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// manage active state of menu based on current page
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// active menu anchor
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href = href.substr(href.lastIndexOf('/') + 1)
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// mark it active
menuAnchor.parent().addClass('active');
// if it's got a parent navbar menu mark it active as well
menuAnchor.closest('li.dropdown').addClass('active');
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.tabset-dropdown > .nav-tabs > li.active:before {
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border-right: 1px solid #ddd;
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.tabset-dropdown > .nav-tabs.nav-tabs-open > li.active:before {
content: "";
border: none;
}
.tabset-dropdown > .nav-tabs.nav-tabs-open:before {
content: "";
font-family: 'Glyphicons Halflings';
display: inline-block;
padding: 10px;
border-right: 1px solid #ddd;
}
.tabset-dropdown > .nav-tabs > li.active {
display: block;
}
.tabset-dropdown > .nav-tabs > li > a,
.tabset-dropdown > .nav-tabs > li > a:focus,
.tabset-dropdown > .nav-tabs > li > a:hover {
border: none;
display: inline-block;
border-radius: 4px;
}
.tabset-dropdown > .nav-tabs.nav-tabs-open > li {
display: block;
float: none;
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.tabset-dropdown > .nav-tabs > li {
display: none;
}
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<!-- code folding -->
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#TOC {
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width: 100%;
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line-height: 20px;
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<li>
<a href="https://github.com/lineu96">
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</a>
</li>
</ul>
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<table class="header" width="100%" align="center">
<tr>
<td align="left" valign="bottom" width="90px">
<a href="https://lineu96.github.io/npest/">
<img src="img/est.jpg" width="100%" />
</a>
</td>
<td align="left" valign="top">
<div class="header">
<h4 style="font-size: 20px; margin: 10px auto 0 10px">
Noções de Probabilidade e Estatística
</h4>
<h5 style="margin: 0px 0px 10px 10px">
<a href="https://lineu96.github.io/st/">
<code>Lineu Alberto</code>
</a>
</h5>
</div>
</td>
</tr>
</table>
<div class="fluid-row" id="header">
</div>
<hr />
<font size="5">
<p align=”center”>
<b> Parte 4 - Variáveis aleatórias discretas </b>
</center>
<p></font></p>
<hr />
<div id="variaveis-aleatorias-discretas" class="section level1">
<h1><span class="header-section-number">1</span> <strong>Variáveis aleatórias discretas</strong></h1>
<p>Uma variável aleatória é classificada como discreta se assume um conjunto de valores enumerável. Dessa forma, é possível atribuir probabilidades para um ponto específico.</p>
</div>
<div id="funcao-de-probabilidade" class="section level1">
<h1><span class="header-section-number">2</span> <strong>Função de probabilidade</strong></h1>
<p>Seja uma variável aleatória (v.a) discreta <span class="math inline">\(X\)</span>, que assume os valores <span class="math inline">\(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}, ...\)</span>. Sua função de probabilidade (fp) é a função que atribui probabilidades a cada <span class="math inline">\(x_{i}\)</span> em que:</p>
<ul>
<li><p><span class="math inline">\(0 \leq P(x_{i}) \leq 1\)</span>, <span class="math inline">\(i = 1, 2, ...\)</span></p></li>
<li><p><span class="math inline">\(\sum_{i} P(x_{i}) = 1\)</span></p></li>
</ul>
<p>As possíveis notações são:</p>
<ul>
<li><span class="math inline">\(P(X=x_i)=p(x_i)=p_i, \ i=1,2,...\)</span></li>
<li><table style="border-collapse:collapse;border-spacing:0;border-color:#ccc;margin:0px auto" class="tg">
<tr>
<td style="font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;padding:10px 5px;border-style:solid;border-width:0px;overflow:hidden;word-break:normal;border-top-width:1px;border-bottom-width:1px;border-color:inherit;color:#333;background-color:#fff;text-align:left;vertical-align:top">
X
</td>
<td style="font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;padding:10px 5px;border-style:solid;border-width:0px;overflow:hidden;word-break:normal;border-top-width:1px;border-bottom-width:1px;border-color:inherit;color:#333;background-color:#fff;text-align:left;vertical-align:top">
