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// manage active state of menu based on current page
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// mark it active
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// if it's got a parent navbar menu mark it active as well
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content: "";
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.tabset-dropdown > .nav-tabs.nav-tabs-open:before {
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font-family: 'Glyphicons Halflings';
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border-right: 1px solid #ddd;
}
.tabset-dropdown > .nav-tabs > li.active {
display: block;
}
.tabset-dropdown > .nav-tabs > li > a,
.tabset-dropdown > .nav-tabs > li > a:focus,
.tabset-dropdown > .nav-tabs > li > a:hover {
border: none;
display: inline-block;
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}
.tabset-dropdown > .nav-tabs.nav-tabs-open > li {
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Lineu A.C.F
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Noções de Probabilidade e Estatística
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<code>Lineu Alberto</code>
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</div>
</td>
</tr>
</table>
<div class="fluid-row" id="header">
</div>
<hr />
<font size="5">
<p align=”center”>
<b> Parte 6.1 - Inferência </b>
</center>
<p></font></p>
<font size="5">
<p align=”center”>
<b> Conceitos iniciais e estimadores pontuais </b>
</center>
<p></font></p>
<hr />
<div id="inferencia" class="section level1 tabset tabset-fade">
<h1><span class="header-section-number">1</span> <strong>Inferência</strong></h1>
<p>A Inferência é o ramo da Estatística que objetiva estudar a população através de evidências fornecidas por uma amostra. Em outros termos, as técnicas de inferência permitem fazer afirmações sobre quantidades populacionais através de um subconjunto da população.</p>
<p>É interessante observar que o objetivo da amostragem é gerar um subconjunto que seja representativo em relação a população, contudo é intuitivo notar que, caso se repita o processo de amostragem, uma amostra diferente da inicial será obtida e, consequentemente, as medidas de interesse calculadas (média, variância, etc.) em diferentes amostras não serão iguais, pois os elementos pertencentes à amostra serão diferentes.</p>
<p>Isto quer dizer que mesmo o procedimento de amostragem estando correto sempre haverá aleatoriedade envolvida, contudo, objetivamos que diferentes amostras nos cedam respostas próximas ao valor que seria observado caso tivéssemos a população toda em mãos.</p>
<p>Por exemplo, considere que estamos interessados em saber a altura média dos indivíduos do sexo masculino em uma região. Para saber a média exata teríamos que coletar a informação de TODOS os homens da região e obter a média. Na prática tal tarefa é inviável, então tomamos uma amostra de indivíduos do sexo masculido, obtemos a média para esta amostra e este valor é o nosso candidato à medida de interesse na população. Outra amostra, coletada da mesma maneira, nos forneceria outro valor, o que torna a medida dependente da amostra e, portanto, aleatória.</p>
<p>Devido à natureza aleatória, todas as quantidades associadas à amostra devem receber tratamento probabilístico. Uma certa característica de interesse na população é representada por uma variável aleatória <span class="math inline">\(X\)</span>, da qual retira-se uma amostra (<span class="math inline">\(X_1,X_2,...,X_n\)</span>) de tamanho <span class="math inline">\(n\)</span>.</p>
<p>Consideraremos que as amostras foram obtidas de modo a garantir que os elementos sejam independentes e tenham todos a mesma distribuição de probabilidade da variável <span class="math inline">\(X\)</span>.</p>
<hr />
</div>
<div id="conceito-formal" class="section level1 tabset tabset-fade">
<h1><span class="header-section-number">2</span> <strong>Conceito formal</strong></h1>
<p>Seja <span class="math inline">\(X\)</span> uma variável aleatória com função de probabilidade ou densidade de probabilidade denotada por <span class="math inline">\(f(x, \theta)\)</span>, em que <span class="math inline">\(\theta\)</span> é um parâmetro desconhecido, chamamos de inferência estatística o problema que consiste em especificar um ou mais valores para <span class="math inline">\(\theta\)</span>, baseado em um conjunto de valores <span class="math inline">\(X\)</span>.</p>
