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在传统的线性代数教材中，行列式占据重要地位，其原因可能在于历史发展顺序。历史上，数学家们先研究怎么用行列式解线性方程组，而后才提出了矩阵等概念。
现在，有数学家提出了不同观点，认为在现代的线性代数中，可以抛弃行列式，最典型代表就是参考文献[1]的作者，美国数学家Sheldon Axler，参考文献[1]就是他的这种思想的集中体现。
下面参考文献[2]，按照Sheldon Axler的思想，不用行列式，演示相关定理的证明。
设向量空间 $$\mathbb{V}$$ 中的线性变换 $$\pmb{A}$$ ，并 $$\pmb{X} \subseteq \mathbb{V}$$ 是一个子空间，$$\pmb{A(X)}$$ 表示子空间向量经 $$\pmb{A}$$ 映射后的像所成的集合，即 $$\pmb{A(X)}={\pmb{Ax}|\pmb{x}\in\pmb{X}}$$ 。
如果 $$\pmb{A(X)}\subseteq\pmb{X}$$ ，则称 $$\pmb{X}$$ 为线性变换 $$\pmb{A}$$ 的一个不变子空间（invariant subspace）。
对于 $$n\times n$$ 矩阵 $$\pmb{A}$$ ，若 $$\pmb{X}\subseteq \mathbb{C}^n$$ 为 $$\pmb{A}$$ 的一个不变子空间，且 $$\pmb{X}\ne{\pmb{0}}$$ ，则存在非零特征向量 $$\pmb{x}\in\pmb{X}$$ ，使得 $$\pmb{Ax}=\lambda\pmb{x}$$ 。
证明
设 $$\dim{\mathbb{X}}=r,0\lt r \le n$$ ，非零向量 $$\pmb{x}\in\mathbb{X}$$ ，向量集 $${\pmb{x},\pmb{Ax},\pmb{A^2x},\cdots,\pmb{A^rx}}$$ 属于 $$\pmb{X}$$ 且线性相关。$$r$$ 维子空间不可能有 $$r+1$$ 个线性无关的向量。所以，存在不全为零的数 $$c_0,c_1,\cdots,c_r$$ ，使得：
$$c_0\pmb{x}+c_1\pmb{Ax}+\cdots+c_r\pmb{A}^r\pmb{x}=\pmb{0}\tag{1.1}$$
成立。
设系数中最大值是 $$c_s\ne0$$ ，显然 $$0\le s\le r$$ ，则可以将 $$r$$ 次多项式分解为：
$$c_0+c_1t+\cdots+c_rt^r=c_s(t-\mu_1)\cdots(t-\mu_s)\tag{1.2}$$
其中 $$\mu_j\in\mathbb{C}$$ 。
于是，（1.1）式的左侧多项式可以参考（1.2）式，分解为：
$$\pmb{0}=(c_0+c_1\pmb{A}+\cdots+c_r\pmb{A}^r)\pmb{x}=c_s(\pmb{A}-\mu_1\pmb{I})\cdots(\pmb{A}-\mu_s\pmb{I})\pmb{x} \tag{1.3}$$
（1.3）式等号右边的乘法中，至少有一个 $$\mu_j$$ 和向量 $$\pmb{v}\ne0$$ 使得：
$$(\pmb{A}-\mu_j\pmb{I})\pmb{v}=\pmb{0}$$
成立。
即 $$\pmb{A}$$ 必定有一个特征向量 $$\pmb{v}\in\mathbb{X}$$ 对应的特征值是 $$\mu_j$$ 。
证毕。
对应相异特征值 $$\lambda_1,\cdots,\lambda_m$$ 的特征向量 $$\pmb{x}_1,\cdots,\pmb{x}_m$$ 组成一个线性无关的向量集合。
此定理在文献[3]中已经证明，并且没有使用行列式，下面的证明即来自文献[3]
证明1
设 $$\lambda_1,\cdots,\lambda_k$$ 为相异特征值，$$2\le k\le n$$ ，对应特征向量集合 $${\pmb{x}_1,\cdots,\pmb{x}_k}$$ ，考虑：
$$c_1\pmb{x}_1+c_2\pmb{x}_2+\cdots+c_k\pmb{x}_k=\pmb{0}\tag{1.3}$$
将（1.3）式等号两侧左乘 $$(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})(\pmb{A}-\lambda_2\pmb{I})\cdots(\pmb{A}-\lambda_{k-1}\pmb{I})$$ ，并且 $$\pmb{Ax}_i=\lambda_i\pmb{x}_i,(1\le i\le k)$$ ，得：
$$\begin{split}\pmb{0} &= (\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})(\pmb{A}-\lambda_2\pmb{I})\cdots(\pmb{A}-\lambda_{k-1}\pmb{I})(c_1\pmb{x}1+c_2\pmb{x}2+\cdots+c_k\pmb{x}k)\&=c_1(\pmb{A}-\lambda_2\pmb{I})\cdots(\pmb{A}-\lambda{k-1}\pmb{I})(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})\pmb{x}1 \&\quad+ c_2(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})\cdots(\pmb{A}-\lambda{k-1}\pmb{I})(\pmb{A}-\lambda_2\pmb{I})\pmb{x}2\&\quad+\cdots\&\quad+c_k(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})(\pmb{A}-\lambda_2\pmb{I})\cdots(\pmb{A}-\lambda{k-1}\pmb{I})\pmb{x}k\&= c_k(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})(\pmb{A}-\lambda_2\pmb{I})\cdots(\pmb{A}-\lambda{k-2}\pmb{I})(\lambda_k-\lambda{k-1})\pmb{x}k\&=c_k(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})(\pmb{A}-\lambda_2\pmb{I})\cdots(\lambda_k-\lambda{k-2})(\lambda_k-\lambda{k-1})\pmb{x}k\&=\cdots\&=c_k(\lambda_k-\lambda_1)(\lambda_k-\lambda_2)\cdots(\lambda_k-\lambda{k-2})(\lambda_k-\lambda_{k-1})\pmb{x}_k\end{split}$$