x1
</td>
<td style="font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;padding:10px 5px;border-style:solid;border-width:0px;overflow:hidden;word-break:normal;border-top-width:1px;border-bottom-width:1px;border-color:inherit;color:#333;background-color:#fff;text-align:left;vertical-align:top">
x2
</td>
<td style="font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;padding:10px 5px;border-style:solid;border-width:0px;overflow:hidden;word-break:normal;border-top-width:1px;border-bottom-width:1px;border-color:inherit;color:#333;background-color:#fff;text-align:left;vertical-align:top">
x3
</td>
<td style="font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;padding:10px 5px;border-style:solid;border-width:0px;overflow:hidden;word-break:normal;border-top-width:1px;border-bottom-width:1px;border-color:inherit;color:#333;background-color:#fff;text-align:left;vertical-align:top">
…
</td>
</tr>
<tr>
<td style="font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;padding:10px 5px;border-style:solid;border-width:0px;overflow:hidden;word-break:normal;border-top-width:1px;border-bottom-width:1px;border-color:inherit;color:#333;background-color:#f9f9f9;text-align:left;vertical-align:top">
pi
</td>
<td style="font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;padding:10px 5px;border-style:solid;border-width:0px;overflow:hidden;word-break:normal;border-top-width:1px;border-bottom-width:1px;border-color:inherit;color:#333;background-color:#f9f9f9;text-align:left;vertical-align:top">
p1
</td>
<td style="font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;padding:10px 5px;border-style:solid;border-width:0px;overflow:hidden;word-break:normal;border-top-width:1px;border-bottom-width:1px;border-color:inherit;color:#333;background-color:#f9f9f9;text-align:left;vertical-align:top">
p2
</td>
<td style="font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;padding:10px 5px;border-style:solid;border-width:0px;overflow:hidden;word-break:normal;border-top-width:1px;border-bottom-width:1px;border-color:inherit;color:#333;background-color:#f9f9f9;text-align:left;vertical-align:top">
p3
</td>
<td style="font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;padding:10px 5px;border-style:solid;border-width:0px;overflow:hidden;word-break:normal;border-top-width:1px;border-bottom-width:1px;border-color:inherit;color:#333;background-color:#f9f9f9;text-align:left;vertical-align:top">
…
</td>
</tr>
</table></li>
</ul>
<p>As variáveis aleatórias são completamente caracterizadas pela sua função de probabilidade e é importante obter a função que melhor represente o comportamento da variável na população.</p>
<p>Considere o experimento de lançar uma moeda duas vezes consecutivas e observar obervar o resultado, temos interesse em verificar o número de caras, chamaremos de variável aleatória N. O espaço amostral é dado pelas combinações:</p>
<ul>
<li>se {cara;cara}, então 2 caras.</li>
<li>se {cara;coroa}, então 1 cara.</li>
<li>se {coroa;cara}, então 1 cara.</li>
<li>se {coroa;coroa}, então 0 cara.</li>
</ul>
<p>Logo, a função de probabilidade para a variável aleatória N (número de caras em 2 lançamentos) é dada por:</p>
<table style="border-collapse:collapse;border-spacing:0;border-color:#ccc;margin:0px auto" class="tg">
<tr>
<td style="font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;padding:10px 5px;border-style:solid;border-width:0px;overflow:hidden;word-break:normal;border-top-width:1px;border-bottom-width:1px;border-color:#ccc;color:#333;background-color:#fff;text-align:left;vertical-align:middle">
N
</td>
<td style="font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;padding:10px 5px;border-style:solid;border-width:0px;overflow:hidden;word-break:normal;border-top-width:1px;border-bottom-width:1px;border-color:#ccc;color:#333;background-color:#fff;text-align:left;vertical-align:middle">
P(N=n)
</td>
</tr>
<tr>
<td style="font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;padding:10px 5px;border-style:solid;border-width:0px;overflow:hidden;word-break:normal;border-top-width:1px;border-bottom-width:1px;border-color:#ccc;color:#333;background-color:#f9f9f9;text-align:left;vertical-align:middle">
0
</td>
