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// manage active state of menu based on current page
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// mark it active
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// if it's got a parent navbar menu mark it active as well
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border-right: 1px solid #ddd;
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.tabset-dropdown > .nav-tabs > li.active {
display: block;
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.tabset-dropdown > .nav-tabs > li > a,
.tabset-dropdown > .nav-tabs > li > a:focus,
.tabset-dropdown > .nav-tabs > li > a:hover {
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.tabset-dropdown > .nav-tabs.nav-tabs-open > li {
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Noções de Probabilidade e Estatística
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<code>Lineu Alberto</code>
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</td>
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</table>
<div class="fluid-row" id="header">
</div>
<hr />
<font size="5">
<p align=”center”>
<b> Parte 3 - Probabilidades </b>
</center>
<p></font></p>
<hr />
<div id="probabilidades" class="section level1">
<h1><span class="header-section-number">1</span> <strong>Probabilidades</strong></h1>
<p>A teoria das probabilidades é o ramo da matemática que desenvolve e avalia modelos para descrever fenômenos aleatórios. É a base teórica para o desenvolvimento das técnicas estatísticas.</p>
<p>Consiste em descrever o conjunto de resultados possíveis do fenômeno e atribuir pesos a cada possível resultado, refletindo suas chances de ocorrência, estes pesos são as chamadas probabilidades.</p>
<hr />
</div>
<div id="fenomenos-deterministicos-e-aleatorios" class="section level1">
<h1><span class="header-section-number">2</span> <strong>Fenômenos determinísticos e aleatórios</strong></h1>
<p>Os fenômenos podem ser classificados como determinísticos e aleatórios dependendo de como ocorre seu desfecho em diversas tentativas.</p>
<ul>
<li><p><strong>Fenômenos determinísticos</strong>: algo que, quando repetido diversas vezes, tem sempre o mesmo desfecho, isto é, o mesmo resultado.</p></li>
<li><p><strong>Fenômenos aleatórios</strong>: algo que, quando repetido diversas vezes, pode ter diferentes desfechos. É tratado como aleatório pois antes da execução não há como saber qual dos possíveis resultados será observado. Portanto, um fenômeno aleatório é uma situação ou acontecimento cujos resultados não podem ser previstos com certeza.</p></li>
</ul>
<hr />
</div>
<div id="teoria-dos-conjuntos" class="section level1">
<h1><span class="header-section-number">3</span> <strong>Teoria dos Conjuntos</strong></h1>
<p><strong>Eventos</strong> são resultados ou um subconjunto de resultados de um experimento aleatório, usualmente são representados por letras latinas maiúsculas (A, B, C, …). A teoria dos conjuntos é utilizada para definir operações com eventos. Alguns conceitos importantes são:</p>
<ul>
<li><strong>Espaço amostral</strong>: conjunto de todos os resultados possíveis de um fenômeno aleatório. Denotado por <span class="math inline">\(\Omega\)</span>. Os subconjuntos de <span class="math inline">\(\Omega\)</span> são os eventos. O espaço amostral pode ser:
<ul>
<li><strong>Discreto</strong>: contêm apenas um número finito ou contável de elementos.</li>
<li><strong>Contínuo</strong>: contêm um número infinito de elementos.</li>
</ul></li>
</ul>
<p><span class="math inline">\(\\\)</span></p>
<ul>
<li><p><strong>Conjunto vazio</strong>: conjunto sem elementos, denotado por <span class="math inline">\(\phi\)</span>.</p></li>
<li><p><strong>União</strong>: sejam dois eventos <span class="math inline">\(A\)</span> e <span class="math inline">\(B\)</span>, a união é denotada por <span class="math inline">\(A ∪ B\)</span> e representa a ocorrência de, pelo menos, um dos eventos A ou B.</p></li>
