，显然，规范形完全被$r,p$这两个数所决定。
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定理 任意一个实系数的二次型，经过一个适当的非退化线性替换可以变成规范形，并且规范形是唯一的。
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任一复数的对称矩阵都合同于一个形式为 $$ \left ( \begin{matrix} 1 & & & & & &\ &\ddots & & & & & \ & & 1 & & & & \ & & & -1& & & \ & & & &\ddots & & \ & & & & & & -1 \ & & & & & & &0 \ & & & & & & & &\ddots \ & & & & & & & & &0 \ \end{matrix} \right ) $$ 的对角矩阵,其中对角线上1的个数$p$及-1的个数$r-p$（$r$是矩阵$A$的秩）都是唯一确定的，分别称为$A$的正、负惯性指数，它们的差$2p-r$称为$A$的符号差。
两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等。
- 定义 正定二次型 实二次型$f(x_1,x_2，\cdots,x_n)$称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数$c_1,c_2,\cdots,c_n$都有$f(c_1,c_2，\cdots,c_n)$>0。
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定理
$n$ 元实二次型$f(x_1,x_2，\cdots,x_n)$是正定的的充分必要条件是它的正惯性指数等于$n$。
- 定义 正定矩阵 实对称矩阵$A$称为正定的，如果二次型$X'AX$正定。
- 一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同。
- 正定矩阵的行列式大于零。
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定义 顺序主子式
子式 $$ H_i=\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1i} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2i} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{ii} \ \end{matrix} \right | (i=1,2,\cdots,n) $$ 称为矩阵$A=(a_{ij})_{nn}$的顺序主子式。
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定理 实二次型 $$ f(x_1,x_2，\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{a_{ij}x_ix_j}=X'AX $$ 是正定的充分必要条件为矩阵$A$的顺序主子式全大于零。
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定义 设$f(x_1,x_2，\cdots,x_n)$是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数$c_1,c_2,\cdots,c_n$
- 如果都有$f(c_1,c_2，\cdots,c_n)<0$，那么$f(x_1,x_2，\cdots,x_n)$ 称为负定的；
- 如果都有$f(c_1,c_2，\cdots,c_n)\geq0$，那么$f(x_1,x_2，\cdots,x_n)$ 称为半正定的；
- 如果都有$f(c_1,c_2，\cdots,c_n)\leq0$，那么$f(x_1,x_2，\cdots,x_n)$ 称为半负定的；
- 如果它既不是半正定又不是半负定，那么$f(x_1,x_2，\cdots,x_n)$ 称为不定的；
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定理 对于实二次型$f(x_1,x_2，\cdots,x_n)=X'AX$，其中$A$是实对称的，下列条件等价：
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$f(x_1,x_2，\cdots,x_n)$ 是半正定的； -
它的正惯性指数和秩相同；
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有可逆实矩阵$C$，使 $$ C'AC= \left ( \begin{matrix} d_1 & & \ &d_2 & & \ & &\ddots & \ & & & d_n \
\end{matrix} \right ) ,d_i\geq0.i=1,2,\cdots,n; $$
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有实矩阵$C$使
$A=C'C$ -
$A$ 的所有主子式（行指标与列指标相同的子式）皆大于或等于零。