<td style="font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;padding:10px 5px;border-style:solid;border-width:0px;overflow:hidden;word-break:normal;border-top-width:1px;border-bottom-width:1px;border-color:#ccc;color:#333;background-color:#f9f9f9;text-align:left;vertical-align:middle">
1/4
</td>
</tr>
<tr>
<td style="font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;padding:10px 5px;border-style:solid;border-width:0px;overflow:hidden;word-break:normal;border-top-width:1px;border-bottom-width:1px;border-color:#ccc;color:#333;background-color:#fff;text-align:left;vertical-align:top">
1
</td>
<td style="font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;padding:10px 5px;border-style:solid;border-width:0px;overflow:hidden;word-break:normal;border-top-width:1px;border-bottom-width:1px;border-color:#ccc;color:#333;background-color:#fff;text-align:left;vertical-align:top">
1/2
</td>
</tr>
<tr>
<td style="font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;padding:10px 5px;border-style:solid;border-width:0px;overflow:hidden;word-break:normal;border-top-width:1px;border-bottom-width:1px;border-color:#ccc;color:#333;background-color:#f9f9f9;text-align:left;vertical-align:top">
2
</td>
<td style="font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px;padding:10px 5px;border-style:solid;border-width:0px;overflow:hidden;word-break:normal;border-top-width:1px;border-bottom-width:1px;border-color:#ccc;color:#333;background-color:#f9f9f9;text-align:left;vertical-align:top">
1/4
</td>
</tr>
</table>
<hr />
</div>
<div id="funcao-de-distribuicao-acumulada-de-probabilidade" class="section level1">
<h1><span class="header-section-number">3</span> <strong>Função de distribuição acumulada de probabilidade </strong></h1>
<p>Em certas situações pode ser útil calcularmos a probabilidade acumulada até um certo valor. A função de distribuição ou função acumulada de probablidade de uma v.a <span class="math inline">\(X\)</span> é dada por:</p>
<p><span class="math display">\[F(x) = P(X \leq x)\]</span></p>
<p>Considerando o exemplo em que a variável aleatória n representa o número de caras observadas em 2 lançamentos, a função acumulada de probailidade fica dada por:</p>
<p><span class="math display">\[F=
\left\{\begin{matrix}
0 & se \ n<0\\
1/4 & se \ n=0\\
3/4 & se \ n=1\\
1 & se \ n \geq 2
\end{matrix}\right.\]</span></p>
<p>A função de distribuição acumulada também pode ser convenientemente representada através de um gráfico que tem forma de escada:</p>
<p><img src="npest4_files/figure-html/unnamed-chunk-1-1.png" width="480" style="display: block; margin: auto;" /></p>
<hr />
</div>
<div id="medidas-de-posicao-para-v.as-discretas" class="section level1 tabset tabset-fade">
<h1><span class="header-section-number">4</span> <strong>Medidas de posição para V.A’s discretas</strong></h1>
<p>Sabemos que a descrição completa do comportamento de uma variável aleatória discreta é feita através da sua função de probabilidade, desta forma presume-se que qualquer quantidade destinada a resumir os valores observados da variável devem envolver esta função.</p>
<p>Para definição das medidas de posição central para variáveis aleatórias discretas, suponha que os possíveis valores da variável aleatória sejam representados por <span class="math inline">\(x_1,x_2,...,x_k\)</span> com correspondentes probabilidades <span class="math inline">\(p_1,p_2,...,p_k\)</span>.</p>
<hr />
<div id="media" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">4.1</span> <strong>Média</strong></h2>
<p>Também chamada de valor esperado e esperança, representa o ponto de equilíbrio da distribuição dos valores da variável aelatória. A média para uma variável <span class="math inline">\(X\)</span> é dada por:</p>
<p><span class="math display">\[E(X)=\sum_{i=1}^{k}x_ip_i\]</span></p>
<p>Notações alternativas para <span class="math inline">\(E(X)\)</span> são: <span class="math inline">\(\mu_X\)</span> ou simplesmente <span class="math inline">\(\mu\)</span></p>
<hr />
</div>
<div id="mediana" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">4.2</span> <strong>Mediana</strong></h2>
<p>A mediana é o valor <span class="math inline">\(Md\)</span> que satisfaz às seguintes condições</p>
<p><span class="math display">\[P(X \geq Md) \geq 1/2 \ e \ P(X \leq Md) \leq 1/2\]</span></p>
<hr />
</div>