</ul>
<center>
<div>
<p><img src="img/uniap.png" width="170" height="170"/></p>
</div>
</center>
<ul>
<li><strong>Interseção</strong>: sejam dois eventos <span class="math inline">\(A\)</span> e <span class="math inline">\(B\)</span>, a interseção é denotada por <span class="math inline">\(A ∩ B\)</span> e representa a ocorrência simultânea de A e B.</li>
</ul>
<center>
<div>
<p><img src="img/inter.png"width="170" height="170"/></p>
</div>
</center>
<ul>
<li><strong>Eventos disjuntos ou mutualmente exclusivos</strong>: sejam dois eventos <span class="math inline">\(A\)</span> e <span class="math inline">\(B\)</span>, eles são ditos disjuntos se possuem interseção nula, isto é, não têm elementos em comum. <span class="math inline">\(A ∩ B = \phi\)</span>.</li>
</ul>
<center>
<div>
<p><img src="img/disj.png"width="170" height="170"/></p>
</div>
</center>
<ul>
<li><strong>Eventos complementares</strong>: eventos que a união resulta no espaço amostral e a intersecção é vazia. <span class="math inline">\(A ∪ A^{c} = \Omega\)</span> e <span class="math inline">\(A ∩ A^{c} = \phi\)</span>.</li>
</ul>
<center>
<div>
<p><img src="img/comp.png"width="170" height="170"/></p>
</div>
</center>
<hr />
</div>
<div id="definicao-axiomatica-de-probabilidade" class="section level1">
<h1><span class="header-section-number">4</span> <strong>Definição axiomática de probabilidade</strong></h1>
<p>Probabilidade é uma função <span class="math inline">\(P(·)\)</span> que atribui valores que mensuram a chance de ocorrência de eventos do espaço amostral, de tal forma que que atenda as condições:</p>
<ul>
<li><p><span class="math inline">\(0 \leq P(A) \leq 1, \forall A \in \Omega\)</span></p></li>
<li><p><span class="math inline">\(P(\Omega) = 1\)</span></p></li>
<li><p><span class="math inline">\(P \left ( ∪_{j=1}^{n} A_{j} \right ) = \sum_{j=1}^{n} P(A_{j})\)</span>, desde que os <span class="math inline">\(A_{j}\)</span> sejam disjuntos.</p></li>
</ul>
<hr />
<p>Considerando o que foi apresentado até o momento, o problema agora é: como atribuir probabilidades aos elementos do espaço amostral?</p>
<p>As principais maneiras de atribuir probabilidades são:</p>
<ul>
<li><p><strong>A forma clássica</strong>: baseia-se nas características teóricas da realização do fenômeno.</p></li>
<li><p><strong>A forma frequentista</strong>: baseia-se nas frequências de ocorrência do fenômeno. Para um grande número de repetições, a frequência relativa dos eventos do espaço amostral são estimativas da verdadeira probabilidade. Intuitivamente é possível conjecturar que à medida que o número de repetições aumenta, as frequências relativas se estabilizam em um número que chamaremos de probabilidade.</p></li>
</ul>
<hr />
<p>Considere dois experimentos: o lançamento de um dado e o lançamento de uma moeda. Considerando que sejam honestos, imaginamos que a probabilidade de uma face qualquer do dado aparecer em um lancamento seja 1/6 (considerando que são 6 faces e todas tem a mesma chance de ocorrência já que o dado é equilibrado). O mesmo para a moeda: considerando que são duas faces, a probabilidade de observar qualquer uma delas é igual a 1/2. Estas suposições são resultantes da atribuição de probabilidades pela forma clássica.</p>
<p>Pela forma frequentista deveríamos repetir o experimento de lançar o dado e a moeda um grande número de vezes já que a Lei dos Grandes Números nos diz que as estimativas das probabilidades dadas pelas frequências relativas tendem a ficar melhores com mais observações.</p>
<p>Os gráficos a seguir apresentam o resultado da simulação de diversos lançamentos de um dado e uma moeda, note que quanto maior o número de lançamentos mais próxima a probabilidade obtida fica daquela obtida pela forma clássica:</p>
<p><img src="probabilidade_files/figure-html/unnamed-chunk-1-1.png" width="960" /></p>
<hr />
