diff --git a/Fisica Primo Parziale/Riassunto Primo Parziale.md b/Fisica Primo Parziale/Riassunto Primo Parziale.md new file mode 100644 index 0000000..ef81336 --- /dev/null +++ b/Fisica Primo Parziale/Riassunto Primo Parziale.md @@ -0,0 +1,942 @@ + + +# Indice + +- [Indice](#indice) +- [Cinematica](#cinematica) + - [Velocità scalare media e istantanea](#velocità-scalare-media-e-istantanea) + - [Velocità vettoriale media e istantanea](#velocità-vettoriale-media-e-istantanea) + - [Accelerazione vettoriale media e istantanea](#accelerazione-vettoriale-media-e-istantanea) + - [La madre di tutti i moti](#la-madre-di-tutti-i-moti) + - [Moto circolare](#moto-circolare) + - [Moto armonico](#moto-armonico) + - [Moto periodico](#moto-periodico) + - [Moto piano in coordinate polari](#moto-piano-in-coordinate-polari) +- [Dinamica](#dinamica) + - [Massa inerziale](#massa-inerziale) + - [Quantità di moto](#quantità-di-moto) + - [I 3 principi della dinamica](#i-3-principi-della-dinamica) + - [1 - Prncipio d'inerzia](#1---prncipio-dinerzia) + - [2 -](#2--) + - [3 -](#3--) + - [Teorema dell'impulso](#teorema-dellimpulso) +- [Interazioni](#interazioni) + - [Interazione gravitazionale](#interazione-gravitazionale) + - [Interazione elettromagnetica](#interazione-elettromagnetica) + - [Interazione nucleare debole](#interazione-nucleare-debole) + - [Interazione nucleare forte](#interazione-nucleare-forte) +- [Forze principali e altre misure utili](#forze-principali-e-altre-misure-utili) + - [Forza peso](#forza-peso) + - [Densità](#densità) + - [Reazione vincolare](#reazione-vincolare) + - [Forza elastica](#forza-elastica) + - [Forza di attrito radente](#forza-di-attrito-radente) + - [Forza di Lorentz](#forza-di-lorentz) +- [Lavoro ed energia](#lavoro-ed-energia) + - [Teorema delle forze vive / Teorema dell'energia cinetica](#teorema-delle-forze-vive--teorema-dellenergia-cinetica) + - [Forze conservative](#forze-conservative) + - [Gradiente](#gradiente) + - [Rotore](#rotore) + - [Definizioni di forza conservativa](#definizioni-di-forza-conservativa) + - [Forze centrali a simmetria sferica](#forze-centrali-a-simmetria-sferica) + - [Esempi di forze non conservative](#esempi-di-forze-non-conservative) + - [Energia meccanica](#energia-meccanica) + - [Formule per calcolare le varie energie](#formule-per-calcolare-le-varie-energie) + - [Potenza](#potenza) +- [Dinamica relativa](#dinamica-relativa) + - [Dinamica in sistemi di riferimento non inerziali](#dinamica-in-sistemi-di-riferimento-non-inerziali) +- [Gravitazione](#gravitazione) + - [Momento di tutte le robe quì sopra](#momento-di-tutte-le-robe-quì-sopra) + - [Gravitazione - Leggi di Kepler](#gravitazione---leggi-di-kepler) + - [Energia potenziale gravitazionale](#energia-potenziale-gravitazionale) + - [Velocità di fuga](#velocità-di-fuga) +- [Campo gravitazionale](#campo-gravitazionale) + - [Flusso di un vettore](#flusso-di-un-vettore) + - [Teorema di Gauss](#teorema-di-gauss) + - [Moto nel campo gravitazionale](#moto-nel-campo-gravitazionale) + + +# Cinematica + +La cinematica studia i moti degli oggetti senza preoccuparsi delle cause. + +$S(t)$ è la legge oraria che descrive la posizione di una particella in funzione del tempo. +Per estrarre la traiettoria, bisogna fare in modo di rimuovere il parametro tempo dalla traiettoria. + +Una posizione può anche essere descritta da un vettore: + +$$ +\vec r(t) = \begin{bmatrix} + x(t) \\ y(t) \\ z(t) +\end{bmatrix} = x(t) \hat u_x + y(t) \hat u_y + z(t) \hat u_z +$$ + +Di seguito alcune definizioni importanti. + +## Velocità scalare media e istantanea + +$$ +v_m = \frac{\Delta S}{\Delta t} \qquad S(t) = \int_{t_0}^t v(t)dt + S(t_0) +$$ + +E' importante notare che la legge oraria non corrisponde alla distanza: assumendo $S(t_0) = 0$, + +$$ +\Delta S = \int_{t_0}^t v(t)dt \qquad d = \int_{t_0}^t |v(t)dt| +$$ + +La velocità scalare istantanea si ottiene facendo il limite per $\Delta t \to 0$: + +$$ + v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{dS}{dt} +$$ + +## Velocità vettoriale media e istantanea + +$$ +\vec v_m = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} = \frac{\Delta x}{\Delta t} \hat u_x + \frac{\Delta y}{\Delta t} \hat u_y + \frac{\Delta z}{\Delta t} \hat u_z +$$ + +La velocità vettoriale istantanea si ottiene facendo il limite per $\Delta t \to 0$: + +$$ +\vec v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} = \frac{d \vec r}{dt} = v_x \hat u_x + v_y \hat u_y + v_z \hat u_z +$$ + +Il vettore $\vec v$ è sempre tangente alla traiettoria, infatti: + +$$ +\vec v =\lim_{\Delta t \to 0} \frac{d \vec