<div id="moda" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">4.3</span> <strong>Moda</strong></h2>
<p>A moda (<span class="math inline">\(Mo\)</span>) é o valor (ou valores) da variável com maior probabilidade de ocorrência</p>
<p><span class="math display">\[Mo = max(p_1,p_2,...,p_k)\]</span></p>
<hr />
</div>
</div>
<div id="medidas-de-dispersao-para-v.as" class="section level1">
<h1><span class="header-section-number">5</span> <strong>Medidas de dispersão para V.A’s</strong></h1>
<p>Para variáveis aleatórias, a medida de dispersão mais utilizada é a variância.</p>
<p>Seja <span class="math inline">\(X\)</span> uma variável aleatória com <span class="math inline">\(P(X_i=x_i)=p_i, \ i=1,2,...,k\)</span> e média <span class="math inline">\(\mu\)</span>. A variância de <span class="math inline">\(X\)</span> é a ponderação pelas respectivas probabilidades, dos desvios relativos à média, elevados ao quadrado, isto é</p>
<p><span class="math display">\[Var(X)=\sum_{i=1}^{k} (x_i-\mu)^2p_i\]</span></p>
<p>Notações alternativas para <span class="math inline">\(Var(X)\)</span> são <span class="math inline">\(\sigma^2\)</span>, ou ainda <span class="math inline">\(\sigma_X^2\)</span>. Extraindo a raiz quadrada desta quantidade, obtém-se o desvio padrão (<span class="math inline">\(Dp(X)\)</span>, <span class="math inline">\(\sigma\)</span> ou <span class="math inline">\(\sigma_X\)</span>).</p>
<p>A variância definida anteriormente pode ainda ser considerada como valor esperadode uma nova variável aleatória, o desvio ao quadrado. Isto é:</p>
<p><span class="math display">\[Var(X)= E[(X-\mu)^2]\]</span></p>
<p>ou ainda</p>
<p><span class="math display">\[Var(X)= E(X^2)-\mu^2= \sum_{i=1}^{k} p_i x_i^2-\mu^2.\]</span></p>
<hr />
</div>
<div id="principais-modelos-discretos" class="section level1 tabset tabset-fade">
<h1><span class="header-section-number">6</span> <strong>Principais modelos discretos</strong></h1>
<p>Algumas variáveis aleatórias aparecem com bastante frequência em situações práticas. Nesses casos, a função de probabilidade pode ser escrita de maneira mais compacta, isto é, existe uma lei para atribuir as probabilidades.</p>
<p>As mais famosas e conhecidas funções discretas de probabilidade são:</p>
<ul>
<li><strong>Uniforme</strong></li>
<li><strong>Bernoulli</strong></li>
<li><strong>Binomial</strong></li>
<li><strong>Geométrico</strong></li>
<li><strong>Poisson</strong></li>
<li><strong>Hipergeométrico</strong></li>
</ul>
<hr />
<div id="uniforme" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">6.1</span> <strong>Uniforme</strong></h2>
<p>Seja <span class="math inline">\(X\)</span> uma variável aleatória que assume os valores <span class="math inline">\(1,2,...,k\)</span>. Dizemos que <span class="math inline">\(X\)</span> segue o modelo Uniforme Discreto se atribui a mesma probabilidade (<span class="math inline">\(1/k\)</span>) a cada um dessses <span class="math inline">\(k\)</span> valores. A função de probabilidade é dada por:</p>
<p><span class="math display">\[P(X=j) = \frac{1}{k}, \ j=1,2,...,k.\]</span></p>
<p>Para indicar que a variável aleatória X segue o modelo Uniforme Discreto usa-se a notação <span class="math inline">\(X \sim U_D[1,k]\)</span>. Além disso, <span class="math inline">\(E(X) = \frac{1+k}{2}\)</span> e <span class="math inline">\(Var(X) = \frac{k^2 - 1}{12}\)</span>.</p>
<hr />
<p><img src="npest4_files/figure-html/unnamed-chunk-2-1.png" width="672" style="display: block; margin: auto;" /></p>
<hr />
</div>
<div id="bernoulli" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">6.2</span> <strong>Bernoulli</strong></h2>
<p>Dizemos que a variável <span class="math inline">\(X\)</span> segue o modelo de Bernoulli se atribui 0 ou 1 à ocorrência de fracasso ou sucesso. Seja <span class="math inline">\(p\)</span> a probabilidade de sucesso, <span class="math inline">\(0 \leq p \leq 1\)</span>, a função de probabilidade é dada por:</p>
<p><span class="math display">\[P(X=x) = p^x(1-p)^{1-x}, \ x=0,1.\]</span></p>
<p>Para indicar que a variável aleatória X segue o modelo Bernoulli usa-se a notação <span class="math inline">\(X \sim b(p)\)</span>. Além disso, <span class="math inline">\(E(X) = p\)</span> e <span class="math inline">\(Var(X) = p(1-p)\)</span>.</p>
<hr />