因为 $$\lambda_k\ne\lambda_i,1\le i \le{k-1}$$ ，且 $$\pmb{x}_k\ne0$$ ，所以：$$c_k=0$$ 。
同理，可得：$$c_{k-1}=\cdots=c_2=c_1=0$$ 。
故 $${\pmb{x}_1,\cdots,\pmb{x}_k}$$ 是一个完整的线性无关集合。
证毕。
证明2（反证法）
设 $${\pmb{x}_1,\cdots,\pmb{x}_k}$$ 是线性相关集合，在不失一般性的原则下，设 $${\pmb{x}1,\cdots,\pmb{x}{p-1}}$$ 是最大的线性无关集，则：
$$\pmb{x}_p=c_1\pmb{x}1+c_2\pmb{x}2+\cdots+c{p-1}\pmb{x}{p-1} \tag{1.4}$$
其中 $$c_1,\cdots,c_{p-1}$$ 不全为零（因为 $$\pmb{x}_p\ne 0$$ ）。
（1.4）式等号两侧分别左乘 $$\pmb{A}$$ ，可得：
$$\begin{split}\pmb{Ax}p &= c_1\pmb{A}\pmb{x}1+c_2\pmb{Ax}2+\cdots+c{p-1}\pmb{Ax}{p-1}\&=c_1\lambda_1\pmb{x}1+c_2\lambda_2\pmb{x}2+\cdots+c{p-1}\lambda{p-1}\pmb{x}{p-1}\end{split}$$
且：
$$\pmb{Ax}_p=\lambda_p\pmb{x}p=c_1\lambda_p\pmb{x}1+\cdots+c{p-1}\lambda_p\pmb{x}{p-1}$$
以上两式相减：
$$c_1(\lambda_1-\lambda_p)\pmb{x}1+\cdots+c{p-1}(\lambda_{p-1}-\lambda_p)\pmb{x}_{p-1}=\pmb{0}$$
因为 $${\pmb{x}1,\cdots,\pmb{x}{p-1}}$$ 是线性无关的向量集，且 $$\lambda_1,\cdots,\lambda_p$$ 两两相异，所以：$$c_i=0,(1\le i \le{p-1})$$ 。与（1.4）式假设中的系数矛盾。故假设不成立。
证毕。
对于 $$\pmb{Ax}=\lambda\pmb{x}$$ 中的特征向量，为了跟下面的（1.5）式进行区分，称为一般特征向量。而下面所定义的：
$$(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^k\pmb{x}=\pmb{0}\tag{1.5}$$
$$\pmb{x}\ne0$$ 为特征值 $$\lambda$$ 对应的广义特征向量（generalized eigenvector），其中 $$k$$ 是正整数。
广义特征向量所形成集合，以及零向量，也是 $$\mathbb{C}^n$$ 的一个子空间，即 $$N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^k)$$ ，称之为 广义特征空间 。具有如下性质：
若 $$\lambda$$ 是 $$n$$ 阶方阵 $$\pmb{A}$$ 的一个特征值，以 $$k$$ 为指数，则：
$$N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^k)=N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n)$$
证明
采用类似定理1的证明方法。
对线性组合：
$$c_0\pmb{x}+c_1(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})\pmb{x}+\cdots+c_{k-1}(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^{k-1}\pmb{x}=0$$
两侧同乘：$$(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^{k-1}$$ ，根据（1.5）可得：
$$c_0(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^{k-1}\pmb{x}=\pmb{0}$$
所以：$$c_0=0$$ 。
如果两侧同乘以 $$(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^{k-2}$$ ，同理可得 $$c_1=0$$ 。
最终得到 $$c_j=0,j=0,1,\cdots,k-1$$ 。
证毕。
某一特征值 $$\lambda_j$$ 对应的代数重数 $$\beta_j$$ 为广义特征向量集所张成的子空间维数，即 $$\beta_j=\dim N((\pmb{A}-\lambda_j\pmb{I})^{n})$$ 。
向量空间 $$\mathbb{C}^n$$ 可分为两个不相交的集合：广义特征空间 $$N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^{n})$$ 和值域 $$R((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n)$$ 。
若 $$\lambda$$ 为 $$n$$ 阶方阵 $$\pmb{A}$$ 的一个特征值，则：
$$N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^{n})\oplus R((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n)=\mathbb{C}^n$$
证明
由秩—零化度定理可知：
$$\dim N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^{n}) + \dim R((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n) = n$$
设 $$\pmb{x}\in N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^{n}) \cap R((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n)$$ ，
则 $$(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n\pmb{x}=\pmb{0}$$ 且存在 $$y$$ 使得 $$\pmb{x}=(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n\pmb{y}$$ ，由此二式可得：
$$(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^{2n}\pmb{y}=\pmb{0}$$
所以 $$\pmb{y}\in N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^{2n})$$ 。
