在《机器学习数学基础》第 1 章介绍了向量空间，并且说明了机器学习问题通常是在欧几里得空间。然而，随着机器学习技术的发展，特别是 AI 技术开始应用于科学研究中，必然会涉及到其他类型的空间。本文即在《机器学习数学基础》一书所讲解的内容基础之上，简要介绍希尔伯特空间、函数空间的有关概念。
在数学裡，希尔伯特空间（英语：Hilbert space）即完备的内积空间，也就是一个带有内积完备向量空间。
例如 $\mathbb{R}^\infty$ 中的向量 $\pmb{v}$ 含有无限多个分量，即：
$$
\pmb{v}=\begin{bmatrix}v_1\v_2\\vdots\end{bmatrix}
$$
若要使得以下定义依然成立：
$$
\begin{Vmatrix}\pmb{v}\end{Vmatrix}^2=v_1^2+v_2^2+\cdots
$$
则上述无穷级数应该收敛至一个有限数值，例如：$\pmb{v}=\begin{bmatrix}1\1/2\1/3\\vdots\end{bmatrix}$。
这样，向量的长度是有限的，对于空间中有限长度的向量 $\pmb{x}$ 和 $\pmb{y}$ ，则还会有：$\begin{Vmatrix}\pmb{x}+\pmb{y}\end{Vmatrix}\le\begin{Vmatrix}\pmb{x}\end{Vmatrix}+\begin{Vmatrix}\pmb{y}\end{Vmatrix}$
且 $a\pmb{x}$ （其中 $a$ 是一个有限的标量）仍然是一个有限量。
由此容易证明向量空间的 8 条法则依然成立（《机器学习数学基础》第15页）。
这样的空间，就是希尔伯特空间，是一个保持一般几何性质的无限维向量空间。
希尔伯特空间是有限维欧几里得空间的一个推广，使之不局限于实数的情形和有限的维数，但又不失完备性（不像一般的非欧几里得空间那样破坏了完备性）。与欧几里得空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引申而来的正交性与垂直性的概念）。此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间。
微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。
希尔伯特空间以大卫·希尔伯特的名字命名，他在对积分方程的研究中研究了希尔伯特空间。冯·诺伊曼在其 1929 年出版的关于无界自伴算子的著作中，最早使用了“希尔伯特空间”这个名词。
一个抽象的希尔伯特空间中的元素往往被称为向量。在实际应用中，它可能代表了一列复数或是一个函数。
例如在量子力学中，一个物理系统可以表示为一个复希尔伯特空间，其中的向量是描述系统可能状态的波函数。
设正弦函数 $f(x)=\sin(x)$ ，定义域为 $0\le x\le2\pi$ ，视此函数为无限维向量，向量的各个分量即为连续区间内的函数值 $\sin(x)$ 。当向量的分量是连续时，其平方和可写成积分形式（即 $f$ 的长度平方）：
$$
\begin{Vmatrix}f\end{Vmatrix}^2=\int_0^{2\pi}(f(x))^2dx=\int_0^{2\pi}(\sin x)^2dx=\pi
$$
上式说明，我们可以测量函数的长度，即可以将此函数看做向量，从而形成了向量空间，此向量空间的维数无限，显然是希尔伯特空间，也就是一个函数空间。
如果 $f(x)=\sin(x), g(x)=\cos(x)$ ，计算内积：
$$
\langle f, g\rangle=\int_0^{2\pi}f(x)g(x)dx=\int_0^{2\pi}\sin(x)\cos(x)dx=0
$$
故正弦和余弦正交。
设函数 $f$ 是：$f:V\to W$ ，对于任意向量 $\pmb{x}$ 和 $\pmb{y}$ ，以及任意实数 $c$ ，若满足：
$$