r}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec r}{\Delta S} \cdot \frac{\Delta S}{\Delta t} = \underbrace{\lim_{\Delta S \to 0} \frac{\Delta \vec r}{\Delta S}}_{\to 1} \cdot \underbrace{\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta S}{\Delta t}}_{= v} +$$ + +Andando al limite, $|d \vec r| = |dS|$ quindi lo spostamento (e, di conseguenza, la velocità) è sempre tangente alla traiettoria. + +## Accelerazione vettoriale media e istantanea + +$$ +\vec a_m = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t} +$$ + +Anche qui, per l'accelerazione istantanea, si fa il limite $\Delta t \to 0$ + +$$ +\vec a = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec v}{\Delta t} = \frac{d \vec v}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{d \vec r}{dt} \right) = \frac{d^2 \vec r}{dt^2} +$$ + +Tutti i moti che non sono il moto rettilineo unforme, sono accelerati. + +L'accelerazione è composta da una componente tangenziale ed una normale: + +$$ +\vec a = \frac{d \vec v}{dt} = \frac{d}{dt}(v \hat u_t) = \underbrace{\frac{dv}{dt} \hat u_t}_{a_t} + \underbrace{v \frac{d \hat u_t}{dt}}_{a_n} +$$ + +Ora devo dimostrare che $\vec a_n \perp \vec a_t$, di conseguenza devo dimostrare che $\hat u_n \cdot \hat u_t = 0$. Calcolo la derivata di $\hat u_t \cdot \hat u_t$: + +$$ +\frac{d(\hat u_t \cdot \hat u_t)}{dt} = \frac{d \hat u_t}{dt} \cdot \hat u_t + \hat u_t \cdot \frac{d \hat u_t}{dt} = 2 \hat u_t \cdot \frac{d \hat u_t}{dt} +$$ + +Siccome $\hat u_t \cdot \hat u_t = |\hat u_t|^2 = 1^2 = 1$ è costante, allora la sua derivata vale zero: + +$$ +2 \hat u_t \cdot \frac{d \hat u_t}{dt} = 0 +$$ + +da cui ricavo che $\hat u_t \perp (\hat u_t)'$ e quindi $\vec a_t \perp \vec a_n$ (vanno in direzione $\hat u_t$ e $(\hat u_t)'$) + +Se $\vec a_n = 0$ allora ho un moto rettilineo. + +Se $\frac{dv}{dt} = 0$ allora ho un moto uniforme (non necessariamente rettilineo). + +## La madre di tutti i moti + +Dato un corpo con posizione iniziale, velocità iniziale e accelerazione, la sua posizione in funzione del tempo si calcola nel seguente modo: + +$$ +\vec r(t) = \vec r_0 + \vec v_0t + \frac 12 \vec a t^2 +$$ + +Menzione particolare meritano il moto circolare e il moto armonico (pendolo, molla e simili) + +## Moto circolare + +La posizione di una particella che compie moto circolare è la seguente: + +$$ +\begin{cases} + x(t) = R \cos(\theta(t)) \\ + y(t) = R \sin(\theta(t)) +\end{cases} +$$ + +ove $R$ indica il raggio della circonferenza e + +$$ +\theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t + \frac 12 \alpha t^2 +$$ + +Con $\omega$ si indica la pulsazione o velocità angolare mentre con $\alpha$ l'accelerazione angolare: + +$$ +\omega(t) = \frac{d \theta}{dt} \qquad \alpha(t) = \frac{d \omega}{dt} +$$ + +Altre formule comode per il moto circolare sono: + +$$ +\vec v = \omega R \hat u_t = \vec \omega \times \vec r \qquad \vec a_r = \omega^2 R \hat u_r = \frac{v^2}{R} \hat u_r +$$ + +ove $\vec \omega =\omega \hat u_z$ ed è perpendicolare al piano su cui giace la traiettria (grazie alla regola della mano destra, conosco anche il senso di percorrenza). + +## Moto armonico + +Il moto armonico è il moto di un oggetto che oscilla nel tempo. + +$$ +x(t) = A \cos(\omega t + \theta_0) \\ +v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \theta_0) \\ +a(t) = -A \omega^2 \cos(\omega t + \theta_0) = - \omega^2 x(t) +$$ + +Dalla definizione di accelerazione ottengo che + +$$ + \frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2x \implies \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0 +$$ + +ed ho ottenuto un'equazione differenziale. + +Il moto armonico è un tipo di moto periodico. + +## Moto periodico + +Un moto è periodico se + +$$ +\begin{cases} + \vec r(t + nT) = \vec r(t) \\ + \vec v(t + nT) =\vec v(t) +\end{cases} +$$ + +$T$ è il periodo: indica ogni quanto tempo $\vec r$ e $\vec v$ si ripetono. + +$$ +f = \frac 1T = \frac{\omega}{2 \pi} \qquad \omega = 2 \pi f +$$ + +## Moto piano in coordinate polari + +E' possibile esprimere uno stesso punto sia in cordinate cartesiane $(x, y)$ che in coordinate polari $(r, \theta)$. + +$$ +\vec r = r_x \hat u_x + r_y \hat u_y \qquad +\vec v = \frac{d \vec r}{dt} = \frac{d(r \hat u_r)}{dt} = \underbrace{\frac{dr}{dt} \hat u_r}_{\text{Velocità radiale}} + r \frac{d \hat u_r}{dt} = v_r \hat u_r + r \omega \hat u_\theta \qquad \frac{d \hat u_r}{dt} = \vec \omega \times \hat u_r = \omega \hat u_\theta +$$ + +# Dinamica + +La dinamica studia le cause del moto degli oggetti. + +Per comprendere la dinamica e i 3 principi che la regolano, è necessario sapere che un _sistema