根据定理3，$$N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^{2n})=N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^{n})$$ ，所以：
$$\pmb{x}=(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n\pmb{y}=\pmb{0}$$
证毕。
所有广义特征向量可张成 $$\mathbb{C}^n$$ 。
证明
将 $$\mathbb{C}^n$$ 分解为广义特征空间 $$N((\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^{n})$$ 和值域 $$R((\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n)$$ 。
$$\begin{split}\pmb{A}(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n&=\pmb{A}(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^{n-1}\&=(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})\pmb{A}(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^{n-1}\&=\cdots\&=(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n\pmb{A}\end{split}$$
对任意 $$y\in R((\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n)$$ ，$$\pmb{y}$$ 可写为 $$\pmb{y}=(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n\pmb{z}$$ ，所以：
$$\pmb{Ay}=\pmb{A}(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n\pmb{z}=(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n\pmb{Az}$$
即 $$\pmb{Ay}\in R((\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n)$$ ，也就是说 $$R((\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n)$$ 是 $$\pmb{A}$$ 的一个不变子空间。
因为 $$\dim N((\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n)\ge 1, \dim R((\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n)\le n$$ 。根据定理1，不变子空间必有一特征值，所以子空间 $$R((\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n)$$ 也可以分解为广义特征空间和另外一个不变子空间的直和。
继续按照上述方式分割不变子空间，直到整个 $$\mathbb{C}^n$$ 都被分解为广义特征空间为止。
所以，广义特征向量足以张成 $$\mathbb{C}^n$$ 。
子空间 $$N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n)$$ 仅有唯一特征值 $$\lambda$$ 。
证明
对于非零向量 $$\pmb{x}\in N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n)$$ ，设 $$\lambda\ne\lambda'$$ 且 $$\pmb{Ax}=\lambda\pmb{x}$$ ，则：
$$(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})\pmb{x}=(\lambda'-\lambda)\pmb{x}$$
故：$$(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n\pmb{x}=(\lambda'-\lambda)^n\pmb{x}$$
但，已知 $$(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n\pmb{x}=\pmb{0}, \lambda'-\lambda\ne0$$ ，故 $$\pmb{x}=0$$ ，这与假设矛盾。所以：$$\lambda=\lambda'$$
证毕。
根据定理5，方阵 $$\pmb{A}$$ 所有的广义特征向量可张成 $$\mathbb{C}^n$$ ，而且对应相异特征值的广义特征向量是线性无关的，故 $$\mathbb{C}^n$$ 可表示为所有特征向量空间的直和：
$$\mathbb{C}^n = N((\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n)\oplus\cdots\oplus N((\pmb{A}-\lambda_m\pmb{I})^n)$$
即：
$$n = \dim N((\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n)+\cdots+\dim N((\pmb{A}-\lambda_m\pmb{I})^n)$$
又因为：$$\beta_j = \dim N((\pmb{A}-\lambda_j\pmb{I})^n)$$ ，所以：$$n=\beta_1+\cdots+\beta_m$$ 。
这说明特征值 $$\lambda_j$$ 的代数重数是 $$\beta_j$$ 。
因为 $$N(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})\subseteq N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n)$$ ，对应特征值 $$\lambda$$ 的线性无关特征向量个数必定不大于线性无关的广义特征向量数。对应的几何重数就是线性无关的特征向量个数，而代数重数等于线性无关的广义特征向量重数。
故 $$\lambda_j$$ 对应的几何重数不大于代数重数。
[1]. Sheldon Axler. 线性代数应该这样学. 北京：人民邮电出版社
[2]. 线代启示录：拒绝行列式的特征分析
[3]. 机器学习数学基础：矩阵对角化
[4]. 机器学习数学基础：秩—零化度定理