\begin{split}f(\pmb{x}+\pmb{y})&=f(\pmb{x})+f(\pmb{y})\f(c\pmb{x})&=cf(\pmb{x})\end{split}
$$
则 $f$ 是线性函数。
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几何向量空间
设 $\pmb{A}$ 是 $m\times n$ 阶实矩阵，$\pmb{x}\in\mathbb{R}^n$ ，$f(\pmb{x})=\pmb{Ax}$ 是一个由 $\mathbb{R}^n$ 映至 $\mathbb{R}^m$ 的线性函数，则：
$$
\begin{split}f(\pmb{x}+\pmb{y})&=\pmb{A}(\pmb{x}+\pmb{y})=\pmb{Ax}+\pmb{Ay}=f(\pmb{x})+f(\pmb{y})\f(c\pmb{x})&=\pmb{A}(c\pmb{x})=c(\pmb{Ax})=cf(\pmb{x})\end{split}
$$
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多项式空间
令 $\mathcal{P}$ 为所有多項式形成的向量空间，微分算子 $D=d/dx$ 可視為由 $\mathcal{P}$ 映至 $\mathcal{P}$ 的函数，例如，$D(2-x+x^3)=-1+3x^2$。微分算子 $D$ 是一个线性函数，利用导数基本性质，可知：
$$
\begin{aligned} D(p(x)+q(x))&=D(p(x))+D(q(x))\ D(cp(x))&=cD(p(x))\end{aligned}
$$
求二次导数，记作：$DD=D^2$ ，易知 $D^2p= p''$ 是线性函数，推广至更高次冪，$D,D^2,\ldots,D^k$ 全部都是线性函数。
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连续函数空间
令 $C(-\infty,\infty)$ 表示所有连续函数形成的空间，$L:C(-\infty,\infty)\rightarrow C(-\infty,\infty)$ ，函数 $u(x), q(x)\in C(-\infty,\infty)$ ，考虑以下的例子：
$L(u(x))=q(x)u(x)$ ，则 $L$ 是线性函数。
证明：
$$
\begin{aligned} L(u(x)+v(x))&=q(x)(u(x)+v(x))=L(u(x))+L(v(x))\ L(cu(x))&=q(x)(cu(x))=c(q(x)u(x))=cL(u(x))\end{aligned}
$$
將微分算子 $D$ 线性函数 $L$ 结合成一个方程式便得到微分方程 $D(u(x))=L(u(x))=q(x)u(x)$ 。
例如，设 $y=u(x)$ ，$q(x)=x$ ，就有 $Dy=xy$ 或写成：$y'=xy$ 。求解微分方程等于找 $y$ 使得 $Dy=Ly$，由此可以逐步建立微分方程与线性代数的关联。
设 $f:V\to W$ 是一个线性函数，所有满足 $f(\pmb{x})=\pmb{0}$ 的 $\pmb{x}$ 所形成的集合构成 $V$ 里的一个子空间，称为零空间或核$^{[2]}$，记作 $N(f)$ 或 $\text{ker}f$ 。
设 $\pmb{u},\pmb{v}\in N(f)$ ，根据线性函数的基本性质，有：
$$
\begin{aligned} f(\pmb{u}+\pmb{v})&=f(\pmb{u})+f(\pmb{v})=\pmb{0}+\pmb{0}=\pmb{0}\ f(c\pmb{u})&=cf(\pmb{u})=c\pmb{0}=\pmb{0}\end{aligned}
$$
这说明 $N(f)$ 满足向量加法和数量乘法封闭原则，所以 $N(f)$ 是 $V$ 的子空间。