<p><img src="npest4_files/figure-html/unnamed-chunk-3-1.png" width="672" style="display: block; margin: auto;" /></p>
<hr />
</div>
<div id="binomial" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">6.3</span> <strong>Binomial</strong></h2>
<p>A repetição de ensaios de Bernoulli independentes dá origem à um importante modelo discreto: o modelo Binomial. Sendo assim cosidere a repetição de <span class="math inline">\(n\)</span> ensaios de Bernoulli independentes e todos com a mesma probabilidade de sucesso <span class="math inline">\(p\)</span>. A variável que conta o número de sucessos é denominada Binomial com parâmetros <span class="math inline">\(n\)</span> e <span class="math inline">\(p\)</span> e sua função de probabilidade é dada por:</p>
<p><span class="math display">\[P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \ k=0,1,2,...,n.\]</span></p>
<p>Além disso, <span class="math inline">\(E(X) = np\)</span> e <span class="math inline">\(Var(X) = np(1-p)\)</span>.</p>
<hr />
<p><img src="npest4_files/figure-html/unnamed-chunk-4-1.png" width="672" style="display: block; margin: auto;" /></p>
<hr />
</div>
<div id="geometrico" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">6.4</span> <strong>Geométrico</strong></h2>
<p>Dizemos que uma variável aleatória <span class="math inline">\(X\)</span> tem distribuição Geométrica de parâmetro <span class="math inline">\(p\)</span>, se sua função de probabilidade tem a forma:</p>
<p><span class="math display">\[P(X=k) = p(1-p)^k, \ 0 \leq p \leq 1 \ e \ k=0,1,2,... \]</span></p>
<p>Usa-se a notação <span class="math inline">\(X \sim G(p)\)</span>. Interpretando <span class="math inline">\(p\)</span> como a probabilidade de sucesso, a distribuição Geométrica pode ser pensada como o número de ensaios de Bernoulli que precedem o primeiro sucesso. Além disso, <span class="math inline">\(E(X) = \frac{1-p}{p}\)</span> e <span class="math inline">\(Var(X) = \frac{1-p}{p^2}\)</span>.</p>
<hr />
<p><img src="npest4_files/figure-html/unnamed-chunk-5-1.png" width="672" style="display: block; margin: auto;" /></p>
<hr />
</div>
<div id="poisson" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">6.5</span> <strong>Poisson</strong></h2>
<p>Uma variável aleatória <span class="math inline">\(X\)</span> tem distribuição de Poisson com parâmetro <span class="math inline">\(\lambda>0\)</span>, se sua função de probabilidade é dada por:</p>
<p><span class="math display">\[P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \ k = 0,1,2,...\]</span></p>
<p>O parâmetro <span class="math inline">\(\lambda\)</span> usualmente refere-se à taxa de ocorrência, isto é, a frequência média ou esperada num determinado intervalo. Usa-se a notação <span class="math inline">\(X \sim Po(\lambda)\)</span>. Além disso, <span class="math inline">\(E(X) = Var(X) = \lambda\)</span>.</p>
<hr />
<p><img src="npest4_files/figure-html/unnamed-chunk-6-1.png" width="672" style="display: block; margin: auto;" /></p>
<hr />
</div>
<div id="hipergeometrico" class="section level2">
<h2><span class="header-section-number">6.6</span> <strong>Hipergeométrico</strong></h2>
<p>Considere um conjunto de <span class="math inline">\(n\)</span> objetos dos quais <span class="math inline">\(m\)</span> são do tipo I e <span class="math inline">\(n-m\)</span> são do tipo II. Para um sorteio de <span class="math inline">\(r\)</span> objetos <span class="math inline">\((r<n)\)</span>, feito ao acaso e sem reposição. Defina <span class="math inline">\(X\)</span> como o número de objetos do tipo I selecionados. Diremos que a variável aleatória X segue o modelo Hipergeométrico e sua função de probabilidade é dada pela expressão:</p>
<p><span class="math display">\[P(X=k) = \frac{\binom{m}{k} \binom{n-m}{r-k}}{\binom{n}{r}}, k=max(0,r-(n-m)),...,min(r,m)\]</span></p>
<p>Além disso, <span class="math inline">\(E(X) = \frac{rm}{n}\)</span> e <span class="math inline">\(Var(X) = \frac{rm(n-m)(n-r)}{n^2(n-1)}\)</span>.</p>
<hr />
<p><img src="npest4_files/figure-html/unnamed-chunk-7-1.png" width="672" style="display: block; margin: auto;" /></p>
<hr />
<p>Críticas e sugestões a este material sempre serão bem vindas.</p>
<p>Para entrar em contato comigo, envie uma mensagem para <a href="mailto:[email protected]" class="email">[email protected]</a>.</p>
<hr />
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