2010-10-19.txt

\chapter{Funkcijos išvestinė}

$f : A \to \SETR
A \subset \SETR
a \in A$ yra vidinis aibės $A$ taškas

\begin{defn}[Funkcijos išvestinė]
  $f'(a) := \lim_{x \to a}{\frac{f(x) - f(a)}{x - a}}
\end{defn}
\begin{notation}
  f'(a) \equiv \frac{df(a)}{dx} \equiv \frac{df(x)}{x}|_{x = a} \equiv f'(x)|_{x = a}$
\end{notation}
Jei $f'(a) \in \SETR$ sakome, kad funkcija f taške a yra diferencijuojama.

\begin{exmp}
  $s(t)$
  $t$ – laikas, $s(t)$ – per $t$ laiko nueitas kelias
  $s(t) - s(t_0)$ – per $t - t_0$ laiko nueitas kelias
  $v_vid = \frac{s(t) - s(t_0)}{t - t_0}$
  $v_{t_0} = \lim_{t \to t_0}{\frac{s(t) - s(t_0)}{t - t_0}} = s'(t_0)$
\end{exmp}

Geometrinė samprata
$\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \tg \alpha$
$x \to a$
$f(x) - f(a) = (x - a) \tg \alpha$
$\lim_{x \to a}{\frac{f(x) - f(a)}{x - a}} = \lim_{x \to a}{\tg \alpha}
= \tg \alpha'$
$\alpha'$ yra funkcijos $f$ liestinės taške $a$ su teigiama $x$-ų pusaše sudaromas kampas.
Kaip rasti funkcijos $f$ liestinę taške $a$?
\[
  y = kx + b
  k = f'(a)
  f(a) = ka + b
\]
Parabolės išvestinė
\[
  (x^2)'|_{x = a} := \lim_{x \to a}{\frac{x^2 - a^2}{x - a}}
    = \lim_{x \to a}{\frac{(x - a)(x + a)}{x - a}}
    = \lim_{x \to a}{(x + a)} = a + a = 2a
  (x^2)'|_{x = a}  = 2a
  (x^2)' = 2x

  f(0) = 2 \cdot 0 = 0
  f'(1) = 2
\]
Modulio funkcijos išvestinė
\[
  f(x) = |x|
  (|x|)'_{x ? 0} = \lim_{x \to 0}{\frac{|x| - 0}{x - 0}}
    = \lim_{x \to 0}{\frac{|x|}{x}}
    = \lim_{x \to 0}{
      \begin{cases}
        \frac{x}{x} & \text{, } x \geq 0
        \frac{-x}{x} & \text{, } x < 0
      \end{cases}
    }
    = \lim_{x \to 0}{
      \begin {cases}
        1 & \text{, } x \geq 0
        -1 & \text{, } x < 0
      \end{cases}
    }
\]

\begin{defn}
  Funkcija $f$ vadinama diferencijuojama taške $a$, jei
  $\exists c \in \SETR$ toks, kad
  $f(a + h) - f(a) = c \cdot h + o(h), h \to 0$
  $c \cdot h$ vadinamas funkcijos $f$ diferencialo reikšme taške $a$ su pokyčiu $h$.
  \begin{notation}
    $d_h f(a) \equiv d f(a)$
  \end{notation}
  $f'(a) \equiv \frac{f(a + h) - f(a)}{(a + h) - a} = c + \frac{o(h)}{h}, h \to 0$
\end{defn}
\begin{defn}
  Funkcijos f difrencialu atitinkančiu argumento pokytį $h$ vadiname funkcija
    $x \to d_h f(x)$
\end{defn}
\begin{defn}
  Funkcija $f$ yra diferencijuojama taške $a \iff \exists \text{baigtinė} f'(a)$
  ir $d_h f(a) = f'(a) \cdot h$
  \begin{notation}
    $h \equiv dx \implies f'(x)dx = \frac{df(x)}{dx} \cdot dx$
  \end{notation}
\end{defn}

\chapter{Išvestinės savybės}
\begin{prop}
  Jei $f$ ir $g$ yra diferencijuojamos taške $a$ ir $\alpha, \beta \in \SETR$,
  tai $\alpha \cdot f$, $f + g$, $f \cdot g$ ir $\frac{f}{g}$ (jei $g \neq 0$)
  yra diferencijuojamos ir teisinga
  1) $(\alpha f)'(a) = \alpha f'(a)$
  2) $(f + g)'(a) = f'(a) + g'(a)$
  3) $(f \cdot g)'(a) = f'(a) \cdot g(a) + f(a) \cdot g'(a)$
  3) $(\frac{f}{g})'(a) = \frac{f'(a) \cdot g(a) - f(a) \cdot g'(a)}{g^2(a)}$ % o taip, ten 3
  \begin{proof}
    $(f \cdot g)'(a)
      =^{\text{Ap.}} \lim_{x \to a}{\frac{(f \cdot g)(x) - (f \cdot g)(a)}{x - a}}
      = \lim_{x \to a}{\frac{f(x) \cdot g(x) - f(a) \cdot g(a)}{x - a}}
      = \lim_{x \to a}{\frac{f(x)g(x) - f(x)g(a) + f(x)g(x) - f(a)g(a)}{x - a}}
      = \lim_{x \to a}{f(x) \cdot \frac{g(x) - g(a)}{x - a}}
        + \lim_{x \to a}{g(a) \cdot \frac{f(x) - f(a)}{x - a}} % jei f dif. taške a, tai f(x) - f(a) = f'(a)(x - a) + o(x - a); x \to a; f(x) - f(a) \to 0; \lim_{x \to a}{f(x)} = f(a) \implies yra tolydi ajlešjirae
      =^{\text{ribų sav.}} \lim_{x \to a}{f(x)}
         \cdot \lim_{x \to a}{\frac{g(x) - g(a)}{x - a}}
         + \lim_{x \to a}{g(a)} \cdot \lim_{x \to a}{\frac{f(x) - f(a)}{x - a}}
      = f(a) \cdot g'(a) + g(a) \cdot f'(a)$
  \end{proof}
\end{prop}

\begin{prop}
  Jei $g$ yra diferencijuojama taške $a$ ir $f$ yra difejerš b = g(a), tai
  $f \kompozicija g (a) = f'(b) g'(a) | f \kompozicija g'(a)
  = f'(x) |_{x = g(a)} \cdot g'(x) |_{x = a}$
  \begin{exmp}
    \[
      (\sin x^2)' = ?
      f \kompozicija g (x) = \sin x^2
      f(x) = \sin x
      g(x) = x^2
      (f \kompozicija g)'(a) = (\cos x) |_{x = a^2} \cdot (2x) |_{x = a} = \cos a^2 \cdot (2a)
      g'(x) = (x^2)' = 2x
      f'(x) = \cos x
    \]
  \end{exmp}
  n. d. $(e^{\sin^2(10x))'
\end{prop}