08-inferencia.Rmd

# Inferência estatística

```{r external-code-cap8, cache=FALSE, include=FALSE}
#knitr::read_chunk("scripts/probabilidade-exercicios.R")
```

## Introdução ao pensamento estatístico

No contexto de análise e modelagem estatística o analista assume que todos os fenômenos aleatórios podem ser representados por distribuições de probabilidades, ou seja, um modelo estatístico. Tais distribuições são representações de como a variável aleatória deve se comportar na população. Em cursos de inferência estatística é usual a frase ''seja X uma variável aleatória de uma população normal com média $\mu$ e variância $\sigma^2$''.
Essa frase exemplifica a forma como o estatístico supõe que um certo fenômeno aleatório se comporta na população. 

Considere o caso de uma pesquisa eleitoral onde potenciais eleitores são entrevistados sobre a sua intenção em votar (SUCESSO) ou não votar (FRACASSO) em um determinado candidato X. Note que pela estrutura do fenômeno aleatório o modelo Bernoulli é um candidato natural para modelar o comportamento da variável aleatória ''intenção de voto''. 
Suponha ainda que um conjunto de $n$ eleitores vão ser entrevistados e que a probabilidade de sucesso, ou seja, votar no candidato X seja constante para todos os entrevistados e denotada por $p.$ Nestas condições podemos estar interessados na variável aleatória Y que conta o número de sucessos (eleitores que vão votar em X) entre $n$ eleitores. Sendo assim, a distribuição de probabilidade de $Y$ é binomial com parâmetros $n$ e $p$ e sua função de probabilidade é dada por

$$
P(Y = y) = P(Y = y) = \binom{n}{y} p^y (1-p)^{n-y}.
$$
Note que esta distribuição é completamente governada pelos valores de seus parâmetros, ou seja, $n$ e $p$. Em geral $n$ é fixado e conhecido, por outro lado $p$ é desconhecido. Em termos práticos, o valor de $p$ é o que estamos interessados, uma vez que ele representa a proporção populacional de eleitores do candidato $X$.

Se fossemos capazes de entrevistar todos os elementos da população de interesse, poderíamos facilmente calcular a proporção de eleitores de $X$ e plugar no modelo para calcular quaisquer tipos de probabilidades de interesse. No entanto na prática, muitas vezes entrevistar todos os elementos da população de interesse é impossível ou extremamente custoso. Nestas situações o problema que surge é como que baseado apenas em uma amostra da população de interesse podemos falar algo sobre toda a população. Este é o problema de uma das áreas da estatística chamada de inferência estatística.

O objetivo deste texto não é discutir inferência estatística em detalhes, mas apenas apresentar as principais ideias e ilustrar a sua implementação computacional utilizando o software R. Além disso, uma série de procedimentos pré-prontos estão disponíveis em R e devem ser apresentados de forma breve, uma vez que as ideias são similares apenas adaptadas à situações específicas.

O processo de inferência estatística começa com a especificação de uma distribuição de probabilidade para a variável aleatória de interesse. Neste caso, vamos definir a variável de interesse como sendo $Y$ - votar no candidato X. Note que esta é uma v.a binária, ou seja, apresenta apenas os valores $0$-não vai votar no candidato X ou $1$ vai votar no candidato X. Neste caso, podemos especificar que $Y \sim B(p)$, ou seja, $Y$ segue o modelo de Bernoulli com parâmetro $p$. Importante lembrar que o espaço paramétrico de $p$ neste caso é o intervalo unitário, ou seja, $p \in (0,1)$. 