<div id="adicao-de-probabilidades" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">4.1</span> <strong>Adição de probabilidades</strong></h2>
<p>A probabilidade da união de eventos é calculada através da regra da adição de probabilidades:</p>
<p><span class="math display">\[P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)\]</span></p>
<p>Se A e B forem disjuntos, a expressão se reduz à soma das probabilidades.</p>
<p>Como consequência da regra da adição, obtemos que, para qualquer evento <span class="math inline">\(A \subset \Omega\)</span>:</p>
<p><span class="math display">\[P(A) = 1 - P(A^{c})\]</span></p>
<p>Consequentemente:</p>
<p><span class="math display">\[P(A ∪ A^{c}) = P(\Omega) = 1\]</span></p>
<hr />
</div>
<div id="probabilidade-condidional" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">4.2</span> <strong>Probabilidade condidional</strong></h2>
<p>Em muitas situações, o fenômeno de interesse pode ser separado em etapas. A informação do que ocorreu em uma etapa pode influenciar nas etapas seguintes. Nestas situações há um ganho de informação e pode-se recalcular as probabilidades. Estas probabilidades são as chamadas probabilidades condicionais. Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A ocorrer, dado que ocorreu B é representado por P(A|B).</p>
<ul>
<li>Quando <span class="math inline">\(P(B) > 0\)</span>:</li>
</ul>
<p><span class="math display">\[P(A|B) = \frac{P(A ∩ B)}{P(B)}\]</span></p>
<ul>
<li>Quando <span class="math inline">\(P(B) = 0\)</span>:</li>
</ul>
<p><span class="math display">\[P(A|B) = P(A)\]</span></p>
<hr />
</div>
<div id="regra-do-produto" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">4.3</span> <strong>Regra do produto</strong></h2>
<p>Da definição de probabilidade condicional, é possível deduzir a regra do prodto:</p>
<p><span class="math display">\[P({A ∩ B}) = P(A|B)P(B),\]</span> com <span class="math inline">\(P(B)>0\)</span>.</p>
<hr />
</div>
<div id="independencia-de-eventos" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">4.4</span> <strong>Independência de eventos</strong></h2>
<p>Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência de um não altera a probabilidade de ocorrência do outro:</p>
<p><span class="math display">\[P(A|B) = P(A), P(B) > 0\]</span> ou, de forma equivalente:</p>
<p><span class="math display">\[P({A ∩ B}) = P(A)P(B)\]</span></p>
<hr />
</div>
<div id="particao-do-espaco-amostral" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">4.5</span> <strong>Partição do espaço amostral</strong></h2>
<p>Os eventos <span class="math inline">\(C_1, C_2, ..., C_k\)</span> formam uma partição do espaço amostral se eles não tem interseção entre si e sua união é igual ao espaço amostral. Isto é:</p>
<ul>
<li><p><span class="math inline">\(C_i ∩ C_j = \phi\)</span>, para <span class="math inline">\(i \neq j\)</span></p></li>
<li><p><span class="math inline">\(∪_{i=1}^{k} C_{i} = \Omega\)</span></p></li>
</ul>
<center>
<img src="img/part2.jpg" width=400 height=400>
</center>
<hr />
</div>
<div id="teorema-de-bayes" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">4.6</span> <strong>Teorema de Bayes</strong></h2>
<p>Suponha que os eventos <span class="math inline">\(C_1, C_2, ..., C_k\)</span> formem uma partição de <span class="math inline">\(\Omega\)</span> e que suas probabilidades sejam conhecidas.Suponha ainda que, para um evento A, se conheçam as probabilidades <span class="math inline">\(P(A|C_i)\)</span> para todo <span class="math inline">\(i = 1,2,...,k\)</span>. Entãom para qualquer <span class="math inline">\(j\)</span> temos que:</p>
<p><span class="math display">\[P(C_j|A) = \frac{P(A|C_j)P(C_j)}{\sum_{i=1}^{k}P(A|C_i)P(C_i)},\ j=1,2,...,k\]</span></p>
<hr />
<p>Críticas e sugestões a este material sempre serão bem vindas.</p>
<p>Para entrar em contato comigo, envie uma mensagem para <a href="mailto:[email protected]" class="email">[email protected]</a>.</p>
<hr />
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