将 $f(\pmb{x})=\pmb{0}$ 称为齐次方程（homogeneouos equation）。齐次现象方程至少有一个零解，$f(\pmb{0})=\pmb{0}$ ，也就是说零空间 $N(f)$ 必定包含零向量。
理由如下：
$f(\pmb{0})=f(\pmb{x}-\pmb{x})=f(\pmb{x})-f(\pmb{x})=\pmb{0}$ ，或者 $f(\pmb{0})=f(0\pmb{x})=0\cdot f(\pmb{x})=\pmb{0}$ 。
$$
\begin{aligned} x+y-z&=0\ x-y+z&=0\end{aligned}
$$
或改写为矩阵形式：
$$
f(\mathbf{x})=A\mathbf{x}=\left[!!\begin{array}{crr} 1&1&-1\ 1&-1&1 \end{array}!!\right]\begin{bmatrix} x\ y\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\ 0 \end{bmatrix}
$$
利用高斯消元法，得：$(x,y,z)=t(0,1,1)$ ，$t$ 为任意实数，所以，$A$ 的零空間由向量 $\begin{bmatrix} 0\ 1\ 1 \end{bmatrix}$ 张成，零空間 $N(f)$ 与其表示矩阵 $A$ 的零空間 $N(A)$ 指的是同一回事。
微分算子 $D=d/dx$ 作用在 $C(-\infty,\infty)$ ，$D$ 的零空间包含所有一次导数为零的实函数，由导数性质可知 $N(D)$ 是一个包含所有常函数 $y(x)=c$ 的子空间。
对于下面的齐次微分方程：
$$
y''-3y'+2y=0
$$
也可以用微分算子表示为：$(D^2-3D+2)y=0$
线性算子的线性组合仍为线性算子，故：$L=D^2-3D+2$ 也是线性。
求解齐次微分方程 $Ly=0$ ，即相当于计算 $L$ 的零空间。
线性算子 $L$ 的零空间由线性无关的函数 $e^x$ 和 $e^{2x}$ 张成，$e^x$ 和 $e^{2x}$ 是零空间 $N(L)$ 的基底函数，故齐次解为其线性組合 $y=c_1e^x+c_2e^{2x}$ 。从线性函数的角度，齐次解必定落在 $L$ 的零空间内，亦即
$$
Ly=l(c_1e^x+c_2e^{2x})=c_1L(e^x)+c_2L(e^{2x})=c_10+c_20=0
$$
假设一种线性变换 $L:V\rightarrow V$ ，还有向量 $\pmb{x}\in V$ ，通常 $\pmb{x}$ 和 $L(\pmb{x})$ 之间没有什么特别的关系，但是，在某个条件下，会有如下关系：
$$
L(\pmb{x})=\lambda\pmb{x}
$$
这就是特征向量 $\pmb{x}$ 和特征值 $\lambda$ 。
注意：零向量不是特征向量。这是因为，对于任意线性变换而言，任何 $\lambda$ 都会满足$L(\pmb{0})=\lambda\cdot\pmb{0}=\pmb{0}$ 。
如果特征值为零，则只要存在 $\pmb{x}\neq\pmb{0}$ 满足$L(\pmb{x})=0\pmb{x}=\pmb{0}$ 就行。显然，若线性变换 $L$ 有零特征值，则 $L$ 的零空间必定包含非零向量。
设 $L:\pmb{R}^n\rightarrow\pmb{R}^n$ 为线性变换，以矩陣表示为：$L(\pmb{x})=A\pmb{x}$ 。
例如：$A=\begin{bmatrix} 1&4\ 2&8 \end{bmatrix}$
容易解出其特征值 $\lambda=0, 9$ ，特征向量分别为：$\begin{bmatrix} 4\-1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} 1\ 2 \end{bmatrix}$。
注意，其次方程 $A\pmb{x}=\pmb{0}$ 对应 $\lambda=0$ ，故特征向量 $\begin{bmatrix} 4\-1 \end{bmatrix}$ 张成 $A$ 的零空间。