Uma vez com o modelo especificado precisamos de informações sobre o parâmetro populacional de interesse, neste caso $p$ que representa a proporção de eleitores do candidato X. Para obter informações sobre $p$ vamos coletar uma amostra da população de interesse e medir a variável de interesse. Neste caso, isso significa simplesmente perguntar se o eleitor vai ou não votar no candidato X. Em R podemos facilmente simular esta situação prática usando a função $rbinom()$, conforme ilustra o código abaixo

```{r}
set.seed(123)
y <- rbinom(n = 10, size = 1, prob = 0.5)
y
```

Note que para simular uma amostra nós precisamos especificar o tamanho da amostra, neste caso $n=10$ o número de ensaios Bernoulli neste caso apenas $1$ e a probabilidade de sucesso (proporção populacional). É claro que na prática a proporção populacional é desconhecida, mas neste caso fixamos um valor para simular observações e o objetivo é apenas baseado nas realizações da variável aleatória **descobrir** ou **inferir** qual é o verdadeiro valor de $p$. De forma mais geral os objetivos da inferência estatística são:

* Estimar $p$ baseado apenas na amostra (valor pontual)! Pense que deseja-se responder a pergunta: Quanto você acha que é a proporção de eleitores do candidato X na população?
* Informar o quanto você acredita no valor estimado (intervalo de confiança).
* Decidir sobre possíveis valores de p baseado apenas na amostra. Por exemplo, O candidato X vai ganhar (p > 0,50)?

Interessante notar que até este momento não fizemos nenhuma suposição em como as observações foram obtidas. No entanto, se supomos que as observações são independentes podemos facilmente obter a distribuição conjunta de todas as variáveis aleatórias envolvidas no modelo como o produto da distribuição de cada uma. Neste caso, todas as observações vêm de uma população Bernoulli com parâmetro $p$. Assim, a distribuição conjunta é dada pelo seguinte produtório

$$
P(Y = y) = \prod_{i=1}^{n} p^{y_i} (1-p)^{1-y_i} = p^{\sum_{i=1}^n y_i} (1-p)^{n - \sum_{i=1}^n y_i}.
$$
Uma forma alternativa é escrever a distribuição do número de sucessos em $n$ ensaios Bernoulli que é simplesmente uma distribuição binomial com parâmetros $n$ e $p$, ou seja,

$$
P(Y = y) = P(Y = y) = \binom{n}{y} p^y (1-p)^{n-y}.
$$
É importante enfatizar que após a amostra ser coletada o número $y$ de sucesso é fixo. Para a nossa amostra, temos $y = 6$. Lembre-se que o $n$ foi fixado, assim para avaliar a equação acima em algum ponto, só precisamos fixar o valor de $p$. 

Agora vamos refletir sobre o que a equação acima está nos fornecendo. Suponha que em um primeiro momento você apenas precise decidir se $p = 0.5$ ou $p = 0.8$. Como poderíamos usar o nosso modelo para tomar esta decisão?

Note que podemos calcular qual é a probabilidade de obter $6$ sucessos em $n$ ensaios supondo que $p = 0.5$ e também supondo que $p = 0.8$. Vamos fazer estas contas

$$
P(Y = 6 | p = 0.5) = \binom{10}{6} 0.5^6 (1-0.5)^{10-6} = 0.205.
$$
$$
P(Y = 6 | p = 0.8) = \binom{10}{6} 0.8^6 (1-0.8)^{10-6} = 0.088.
$$
Em R temos,

```{r}
dbinom(6, size = 10, prob = 0.5)
dbinom(6, size = 10, prob = 0.8)
```

Baseado apenas nestas probabilidades, é possível observar que a probabilidade de observarmos $6$ sucessos em $10$ ensaios é mais provável quando $p = 0.5$ do que quando $p = 0.8$. Neste caso podemos concluir que existe mais evidências em favor de $p=0.5$ do que em favor de $p = 0.8$. Veja que fizemos uma espécie de pensamento inverso, observamos $6$ sucessos e agora estamos pensando, qual é o valor de $p$ mais compatível com esse valor. Além disso, a função de probabilidade conjunta vista como uma função do parâmetro ao invés da variável aleatória nos fornece exatamente essa noção de compatibilidade, ou seja, qual é o valor de $p$ mais compatível com as minhas observações.