di riferimento inerziale_ è tale quando ha origine in un punto che non è soggetto ad accelerazioni. + +I tre principi della dinamica, in quanto _principi_, si possono verificare sperimentalmente in laboratorio ma non si possono dimostrare. + +Per quanto precisi siano gli strumenti, siccome sulla terra siamo in un sistema di riferimento _non_ inerziale, ci saranno sempre degli errori. + +Per convenzione un sistema di riferimento inerzial eè quello che ha origine nel sole e con gli assi x, y, e z che pntano alle stelle fisse. + +Tutto ciò che è relativo ad un sistema di riferimento inerziale è a sua volta un sistema di riferimento inerziale. + +Di seguito alcune nozioni fondamentali per la comprensione di quanto seguirà. + +## Massa inerziale + +Immaginiamo di prendere due masse $m_1$ e $m_2$ e di schiacciarle contro una molla: quando le si rilascia partiranno a velocità diverse. + +$$ +\frac{ |\vec v_1| }{ |\vec v_2| } = \frac{ |\Delta \vec v_1| }{ |\Delta \vec v_2| } = k_{1,2} = \frac{m_2}{m_1} +$$ + +$k$ non dipende da quanto comprimiamo ma solo dalle due masse scelte. + +Se scelgo $m_1$ come massa campione e gli assegno il valore $1$, posso ripetere lo stesso esperimento anche con $m_3, m_4, \dots$ e misurare tutte le masse. + +La massa $m_1$ è il chilogrammo di platino-iridio conservato a Parigi. + +## Quantità di moto + +La quantità di moto è letteralmente quanta massa si sta muovendo e a quale velocità. + +$$ +\vec P = m \vec v +$$ + +Siccome la massa è additiva, allora lo è anche la quantità di moto: + +$$ +m = m_1 + \dots + m_n \qquad \vec P = m_1 \vec v_1 + \dots + m_n \vec v_n +$$ + +Per il _principio di conservazione della quantità di moto_, in un sistema chiuso la quantità di moto si conserva: + +$$ +\Delta \vec P = \Delta \vec P_1 + \Delta \vec P_2 = m_1 \Delta \vec v_1 + m_2 \Delta \vec v_2 = 0 \implies m_1 \Delta \vec v_1 = -m_2 \Delta \vec v_2 +$$ + +## I 3 principi della dinamica + +### 1 - Prncipio d'inerzia + +> Un corpo non soggetto ad interazioni permane nel suo stato di quiete o si muove di moto rettilineo uniforme. + +Questo principio si chiama così perchè descrive l'inerzia di un corpo a cambiare di stato. + +Questo principio è valido solo in un sistema di riferimento inerziale. + +### 2 - + +> Un corpo puntiforme soggetto ad interazioni subisce un' accelerazione. + +La forza è quella che esprime le interazioni e si misura in $[N] = \left[ \frac{kg \cdot m}{s^2} \right]$ + +$$ +\vec F = \frac{d \vec P}{dt} = \frac{d(m\vec v)}{dt} = m \frac{d \vec v}{dt} = m \vec a +$$ + +Anche la forza è additiva: se una particella interagisce co più particelle, la risultante delle forze $F$ è data da + +$$ +\vec F = \sum_{i = 1}^n \vec F_n +$$ + +Un corpo è in quiete se (condizione necessaria e sufficiente) + +$$ +\begin{cases} + \vec v = 0 & \qquad \text{In un certo istante } t \\ + \vec F = 0 & \qquad \forall t +\end{cases} +$$ + +Se $\vec F = 0$ allora si è in equilibrio. +Ci sono 3 tipi di equilibrio: + +- _stabile_: se muovo l'oggetto di un infinitesimo, questo ritorna nella posizione originale (pallina in una scodella) +- _instabile_: se muovo l'oggetto di un infinitesimo, questo comincia ad accelerare e ad andarsene (pallina su un pallone da calcio) +- _indifferente_: se muovo l'oggetto di un infinitesimo, questo rimane fermo nella nuova posizione (pallina su un tavolo) + +### 3 - + +> Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria. + +E' notabile il fatto che questo teorema non specifica niente sulla direzione delle forze: se avessi due porse di verso opposto su due direzioni parallele, queste rispetterebbero il terzo principio ma nella realtà non funziona così. + +Questo principio deriva anch'esso dal fatto che, in un sistema isolato, la quantità di moto si conserva, infatti: + +$$ +\vec P = \vec P_1 + \vec P_2 \qquad \frac{d \vec P}{dt} = 0 \iff \frac{d \vec P_1}{dt} = -\frac{d \vec P_2}{dt} +$$ + +da cui si ricava che $\vec F_1 = - \vec F_2$ + +## Teorema dell'impulso + +$$ +\vec I = \int_{t_1}^{t_2} \vec F \, dt = \int_{t_1}^{t_2} \frac{d \vec P}{\cancel{dt}} \, \cancel{dt} = \int_{t_1}^{t_2} d \vec P =\Delta \vec P +$$ + +# Interazioni + +Ci sono diversi tipi di interazioni che dipendono sia dalle caratteristiche dei corpi che interagiscono che dalla loro distanza. + +### Interazione gravitazionale + +E' responsabile dell'attrazione tra corpi dotati di massa gravitazionale (che a livello macroscopico corrisponde alla massa inerziale mentre a livello quantistico no) e ha raggio d'azione infinito. + +$$ +\vec F = -\gamma \frac{m_1, m_2}{r^2} \hat u_r \qquad \gamma = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{N \cdot m^2}{kg^2} +$$ + +ove $\gamma$ (a volte nota anche come $G$) è la costante di gravitazione universale, $r$ indica la distanza tra le due masse e $\hat u_r$ è la direzione che va dalla prima massa alla seconda e viceversa. + +### Interazione elettromagnetica + +E' responsabile dell'attrazione e repulsione di oggetti carichi, è responsabile della stabilità degli atomi, delle forze di attrito, di contatto ed elettrostatiche. + +Ha un raggio d'azione infinito. + +$$ +\vec F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat u_r \qquad \varepsilon_0 = 8.854 \cdot 10^{12} \frac{C}{m^2N} +$$ + +### Interazione nucleare debole + +E' responsabile del decadimento $\beta$, ha un raggio d'azione dell'ordine di $10^{-18}m$ (per intenderci, un atomo è circa $10^{-10}m$). + +### Interazione nucleare forte + +E' responsabile per la stabilità del nucleo ed è la più forte attualmente conosciuta (all'interno del suo raggio d'azione che è dell'ordine di $10^{-15}m$). + +In particolare è quella forza che mantiene assieme i quark: +- quark diversi: viene mediata da scambio di _pioni_ e attrae tra loro protoni e neutroni +- quark uguali: viene mediata da scambio di _gluoni_ e tiene interi i protoni + +# Forze principali e altre misure utili + +Di seguito le principali forze utilizzate, alcune misure ad esse relative e moti tipici ove applicabile. + +## Forza peso + +La forza peso è causata dall'attrazione gravitazionale. + +$$ +\vec F_p = m \vec g \qquad g \simeq 9.81 \frac{m}{s^2} \text{ (sulla terra)} +$$ + +Per trovare il valore di un'accelerazione di gravità generica + +$$ +a = -\gamma \frac{M}{r^2} +$$ + +ove $M$ è la massa del corpo che causa l'attrazione gravitazionale e $r$ è il suo raggio. +Nel caso della terra si ha che + +E' utile sapere che la massa della Terra è $M_t = 5.98 \cdot 10^24 kg$ e che il suo raggio è $r_T = 6371 km$, in questo modo si può calcolare l'accelerazione di gravità terrestre. + +$$ +g = -\gamma \frac{M_T}{r_T^2} = -6.67 \frac{N \cdot m^2}{kg^2} \cdot 10^{-11} \frac{5.98 \cdot 10^{24} kg}{(6.37 \cdot 10^6)^2 m^2} \simeq 9.81 \frac{m}{s^2} +$$ + +## Densità + +La densità è la misura di quanta massa c'è in un dato volume + +$$ +\rho_m = \frac mV +$$ + +Se l'oggetto è uniforme + +$$ +\rho = \rho_m = \frac{dm}{dV} +$$ + +e ha senso misurare il peso specifico + +$$ +P_{sm} = \rho_m g = \frac{mg}{V} \qquad P_s = \rho g = \frac{dm}{dV} g +$$ + +## Reazione vincolare + +La reazione vincolare è la forza che non fa sprofondare gli oggetti quando li si poggia su un tavolo: + +![Se non ci fosse $\vec R$, l'oggetto continuerebbe a muoversi attraversando il piano (cosa che è possibile in meccanica quantistica ma non in meccanica classica).][EsempioReazioneVincolare] + +La reazione vincolare può essere composta da una parte normale al piano ($\vec N$) e da una parte parallela (nel caso di forze d'attrito ma saranno descritte dopo). + +Se $\vec R < 0$ allora l'oggetto non è poggiato contro niente e si considera $\vec R = 0$. + +## Forza elastica + +La forza elastica è un tipo di forza che dipende dalla posizione: se fisso un corpo ad una molla e lo sposto, questo subirà una forza proporzionale allo spostamento. + +$$ +\vec F_{el} = -k \Delta l \hat u_x +$$ + +ove $k$ è la costante elastica della molla, $\Delta l$ è lo spostamento rispetto alla condizione di eqilibrio e $\hat u_x$ è la direzione dello spostamento parallelo alla molla. + +Le costanti elastiche delle molle in serie e parallelo si comportano come i condensatori: + +$$ +k_{par} = \sum_i k_i \qquad \frac{1}{k_{ser}} = \sum_i \frac{1}{k_i} +$$ + +In assenza di attriti, oggetti attaccati ad una molla libera che non si trova in equilibrio, compiono moto armonico: + +$$ +\frac{d^2x}{dt^2} + \underbrace{\frac{k}{m}}_{=\omega^2}x = 0 \implies x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0) +$$ + +Per trovare $A$ e $\varphi_0$, si necessita di avere a disposizione le condizioni iniziali dell'oggetto in movimento: + +$$ +\begin{cases} + x(0) = x_0 \\ + v(0) = 0 +\end{cases} \implies \begin{cases} + A \cos(\varphi_0) = x_0 & \implies A = x_0 \\ + -A \omega \sin (\varphi_0) = 0 & \implies \varphi_0 = 0 +\end{cases} +$$ + +## Forza di attrito radente + +E' la componente che si oppone al moto degli oggetti su un piano scabro. + +Ne esistono di due categorie: _statico_ e _dinamico_. + +La forza di attrito statico è subita da un oggetto che senza attrito si muoverebbe ma, siccome c'è l'attrito, sta fermo. + +La forza di attrito dinamico è subita da un oggetto in movimento ed è costante. + +Entrambe le forze