假设以下微分算式：
$$
De^{x}=e^{x}, De^{2x}=2e^{2x}, De^{-3x}=-3e^{-3x}
$$
函数 $e^{x}, e^{2x},e^{-3x}$ 是微分算子 $D$ 的特征向量，对应特征值分别为 $1,2,-3$ 。
推广：$r$ 是任意数，$D^ke^{rx}=r^ke^{rx}$ ，则 $e^{rx}$ 是 $D^k$ 的特征向量，对应的特征值为 $r^k$ 。
考虑一个常系数齐次微分方程（前面用过的）：$y''-3y'+2y=0$
若有 $L=D^2-3D+2$ ，则可以写为：$Ly=(D^2-3D+2)y=0$
如前所述，求齐次微分方程的解，就等于计算 $L$ 的零空间，也就是找出特征值为 $\lambda=0$ 的特征向量，如下：
$$
Le^{rx}=(r^2-3r+2)e^{rx}=0
$$
因为 $e^{rx}\ne0$ ，则必有 $\lambda=r^2-3r+2=0$ ，则 $r=1,2$ ，特征向量为 $e^x, e^{2x}$ ，所对应的特征值均为 $0$ 。
故：求解齊次微分方程的本質就是問線性算子 $L$ 的哪些特徵向量對應零特徵值$^{[1]}$。
设 $f:V\to W$ 是一个线性函数，对应的非齐次方程：$f(\pmb{x})=\pmb{b}$
下面证明叠加原理：若 $\pmb{x}_p$ 是上述非齐次方程的一个特解（particular solution），$\pmb{x}_h$ 是齐次方程 $f(\pmb{x})$ 的一个解（称为齐次解），则 $\pmb{x}_p+\pmb{x}_h$ 是非齐次方程的通解（或一般解，general solution）。
证明：
因为 $\pmb{x}_p$ 是一个特解，则 $f(\pmb{x}_p)=\pmb{b}$ 。
又因为 $f$ 是线性函数，所以：$f(\pmb{x}-\pmb{x}_p)=f(\pmb{x})-f(\pmb{x}_p)=\pmb{b}-\pmb{b}=\pmb{0}$
故 $\pmb{x}-\pmb{x}_p$ 是齐次解，即 $\pmb{x}-\pmb{x}_p=\pmb{x}_h$ ，$\pmb{x}_h$ 是零空间中的一个向量，故 $\pmb{x}=\pmb{x}_p+\pmb{x}_h$ 是通解。
以下述非齐次线性方程组为例：
$$
\begin{cases}x+y-z=2\x-y+z=4\end{cases}
$$
其一个特解：$x=3,y=1,z=2$ ，前面已经计算过对应的齐次线性方程组的解：$(x,y,z)=t(0,1,1)$ ，其中 $t$ 是任意实数。故此非齐次线性方程组的通解是：$(x,y,z)=(3,1,2)+t(0,1,1)$
以下面的非齐次微分方程为例：$y''-3y'+2y=e^x$
用微分算子表示为：$Ly=(D^2-3D+2)y=e^x$ 。
用待定系数法求出一个特解：
$$
\because\quad(D-1)e^x=0
$$
对于任何解 $y(x)$ ，有：
$$
(D-1)(D^2-3D+2)y=(D-1)^2(D-2)y=0
$$
根据齐次微分方程的求解，$y(x)$ 的形式必为：
$$
y(x)=c_1e^x+c_2e^{2x}+c_3xe^x
$$
显然，前两项是齐次解，$y_h(x)=c_2e^x+c_2e^{2x}$ 。设 $y_p(x)=c_3xe^x$ ，计算：
$$
\begin{split}y'_p(x)&=c_3(xe^x+e^x)\y''_p(x)&=c_3(xe^x+2e^x)\end{split}
$$
代入到非齐次微分方程中，得：
$$
c_3(xe^x+2e^x)-3c_3(xe^x+e^x)+2c_3(xe^x)=e^x
$$
$$
c_3=-1
$$
得到特解：$y_p=-xe^x$
故通解为：$y(x)=c_1e^x+c_2e^{2x}-xe^x$
[1]. 线代启示录：从几何向量空间到函数空间
[2]. 线性代数基本定理