<p>Uma sequência <span class="math inline">\(X_{1},...,X_{n}\)</span> de <span class="math inline">\(n\)</span> variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (<span class="math inline">\(i.i.d\)</span>) com função de probabilidade ou densidade de probabilidade <span class="math inline">\(f(x, \theta)\)</span> é uma amostra aleatória de tamanho <span class="math inline">\(n\)</span> da distribuição de <span class="math inline">\(X\)</span>, quando <span class="math inline">\(n>1\)</span> a conjunta consiste no produtório das <span class="math inline">\(f(x_{i}, \theta)\)</span> individuais.</p>
<p>O objetivo das técnicas de inferência é estudar uma quantidade populacional <span class="math inline">\(\theta\)</span> desconhecida, pois so temos uma amostra da população, por meio de estimativas pontuais e intervalares.</p>
<p>A inferência estatística se divide em 3 ramos: <strong>estimação pontual</strong>, <strong>estimação intervalar</strong> e <strong>teste de hipótesses</strong>.</p>
<hr />
<div id="estimacao-pontual" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">2.1</span> <strong>Estimação pontual</strong></h2>
<p>A ideia consiste em utilizar a informação amostral para obter valores candidatos para a quantidade que seria observada na população. Deve-se garantir que estes candidatos vão refletir a realidade. Ou seja, as técnicas de estimação pontual fornecem um único valor numérico para uma quantidade que desejamos saber na população.</p>
<hr />
</div>
<div id="estimacao-intervalar" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">2.2</span> <strong>Estimação intervalar</strong></h2>
<p>Como já discutido, diferentes amostras podem gerar diferentes resultados, o que dá um caráter aleatório a todas as medidas provenientes da amostra. Neste sentido, o objetivo da estimação intervalar é fornecer um intervalo de valores “plausíveis” para o parâmetro de interesse de forma que haja uma confiabilidade de que o real valor do parâmetro que seria observado caso tivéssemos toda a população em mãos está no intervalo.</p>
<hr />
</div>
<div id="teste-de-hipoteses" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">2.3</span> <strong>Teste de hipóteses</strong></h2>
<p>Consiste em testar uma hipótese sobre um parâmetro populacional. Uma hipótese é uma afirmativa sobre uma propriedade da população enquanto que um teste de hipótese é um procedimento para se testar esta afirmativa.</p>
<hr />
</div>
</div>
<div id="parametros-estimadores-e-estimativas" class="section level1">
<h1><span class="header-section-number">3</span> <strong>Parâmetros, Estimadores e Estimativas</strong></h1>
<p>Alguns conceitos importantes são:</p>
<ul>
<li><p><strong>Parâmetro</strong>: é uma medida numérica que descreve alguma característica da população, na maior parte dos casos são desconhecidos e usualmente representados por letras gregas e genericamente representado por <span class="math inline">\(\theta\)</span>.</p></li>
<li><p><strong>Espaço paramétrico</strong>: O conjunto em que <span class="math inline">\(\theta\)</span> pode assumir seus valores.</p></li>
<li><p><strong>Estimador</strong>: a combinação de elementos da amostra, construída com a finalidade de representar, ou estimar, um parâmetro na população. Denotamos os estimadores por símbolos com acento circunflexo. Os valores numéricos assumidos pelos estimadores são chamados <strong>estimativas</strong> ou estatísticas. Como se tratam de funções da amostra, e diferentes amostras geram diferentes estimativas, estas quantidades são tratadas como variáveis aleatórias. As estimativas podem ser pontuais ou intervalares:</p>
<ul>
<li><p><strong>Estimativa pontual</strong>: fornecem como estimativa um único valor numérico para o parâmetro de interesse.</p></li>
<li><p><strong>Estimativa intervalar</strong>: fornece um intervalo de valores “plausíveis” para o parâmetro de interesse.</p></li>
</ul></li>
</ul>
<hr />
</div>
<div id="propriedades-dos-estimadores" class="section level1 tabset tabset-fade">
<h1><span class="header-section-number">4</span> <strong>Propriedades dos estimadores</strong></h1>
<p>Quando a amostragem é feita a partir de uma população descrita por uma função <span class="math inline">\(f(x, \theta)\)</span>, o conhecimento de <span class="math inline">\(\theta\)</span> a partir da amostra, gera todo o conhecimento sobre a população. Além disso, mais de uma função da amostra pode ser proposta para estimar o parâmetro de interesse. Dessa forma, é natural que se procure um método para se achar o melhor estimador para <span class="math inline">\(\theta\)</span>.</p>
