09-parameter-test.Rmd

# 参数检验
## 参数检验和非参数检验的区别

| 维度 | 参数检验（Parameter test） | 非参数检验（Non-parameter tests）|
| :-- | :------ | :------ |
| 定义 | 以特定的总体分布为前提$\rightarrow$? | 不依赖于总体分布特征$\rightarrow$? |
| 举例 | $Z$检验、$t$分布、$F$检验 | 秩和检验（Rank sum test）、卡方检验 |
| 优点 | 1. 直接利用原始观测值计算统计量，检验效能高；<br>2.可对总体参数做出估计 | 1. 适用范围广、收集资料方便；<br>2. 多数非参数检验方法比较简便、易于掌握 |
| 缺点 | 对数据分布有特定要求，适用范围窄 | 1. 没有充分利用原始数据，检验效能低；<br>2. 不能对总体参数做出推断 |
| 适用范围 | 必须符合相应的要求，如两样本t检验要求：独立、正态、方差齐 | 1. 总体分布形式未知、分布类型不明确、偏态分布数据；<br>2. 等级资料；<br>3. 不满足参数检验条件的数据；<br>4. 数据一段或两端为无法测量的数值等。|
| 选用原则 | 1. 如果数据符合参数检验条件，或经过变换后符合参数检验的条件，最好用参数检验；<br>2. 参数检验误用为非参数检验，会导致检验效能降低。| |

## $t$分布

| 类目 | $t$分布 |
| :-- | :------- |
| 概念 | 设从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$随机抽取含量为n的样本，样本均数为$\bar x$、标准差为$s$、则$t=\frac{\bar x-\mu}{s_{\bar x}}=\frac{\bar x-\mu}{s/\sqrt{n}}$，自由度为$n-1$。 |
| 图形特点 | 一簇以0为中心，左右对称的单峰曲线；<br> 但随着自由度的增加，$t$分布曲线将越来越接近于标准正态分布曲线 |
| 统计量值| $t$的取值范围$-\infty \sim +\infty$ |
| 自由度 | $v=n-1$ |

```{r ,fig.cap="t-Distribution Curves vs. Standard Normal Curve",fig.show='hold', fig.align='center', echo=FALSE}
# Generate x-axis values
x <- seq(-4, 4, length.out = 1000)

# Degrees of freedom
df_values <- c(1, 4, 8, 12)

# Create a data frame for the t-distribution curves
t_dist_data <- data.frame(x = rep(x, each = length(df_values)),
                          df = rep(df_values, times = length(x)))

# Calculate t-distribution probability density values
t_dist_data$density <- dt(t_dist_data$x, df = t_dist_data$df)

# Create a data frame for the standard normal distribution curve
normal_data <- data.frame(x = x)
normal_data$density <- dnorm(normal_data$x)

# Create a ggplot for t-distribution curves with different colors
t_dist_plot <- ggplot() +
  geom_line(data = t_dist_data, aes(x = x, y = density, color = factor(df)), size = 1) +
  geom_line(data = normal_data, aes(x = x, y = density), color = "black", size = 1, linetype = "dashed") +
  labs(title = "t-Distribution Curves vs. Standard Normal Curve",
       x = "x", y = "Density") +
  scale_color_discrete(name = "Freedom (v)",
                       labels = c("1", "4", "8", "12", "Standard Normal")) +
  theme_minimal() +
  annotate("text", x = 2, y = 0.4, label = "N(0,1)", color = "black")

# Display the t-distribution plot
print(t_dist_plot)
```

## 方差分析
### 完全随机设计的方差分析

| 类目 | 完全随机设计的方差分析 |
| :--: | :------ |
| 数据要求 | 独立性、正态性、方差齐性 |
| 检验目的 | 推断多个样本所代表的总体均数是否不等 |
| $H_0$与$H_1$ | $H_0$:$\mu_1=\mu_2=\dots =\mu_a$，各组所代表的总体均数相等。$H_1$:$\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_a$各组总体均数不全相等（至少有一个不等式成立） |
| 检验统计量 | $F=\frac{MS_{组间}}{MS_{组内}}\sim(v_{组间}=k-1，v_{组内}=n-k）$ |
| 关键要点 | 总变异分解为组间变异和组内变异 |

### 随机区组设计的方差分析
| 类目 | 随机区组设计的方差分析 |
| :--: | :-------- |
| 数据要求 | 处理组间、区组间数据满足独立、正态性和方差齐性 | | 检验目的 | 推断处理组间与区组间多个总体均数是否存在差异 |
| 处理组假设 | $H_0$：不同处理组水平的均数相同；$H_1$：不同处理组水平的均属不全相同 |
| 区组假设 | $H_0$：不同区组对观测指标的影响很大；$H_1$：不同区组对观测指标的影响不全相同 |
| 检验统计量 | $F=\frac{MS_{处理}}{MS_{误差}}\sim(v_{处理}=k-1,v_{误差}=(b-1)×(k-1))$<br>$F=\frac{MS_{区组}}{MS_{误差}}\sim(v_{区组}=k-1,v_{误差}=(b-1)×(k-1))$ |
| 关键要点 | 总变异分解为处理组变异、区组变异和随机误差变异 |