non dipendono dalla massa degli oggetti ne dall'area di contatto ma soltanto dal vincolo normale (è dovuto alle forze di attrazione elettrostatiche). + +$$ +F_{as} \le \mu_s |\vec N| \qquad F_{ad} = \mu_d |\vec N| \qquad \mu_s > \mu_d +$$ + +Entrambe hanno direzione opposta al moto (o al moto che ci sarebbe se non ci fossero). + +Se il piano è liscio, $\mu_s = \mu_d = 0$. + +## Forza di Lorentz + +La forza di Lorentz è la forza subita dalle particelle cariche (di carica $q$) che si trovano in un campo elettrico o magnetico: +- Se il campo è un campo magnetico e $\vec B$ è il vettore di induzione magnetica, $\vec F_{\mathscr L} = q(\vec v \times \vec B)$ +- Se il campo è un campo elettrico ed $\vec E$ è il vettore campo elettrico, $\vec F_{\mathscr L} = q \vec E$. + +Si può dimostrare che particelle soggette soltanto a forza di Lorentz si muovono percorrendo traiettoria circolare. + +# Lavoro ed energia + +Se una forza $\vec F$ sposta una massa di una distanza $d\vec r$ allora + +$$ +\delta \mathscr L = \vec F \cdot d \vec r \implies \mathscr L ^\gamma_{AB} = {\int_A^B}_\gamma \delta \mathscr L = {\int_A^B}_\gamma \vec F \cdot d \vec r +$$ + +ove $\gamma$ è la traiettoria e $A$ e $B$ sono i punti di partenza e arrivo. + +Siccome la forza è additiva, allora anche il lavoro lo è. +Il lavoro può essere scomposto in componenti $x$, $y$ e $z$. +In generale il lavoro dipende dalla traiettoria $\gamma$ (se non è vero allora si parla di forze non conservative). + +## Teorema delle forze vive / Teorema dell'energia cinetica + +$$ +\mathscr L_{AB} = \int_A^B \delta \mathscr L = \int_A^B \vec F \cdot d \vec r = \int_A^B dE_k = E_k(B) - E_k(A) = \Delta E_k +$$ + +Questo teorema è sempre valido solo in sistemi di riferimento inerziali. +E' valido anche in sistemi di riferimento non inerziali se si tiene conto delle forze apparenti. + +Segue dimostrazione. + + + +Sappiamo che $\mathscr L = {\int_A^B}_\gamma \delta \mathscr L$, $\vec F = m \vec a$, $\vec a = \frac{d \vec v}{dt}$ e che $d \vec r = \vec v \, dt$ e vogliamo dimostrare che $\delta \mathscr L = \Delta E_k$. + +Per la dimostrazione è anche necessario sapere che + +$$ +\frac{d}{dt} \left( \vec v \cdot \vec v \right) = 2\vec v \cdot \frac{d \vec v}{dt} \implies \vec v \cdot d \vec v = \frac 12 d(\vec v \cdot \vec v) = \frac 12 d \vec v^2 +$$ + +$$ +\delta \mathscr L = \vec F \cdot d \vec r = m \vec a \cdot d \vec r = m \frac{d \vec v}{dt} \cdot \vec v \, dt = m \, d \vec v \cdot \vec v = \frac 12 m \, d \vec v^2 = dE_k +$$ + +Di conseguenza + +$$ +\mathscr L = \int \delta L = \int dE_k = \Delta E_k +$$ +## Forze conservative + +Per comprendere le forze conservative, è necessario conoscere il significato di _gradiente_ e _rotore_. + +### Gradiente + +Il gradiente indica la direzione di massima crescita di una funzione (verrà utilizzato principalmente per le forze). + +Sia $f(x, y, z)$ una funzione scalare, allora + +$$ +\text{grad}(f) = \vec \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \hat u_x + \frac{\partial f}{\partial y} \hat u_y + \frac{\partial f}{\partial z} \hat u_x +$$ + +è la direzione di massima crescita della funzione. + +![**Forza centrale a simmetria sferica** Si può notare come diminuisce con l'allontanarsi dal centro e come la direzione di massima crescita sia proprio verso il centro.][EsempioGradiente] + +### Rotore + +$$ +\text{rot} f = \det \begin{bmatrix} + \hat u_x & \hat u_y & \hat u_z \\ + \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ + F_x & F_y & F_z +\end{bmatrix} +$$ + +### Definizioni di forza conservativa + +Ci sono 5 definizioni equivalenti di forza conservativa, 4 che si basano su proprietà globali e 1 che si basa su proprietà locali. + +Una forza è conservativa se: + +1. $\mathscr L = {\int_A^B}_\gamma \vec F \cdot d \vec r$ non dipende da $\gamma$ +2. $\exists E_p(\vec r)$ scalare tale per cui $\mathscr L_{AB} = E_p(A) - E_p(B) = - \Delta E_p$ +3. $\oint_\gamma \delta \mathscr L = E_p(A) - E_p(A) = 0 \quad \forall \gamma \text{ chiusa}$ +4. $\vec F = - \vec \nabla E_p(\vec r)$ +5. $\text{rot}(F) = 0$ + +## Forze centrali a simmetria sferica + +Una forza è centrale a simmetria sferica se è esprimibile nella forma + +$$ +\vec F = - \gamma \frac{m_1 m_2}{r^2} \hat u_r +$$ + +![Come si può vedere dall'immagine, ovunque si spostino le masse, la forza su di esse esercitate ha sempre direzione radiale.][EsempioForzaCentraleASimmetriaSferica] + +Le forze centrali a simmetria sferica sono conservative, segue dimostrazione. + +$$ +\begin{align*} + \mathscr L &= \int_A^B \delta \mathscr L \\ + &= \int_A^B \vec F \cdot d \vec r \\ + &= \int_A^B F(\vec r) \cdot d \vec v \\ + &= \int_{r_A}^{r_B} -\gamma \frac{m_1 m_2}{r^2} \,dr \\ + &= \gamma m_1 m_2 \int_{r_A}^{r^B} -\frac{1}{r^2} \, dr \\ + &= \gamma m_1 m_2 \left( \frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A} \right) \\ + &= -\gamma \frac{m_1 m_2}{r_A} + \gamma \frac{m_2 m_2}{r_B} \\ + &= E_p(A) - E_p(B) +\end{align*} +$$ + +ove $E_p(r) = \gamma \frac{m_1 m_2}{r} + c$ e $c = 0 \implies E_p(r \to \infty) \to 0$. + +## Esempi di forze non conservative + +La forza di attrito radente non è conservativa: se si parla di attrito statico, non c'è movimento e pertanto il lavoro si annulla mentre se si parla di attrito dinamico allora + +$$ +\mathscr L_{AB}^\gamma = {\int_A^B}_\gamma \vec F \cdot d \vec r = {\int_A^B}_\gamma -\mu_d |\vec N| \hat u_v \cdot d \vec r +$$ + +Siccome $\vec v = \frac{d \vec r}{dt}$ allora la roba sopra si puo scrivere anche come + +$$ +-\mu_d |\vec N| {\int_A^B}_\gamma \hat u_v \cdot v \, dt = -\mu_d |\vec N| {\int_A^B}_\gamma |\vec r| \ne 0 +$$ + +Neanche la forza di attrito viscoso è conservativa: se $F_{av} = -\beta \vec v$ allora + +$$ +\mathscr L_{AB}^\gamma = {\int_A^B}_\gamma \vec F_{av} \cdot d \vec r = {\int_A^B}_\gamma -\beta \vec v \cdot \vec v \, dt = -\beta {\int_A^B}_\gamma |\vec v|^2 \, dt \le 0 +$$ + +## Energia meccanica + +L'energia meccanica di un oggetto è la somma della sua energia cinetica con la sua energia potenziale (ne esistono di vari tipi). + +Siccome la forza è additiva, lo è anche l'energia meccanica + +$$ +E_m = E_p + E_k \qquad E_m = \sum_i {E_m}_i +$$ + +Se tutte le forze sono conservative $d(E_k + E_p) = 0$, altrimenti $d(E_k + E_p) = \mathscr L_ad$. + +$$ +\underbrace{\delta \mathscr L_{tot}}_{dE_k} = \delta \mathscr L^{(NC)} + \underbrace{\delta \mathscr L^{(C)}}_{-dE_p} \implies dE = dE_k + dE_p = \delta \mathscr L^{(NC)} \implies \Delta E = \mathscr L^{(NC)} +$$ + +Con il termine _trasformismo dell'energia_ si intende il fatto che l'energia potenziale può trsformarsi in energia cinetica e viceversa purchè la somma non cambi. + +![In rosso l'energia meccanica totale, in blu l'energia cinetica e in verde l'energia potenziale.][EsempioTrasformismoDellEnergia] + +### Formule per calcolare le varie energie + +- Energia cinetica: $E_k = \frac 12 m v^2$ +- Energia potenziale gravitazionale: $E_{pg} = mgh$ oppure $U = -\gamma \frac{m_1 m_2}{r}$ +- Energia potenziale elastica: $E_{pe} = \frac 12 k (\Delta l)^2$ + +## Potenza + +La potenza è la quantità di energia trasferita nell'unità di tempo. + +$$ +P = \frac{\delta \mathscr L}{dt} \\ +\delta \mathscr L = P \, dt \implies \mathscr L = \int_{t_1}^{t_2} P \, dt \implies P = \frac{\vec F \cdot d \vec r}{dt} = \vec F \cdot \vec v +$$ + +Si misura in Watt: $W = \frac J S$. + +# Dinamica relativa + +La dinamica classica si occupa di studiare le interazioni tra oggetti in un sistema di riferimento inserziale fisso. +Con la dinamica relativa, si possono studiare anche i moti relativi a sistemi di riferimento che accelerano: in questo caso andranno studiate anche le cosiddette forze apparenti. + +Sia $S$ un sistema di riferimonto inerziale e $S'$ un sistema di riferimento che si muove e ruota rispetto ad $S$, allora $S'$ è un sistema di riferimento non inerziale. + +$$ +\vec r = \vec r' + \vec R \\ +\vec v = \frac{d \vec r}{dt} = \frac{d \vec r'}{dt} + \frac{d \vec R}{dt} = \vec v' + \omega \times \vec r' + \vec v_{o'} = \vec v' + \vec v_T \\ +\vec a = \frac{d \vec v}{dt} = \frac{d \vec v'}{dt} + \frac{d \omega}{dt} \times \vec r' + \vec \omega \times \frac{d \vec r'}{dt} + \frac{d \vec v_{o'}}{dt} = \vec a' + \underbrace{2(\vec \omega \times \vec v)}_{= \vec a_c, \text{ accelerazione di Coriolis}} + \underbrace{\overbrace{\frac{d \vec \omega}{dt} \times \vec r'}^{\vec \alpha \times \vec r'} + \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r)}_{=a_T, \text{ accelerazione di trascinamento}} + \vec a_{o'} +$$ + +## Dinamica in sistemi di riferimento non inerziali + +Se $\vec F = m \vec a$ allora $\vec F' = m \vec a'$ quindi $\vec F = m \vec a = \underbrace{m \vec a'}_{\vec F'} + m \vec a_{co} + m \vec a_T$ + +Some si può notare, le due forze non corrispondono: vengono introdotte delle forze fittizie per compensare il fatto che il sistema di riferimento non è inerziale. + +$$ +\vec F_{co} = -m \vec a_{co} \qquad \vec F_T = -m \vec a_T +$$ + +Non è possibile riutilizzare il principio d'inerzia: + +$$ +v = 0, F = 0 \implies \vec F' = \vec F + \vec F_{co} + \vec F_T +$$ + +# Gravitazione + +Per comprendere la gravitazione, è necessario aver compreso le nozioni di momento di un