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基本初等函数

• 常量函数 $y=c(c是常数)$；

• 幂函数 $y=x^a (a为常数)$；

• 指数函数 $y=a^x(a>0,a \neq 1)$

• 对数函数 $y=log_ax(a>0,a\neq1)$

• 三角函数

  $y=sinx(正弦函数)$，$y=cosx(余弦函数)$，

  $y=tanx(正切函数)$，$y=cotx(余切函数)$

• 反三角函数

  $y=arsinx(反正弦函数)$，$y=arcosx(反余弦函数)$，

  $y=artanx(反正切函数)$，$y=arcotx(反余切函数)$

指数运算

对于所有实数$a>0,m,n$，我们有以下恒等式 $$ \begin{aligned} a^0&=1 \ a^1&=a \ a^(-1)&=1/a \ (a^m)^n&=a^{mn}=(a^n)^m \ a^ma^n&=a^{m+n} \end{aligned} \ 对于所有n和a\geq 1,函数a^n关于n单调递增。\ $$ 我们假定$0^0=1$

多项式与指数的增长率比较 $$ \begin{aligned} 对所有使得a>1的实常量a和b,有 \ &\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^b}{a^n}=0 \ 因此可得 \ &n^b=o(a^n) \end{aligned} $$ 自然对数$e$ $$ 对于所有实数x,我们有 \ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots=\sum^{\infty}_{i=0}\frac{x^i}{i!} $$

$$ 对所有实数x，我们有不等式 \\ e^x\geq 1+x ,只有x=0时等号成立 \\ 当 |x|\leq 1时，有近似估计 \\ 1+x+x^2 \geq e^x \geq1+x $$

$$ 对所有x，我们有： \\ \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{x}{n})^n=e^x $$

对数运算

我们将使用以下记号：

$lgn= log_2n \tag{以2为底的对数} $

​ $ lnn\tag{自然对数} \$

​ $ lg^kn=(lgn)^k\tag{取幂} \$

​ $ lglgn=lg(lgn)\tag{复合} \$

对所有实数$a>0,b>0.c>0和m,n$，有 $$ \begin{aligned} a&=b^{log_ba} \ log_c(ab)&=log_ca+log_cb \ log_ba^n&=nlog_ba \ log_ba&=\frac{log_ca}{log_cb} \ log_b(1/a)&=-log_ba \ log_ba&=\frac{1}{log_ab}\ a^{log_bc}&=c^{log_ba} \end{aligned} \ 其中，在上面的每个等式中，对数的底不为1\ $$

阶乘

记号$n!$（读作$n$的阶乘）定义为对整数$n\geq 0$，有 $$ n!= { \begin{aligned} &1 &若n=0 \ &n*(n-1) &若n>0 \end{aligned} \ n!=123*\cdots n $$

指数函数与对数函数图像

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三角函数运算

定义

函数关系

三角函数图像

tan:

arctan

arcsin

arccos

arctan