<p>O que nos leva às propriedades dos estimadores. Um bom estimador é: <strong>não viciado</strong>, <strong>consistente</strong> e <strong>eficiente</strong>.</p>
<hr />
<div id="vicio" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">4.1</span> Vício</h2>
<p>Um estimador <span class="math inline">\(\hat{\theta}\)</span> é não viciado ou não viesado para um parâmetro <span class="math inline">\(\theta\)</span> se seu valor esperado coincide com o parâmetro de interesse, isto é: <span class="math inline">\(E(\hat{\theta}) = \theta\)</span>.</p>
<p>Independente do tamanho amostral esta propriedade deve ser válida.</p>
<hr />
</div>
<div id="consistencia" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">4.2</span> Consistência</h2>
<p>Um estimador <span class="math inline">\(\hat{\theta}\)</span> é consistente, se, à medida que aumenta-se o tamanho amostral, o valor esperado converge para o parâmetro de interesse e a variância converge para 0, isto é:</p>
<ul>
<li><p><span class="math inline">\(\underset{n \to \infty}{lim} E(\hat{\theta}) = \theta.\)</span></p></li>
<li><p><span class="math inline">\(\underset{n \to \infty}{lim} Var(\hat{\theta}) = 0.\)</span></p></li>
</ul>
<p>Note como o conceito de consistência está diretamente ligado ao tamanho amostral, diferentemente do conceito de vício.</p>
<hr />
</div>
<div id="eficiencia" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">4.3</span> Eficiência</h2>
<p>Dados dois estimadores <span class="math inline">\(\hat{\theta_1}\)</span> e <span class="math inline">\(\hat{\theta_2}\)</span>, ambos não viciados para um parâmetro <span class="math inline">\(\theta\)</span>, dizemos que <span class="math inline">\(\hat{\theta_1}\)</span> é mais eficiente que <span class="math inline">\(\hat{\theta_2}\)</span> se <span class="math inline">\(Var(\hat{\theta_1}) < Var(\hat{\theta_1})\)</span>, ou seja, quanto menor a variância, maior a eficiência.</p>
<hr />
</div>
</div>
<div id="principais-estimadores-pontuais" class="section level1 tabset tabset-fade">
<h1><span class="header-section-number">5</span> <strong>Principais estimadores pontuais</strong></h1>
<p>Na prática algumas quantidades são mais frequentes em problemas que envolvem inferência e, por esta razão, seus estimadores e propriedades são conhecidos e bem definidos. Os principais são: a <strong>média</strong>, a <strong>proporção</strong> e a <strong>variância</strong>.</p>
<hr />
<div id="media" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">5.1</span> Média</h2>
<p>O parâmetro populacional de média é usualmente denotado por <span class="math inline">\(\mu\)</span>. O estimador, denotado por <span class="math inline">\(\bar{X}\)</span> é dado pela soma dos elementos dividido pelo tamanho amostral, ou seja,</p>
<p><span class="math display">\[\bar{X} = \frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}.\]</span></p>
<p>O estimador para a média é não viciado e consistente.</p>
<hr />
</div>
<div id="proporcao" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">5.2</span> Proporção</h2>
<p>Para a proporção observada na população, cujo parâmetro é denotado por <span class="math inline">\(p\)</span>, um estimador, denotado por <span class="math inline">\(\hat{p}\)</span> consiste na frequência amostral dividido pelo número de elementos, ou seja,</p>
<p><span class="math display">\[\hat{p} = \frac{freq. \ amostral}{n}.\]</span></p>
<p>O estimador para a proporção é não viciado e consistente.</p>
<hr />
</div>
<div id="variancia" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">5.3</span> Variância</h2>
<p>Para a variância, denotada por <span class="math inline">\(\sigma^2\)</span>, dois candidatos a estimadores destacam-se, são eles:</p>
<ul>
<li><span class="math inline">\(S^2 = \frac{1}{n-1} \left ( \sum_{i=1}^n X_i^2-n \bar{X}^2 \right )\)</span></li>
<li><span class="math inline">\(\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \left ( \sum_{i=1}^n X_i-\bar{X} \right )^2\)</span></li>
</ul>
<p>O estimador dado por <span class="math inline">\(S^2\)</span> é não viciado e consistente, enquanto <span class="math inline">\(\hat{\sigma}^2\)</span> é <strong>viciado</strong> e consistente.</p>
<hr />