vettore/forza/quantità di moto. + +## Momento di tutte le robe quì sopra + +![][EsempioMomentoVettore] + +Il momento del vettore $\vec F$ rispetto al polo $O$ è definito come $\vec \tau_{(O)} = \vec r \times \vec F$ da cui si può dedurre che $|\vec \tau_{(O)}| = |\vec r ||\vec F| \sin \theta = |\vec F| r \sin \theta$ e non dipende dal vettore $\vec r$ scelto, infatti, supponendo $\vec r' = \vec r + \vec a$ allora + +$$ +\vec \tau_{(O)} = \vec r' \times \vec F = (\vec r + \vec a) \times \vec F = \vec r \times \vec F + \vec a \times \vec F = \vec r \times \vec F +$$ + +Il momento di una forza è esattamente la stessa cosa ma con $\vec F$ rappresentante una forza. + +Il momento di una quantità di moto invece è $\vec L_{(O)} = \vec r \times \vec P = \vec r \times m \vec v$ ed è sempre perpendicolare a posizione e velocità. + +$$ +\frac{d \vec L_{(O)}}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec r \times m \vec v) = \frac{d \vec r}{dt} \times m \vec v + \vec r \times m \frac{d \vec v}{dt} = \vec v \times m \vec v + \vec r \times m \vec a = 0 + \vec r \times \vec F = \vec \tau_{(O)} +$$ + +da cui + +$$ +\frac{d \vec L_{(O)}}{dt} = \vec \tau_{(O)} +$$ + +Se il polo $O$ non è costante e si muove con velocità $\vec v_O'$? + +$$ +\vec L_{(O')}= \vec r' \times m \vec v \qquad \vec \tau_{(O')} = \frac{d \vec L_{(O')}}{dt} + \vec v_O' \times m \vec v +$$ + +In caso di moto circolare uniforme, $v = \omega r$ quindi + +$$ +\vec L_{(O)} = RmR \omega \hat u_z = mR^2 \vec \omega +$$ + +In caso di forze assiali, $\vec L_{(O)}$ è costante per cui $\vec \tau_{(O)} = 0$ ma ciò non vuol dire che $\sum F = 0$. + +## Gravitazione - Leggi di Kepler + +1. Le orbite dei pianeti sono ellittiche e il sole sta in uno dei due fuochi +2. Il vettore posizione copre aree uguali in tempi uguali (quindi, la velocità areolare si conserva) +3. Il quadrato del periodo di rotazione è proporzionale al cubo del semiasse maggiore + +## Energia potenziale gravitazionale + +Come già accennato nella sezione sull'energia, esiste un'enrgia potenziale gravitazionale dipendente solamente dalla distanza: + +$$ +E_p(r) = -\gamma \frac{m_1 m_2}{r} + c +$$ + +ove $E_p(r \to \infty) = 0 \implies c = 0$ + +Se ho un'orbita circolare (consentita dalla prima legge) allora + +$$ +a = a_c \implies ma_c = \frac{mv^2}{r} = \frac{\gamma m_1 m_2}{r^2} \\ +E = E_k + E_p = \frac 12 \gamma \frac{m_1 m_2}{r} - \gamma \frac{m_1 m_2}{r} = - \frac 12 \gamma \frac{m_1 m_2}{r} \le 0 \text{ sempre} +$$ + +Ma $E_k(r \to \infty) < 0$ non ha senso quindi non posso avere orbite che vanno all'infinito: + +- $E = min(E)$: orbita circolare +- $E < 0$: orbita chiusa +- $E = 0$: orbita parabolica +- $E > 0$: orbita iperbolica + +## Velocità di fuga + +La velocità di fuga è quella velocità che va conferita ad un oggetto per permettergli di arrivare ad n altezza prestabilita. + +L'idea è quella di aumentare abbastanza l'energia meccanica dell'oggetto fornendogli velocità per permetterlgi di sollevarsi e di arrivare all'infinito con energia pari a zero: + +$$ +E(\infty) = \frac 12 m_1 v^2 - \gamma \frac{m_1 m_2}{r} = 0 \implies v = 0 +$$ + +Visto che l'energia si conserva allora + +$$ +E_i = E_f \implies \frac12 m_1 v_{fuga}^2 - \gamma \frac{m_1 m_2}{r_{iniziale}} = 0 +$$ + +da cui si può ricavare la velocità di fuga + +$$ +v_{fuga} = \sqrt{\frac{2gm_2}{r}} +$$ + +In un orbita ellitica, $\vec L_{(O)}$ è costante: $|\vec L_{(O)}| = mr_pv_p = |\vec L_{(O)}| = mr_av_a$, ove il pedice $_a$ indica i valori relativi all'afelio/apogeo (il punto dell'orbita più lontano dal sole) mentre il pedice $_p$ indica i valori relativi al perielio/perigeo (il punto dell'orbita più vicino al sole) e $m$ indica la massa del pianeta. + +# Campo gravitazionale + +Sia $\vec F$ la forza di gravità e $\mathscr {\vec G} = \frac{\vec F}{m}$ l'accelerazione (che non dipenda dalla massa che subisce la forza ma soltanto dalla massa che la esercita). + +$U$ viene detto potenziale gravitazionale: + +$$ +U = \frac{E_p(r)}{m} = \frac{-\gamma \frac{Mm}{r}}{m} = -\gamma \frac{M}{r} +$$ + +Allora + +$$ +\vec F = -\vec \nabla E_p \qquad \mathscr{\vec G} = - \vec \nabla U +$$ + +Ora si rennde necessario comprendere il concetto di flusso di un vettore per poi poter utilizzare il teorema di Gauss. + +## Flusso di un vettore + +Il flusso di un vettore può essere inteso come la quantità di vettore che passa attraverso una superficie in una data quantità di tempo. + +![Notare come la superficie non sia perpendicolare al vettore $\vec E$ ma sia invece perpendicolare alla direzione $\hat n$ (chiameremo l'angolo tra i due $\theta$).][EsempioFlussoDiUnVettore] + +Il flusso del vettore $E$ che passa attraverso un infinitesimo della superficie $S$ è + +$$ +d \varphi = \vec E \cdot d \vec S = \vec E \cdot \hat n \, dS = E \,dS\cos \theta +$$ + +dunque il flusso di $\vec E$ che passa per l'intera superficie $S$ è + +$$ +\varphi_S(\vec E) = \int_S d \varphi = \int_S \vec E \cdot d \vec S = \int_S \vec E \cdot \hat n \, dS +$$ + +## Teorema di Gauss + +Normalmente, computare un calcolo del genere è estremamente difficile con una superficie generica ma non con una sfera. +Il flusso di potenziale gravitazionale $\varphi_S (\mathscr{\vec G})$ attraverso una sfera di raggio $r$ e centrata sulla massa puntiforme $M$ è: + +$$ +\varphi_S(\mathscr{\vec G}) = \int_S -\frac{\gamma M}{r^2} \hat u_r \cdot d \vec S = \int_S -\frac{\gamma M}{r^2} (\hat u_r \cdot \hat u_r) \,dS = -\gamma \frac{M}{r^2} \int_S dS = -\gamma \frac{M}{r^2} 4 \pi r^2 = -\gamma 4 \pi M +$$ + +Se piazzo un'altra massa all'esterno della spera, entra tanto flusso quanto non esce e quindi il conto non cambia. + +Riassumendo, + +$$ +\varphi_S (\mathscr{\vec G}) = -4\pi M_{interna} = -4 \pi \gamma \int_S \rho(\vec r) \cdot d \vec r +$$ + +ed ho così ottenuto il teorema di Gauss. + +## Moto nel campo gravitazionale + +_Ovviamente valido per tutte le forze centrali a simmetria sferica._ + +Abbiamo moto piano, $E_m = E_k + {E_p}_g = \frac 12 m v^2 + E_p(r)$. + +$$ +\vec v = \vec v_r + \vec v_\theta = \frac{dr}{dt} \hat u_r + r \frac{d \theta}{dt} \hat u_\theta \implies |\vec v|^2 = \left( \frac{dr}{dt} \right)^2 + r^2 \frac{L_{(O)}^2}{m^2r^4} +$$ + +utilizzando il fatto che + +$$ +L_{(O)} = mr^2 \vec \omega = m r \frac{d \theta}{dt} \hat u_\theta \implies \frac{d \theta}{dt} = \frac{L_{(O)}}{mr^2} +$$ + +quindi + +$$ +E_m = \frac 12 m \left( \frac{dr}{dt} \right)^2 + \frac 12 m r^2 \frac{L_{(0)}^2}{m^2r^4} + E_p(r) = \frac 12 m \left( \frac{dr}{dt} \right) ^2 + \underbrace{\frac 12 \frac{L_{(0)}^2}{mr^2} + E_p(r)}_{\text{Energia potenziale efficace}} +$$ + +ed ho trasformato il problema in uno monodimensionale. + +Ora calcolo l'accelerazione: + +$$ +\vec a = \frac{d \vec v}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{dr}{dt} \hat u_r + r \frac{d \theta}{dt} \hat u_\theta \right) = \underbrace{\frac{d^2 r}{dt^2}\hat u_r}_{\text{radiale}} + \frac{dr}{dt} \vec \omega \times \hat u_r + \frac{dr}{dt}\frac{d \theta}{dt} \hat u_\theta + r \frac{d^2 \theta}{dt^2} \hat u_\theta + \underbrace{r \frac{d \theta}{dt} \vec \omega \times \hat u_\theta}_{\text{radiale}} +$$ + +Siccome ci interessa solo la distanza dal centro, considero solo l'accelerazione radiale: + +$$ +\vec a_r = \frac{d^r}{d t^2} \hat u_r - r \left( \frac{d \theta}{dt} \right)^2 \hat u_r = \left( \frac{d^2r}{dt^2} - \frac{L_{(0)}^2}{m^2 r^4}r \right) +$$ + +Ora, siccome $F(r) = ma_r$ allora + +$$ +m\frac{d^2r}{dt^2} - m\frac{L_{(0)}^2}{m^2 r^3} = F(r) \implies m \frac{d^2r}{dt^2} = F(r) + \underbrace{\frac{L_{(0)}^2}{mr^3}}_{\text{forza centrifuga fittizia}} = F_{eff}(r) +$$ + +quindi + +$$ +E = \frac 12 m \left( \frac{dr}{dt} \right)^2 + E_p(r) + \frac{L_{(0)}^2}{2mr^2} = \frac 12 m \left( \frac{dr}{dt} \right)^2 + \left[ \underbrace{-\gamma \frac{Mm}{r}}_{(1)} \underbrace{\frac{L_{(0)}^2}{2mr^2}}_{(2)} \right] +$$ + +![**Energia potenziale gravitazionale** In verde la $(1)$ mentre in arancio la $(2)$ e in rosso la loro somma. (_L'effetto è scalato di 10x_).][GraficoEnergiaPotenzialeGravitazionale] + +Similmente a quanto detto [in questo paragrafo](#energia-potenziale-gravitazionale) la $E_m$, è possibile determinare la forma dell'orbita: + +- $E_m < \min(E_m)$: impossibile +- $E_m = \min(E_m)$: orbita circolare +- $\min(E_m) < E_m < 0$: orbita ellittica +- $E_m = 0$: orbita iperbolica +- $E_m > 0$: orbita parabolica + +[EsempioGradiente]: https://www.youmath.it/images/stories/analisi-2/gradiente-di-una-funzione-rappresentazione.png +[EsempioReazioneVincolare]: https://www.biopills.net/wp-content/uploads/2016/07/traslazione3-300x179.gif +[EsempioForzaCentraleASimmetriaSferica]: http://www.openfisica.com/fisica_ipertesto/openfisica3/immagini/orbite.jpg +[EsempioTrasformismoDellEnergia]: https://i.imgur.com/kyBYfRh.png +[EsempioMomentoVettore]: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/21/MomentoForza.svg +[EsempioFlussoDiUnVettore]: https://ilikephysics.altervista.org/wp-content/uploads/2020/08/Flusso-di-un-vettore.png +[GraficoEnergiaPotenzialeGravitazionale]: https://i.imgur.com/D3YOqs2.png diff --git a/Fisica Primo Parziale/riassunto.md b/Fisica Primo Parziale/riassunto.md deleted file mode 100644 index e69de29..0000000