</div>
</div>
<div id="distribuicoes-amostrais" class="section level1">
<h1><span class="header-section-number">6</span> <strong>Distribuições amostrais</strong></h1>
<p>Quando uma amostra <span class="math inline">\(X_{1},...,X_{n}\)</span> é obtida, geralmente estamos interessados em um resumo destes valores, que pode ser expresso por uma estatística. E esta estatística é também uma variável aleatória, isto quer dizer que possui uma distribuição de probabilidade chamada distribuição amostral.</p>
<p>Graças a esta distribuição podemos, além das estimativas pontuais, obter uma medida de precisão do valor obtido chamada estimativa intervalar ou intervalo de confiança.</p>
<hr />
</div>
<div id="teorema-central-do-limite" class="section level1">
<h1><span class="header-section-number">7</span> <strong>Teorema Central do Limite</strong></h1>
<p>O Teorema Central do Limite (TCL) diz que para <span class="math inline">\(n\)</span> grande, a distribuição da <strong>média amostral</strong> se comporta segundo um modelo <strong>Normal</strong>. Se padronizarmos a média, a distribuição se comporta tal como uma Normal de <strong>média 0</strong> e <strong>variância 1</strong>. Além disso, quanto maior o tamanho da amostra, melhor é a aproximação. O teorema permite que utilizemos a distribuição Normal sempre que tivermos interesse em estudar a média amostral independente da distribuição da variável aleatória que gerou esta média. Ou seja, a distribuição amostral da média amostral <span class="math inline">\(\bar{X}\)</span>:</p>
<p><span class="math display">\[\bar{X} \sim N\left ( \mu, \frac{\sigma^{2}}{n} \right )\]</span></p>
<p>Formalmente: Seja uma amostra de tamanho <span class="math inline">\(n\)</span> retirada de uma população com média <span class="math inline">\(\mu\)</span> e variância <span class="math inline">\(\sigma^2\)</span>. A amostra <span class="math inline">\(X_1,...,X_n\)</span> consiste de <span class="math inline">\(n\)</span> variávevis aleatórias independentes e com mesma distribuição. A média da amostra é denotada por <span class="math inline">\(\bar{X}\)</span>. Temos que:</p>
<p><span class="math display">\[\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow[n \to \infty]{em \ dist.} N(0,1).\]</span></p>
<hr />
<p>Vamos verificar, através de um pequeno estudo de simulação, como o TCL é válido. Considerando as distribuições Uniforme, Binomial, Poisson, Exponencial e Normal foram geradas 1000 amostras em que variou-se o tamanho amostral. Para cada uma das amostras obteve-se a média e gerou-se o histograma. Note como os histogramas são simétricos, corroborando o que nos diz o TCL:</p>
<p><img src="npest6_1_files/figure-html/unnamed-chunk-1-1.png" width="672" style="display: block; margin: auto;" /></p>
<hr />
<p>Uma aplicação importante do TCL relaciona-se com a distribuição da proporção amostral. A proporção é a fração dos indivíduos com a característica de interesse na amostra. Isto é, <span class="math inline">\(\hat{p} = \frac{individuos \ com \ a \ caracteristica}{n}\)</span>. Se considerarmos uma variável aleatória <span class="math inline">\(Y_i\)</span> tal que</p>
<p><span class="math display">\[Y_i =
\left\{\begin{matrix}
1, & se \ apresenta \ a \ característica \\
0, & caso \ contrário
\end{matrix}\right.\]</span></p>
<p>Podemos reescrever a proporção amostral como</p>
<p><span class="math display">\[\hat{p} = \frac{Y_1+Y_2+...+Y_n}{n}=\sum_{i=1}^n\frac{Y_i}{n}=\bar{Y}.\]</span></p>
<p>Logo, a proporção amostral nada mais é do que a média de variáveis aleatórias convenientemente definidas de tal forma que <span class="math inline">\(Y_1+Y_2+...+Y_n\)</span> formam uma sequência de variáveis aleatórias independentes seguindo distribuição de Bernoulli. Portanto tem média igual a <span class="math inline">\(p\)</span> e variância igual a <span class="math inline">\(p(1-p)\)</span>.</p>
<p>Logo, pelo TCL, temos que:</p>
<p><span class="math display">\[\frac{\bar{Y}-E(\bar{Y})}{Var(\bar{Y})}=\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \xrightarrow[n \to \infty]{em \ dist.} N(0,1)\]</span></p>
<hr />
<p>Críticas e sugestões a este material sempre serão bem vindas.</p>
<p>Para entrar em contato comigo, envie uma mensagem para <a href="mailto:[email protected]" class="email">[email protected]</a>.</p>
<hr />
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</div>
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