Para enfatizar esta idéia vamos rescrever a função acima para enfatizar que a quantidade desconhecida agora é $p$ e não mais $y$.

$$
L(p|y) = \binom{n}{y} p^y (1-p)^{n-y}.
$$
A função acima é chamada de **verossimilhança** e é fundamental em todo o processo de inferência estatística. No caso de variáveis aleatórias discretas ela nos fornece a probabilidade de observar o que realmente foi observado dado um particular valor para o parâmetro de interesse. Particularizando para o nosso exemplo temos

$$
L(p|y) = \binom{10}{6} p^6 (1-p)^{10-6}.
$$
Como dito a função de verossimilhança nos fornece uma medida de compatibilidade de um particular valor de $p$ com a amostra observada. Assim, é natural tomarmos como o nosso melhor ''chute'' o valor mais compatível com a amostra observada, ou seja, o ponto de máximo da função de verossimilhança. Vamos fazer um gráfico para ilustrar esta ideia.

```{r}
L <- function(p, n, y) {
  out <- dbinom(y, size = n, prob = p)
  return(out)
}
curve(L(x, n = 10, y = 6), 0, 1)
```
Na prática é mais comum trabalhar com o log da verossimilhança por conveniência computacional. Isso leva a chamada função de log-verossimilhança, cujo gráfico é apresentado abaixo para o nosso exemplo

```{r}
ll <- function(p, n, y) {
  out <- dbinom(y, size = n, prob = p, log = TRUE)
  return(out)
}
curve(ll(x, n = 10, y = 6), 0.4, 0.8)
abline(v = mean(y))
```
Não é dificil mostrar usando ferramentas padrões de cálculo diferencial que o ponto de máximo ocorre em $\hat{p} = y/n$, ou seja, na proporção amostral de eleitores do candidato X. 

Com essa ideia simples resolvemos o primeiro objetivo da inferência estatística que consiste em dizer qual valor achamos razoável para $p$ dado a amostra que coletamos.
O próximo objetivo é dizer o quanto acreditamos neste valor. Note que uma vez que temos a função de verossimilhança ou log-verossmilhança basta olhar para a função para responder a tal pergunta. O ponto de máximo é o mais compatível, porém valores ao redor do máximo também apresentam uma boa compatibilidade com a amostra e portanto são bons candidatos a valor de $p$. Essa ideia pode ser resumida por fazer um corte horizontal na função de log-verossimilhança. Assim, todos os pontos acima do corte são bons candidatos a verdadeiro valor de $p$.

```{r}
curve(ll(x, n = 10, y = 6), 0.4, 0.8)
abline(h = -2)
```
Entretanto, onde fazer tal corte não é uma tarefa simples e explicar como e por que fazer isso em detalhes está fora do escopo deste material. Esta é a ideia por traz da definição do que se chama popularmente de intervalo de confiança. 
Uma forma alternativa é fazer um gráfico da função de verossimilhança relativa, definida como a verossimilhança divida pela verossimilhança no ponto de máximo,
$$
LR(p) = L(p)/L(\hat{p}).
$$

Neste caso um intervalo pode ser obtido por definir algum valor entre $0$ e $1$ para obter intervalos não vazios. Por exemplo, podemos definir que uma compatibilidade de pelo menos 0.4 com a amostra é necessário para que um valor seja parte do intervalo. Ilustrando graficamente temos,

```{r}
LR <- function(p, p_hat, n, y) {
  out <- L(p = p, n = n, y = y)/L(p = p_hat, n = n, y = y)
  return(out)
}
curve(LR(x, p_hat = 0.6, n = 10, y = 6), 0, 1)
abline(h = 0.4)
```


Por fim, o último objetivo da inferência consiste em decidir se um determinado valor hipotético para $p$ é ou não compatível com a amostra observada. Note que o valor mais compatível é o máximo da verossimilhança, assim para decidir se um valor é ou não compatível com a amostra, basta verificar se ele está perto ou longe do valor que tem maior compatibilidade. Esta ideia é o que esta por traz do que se chama de teste de hipóteses e é ilustrada abaixo.

```{r, echo=FALSE,fig.width=6,fig.height=4}
y = 6
n = 10
Mf <- Vectorize(function(theta, y, log=F) dbinom(y, prob=theta, size=n, log=log))
LMAX <- dbinom(y, size=n, prob=y/n)
LIM1 = 0.10; LIM2=0.97
th <- seq(LIM1, LIM2, l=201)
sXy <- drop(outer(th, y, Mf))
n=10; y=6; theta0 = 0.80
par(mar=c(3.5,3.5,0.2,0.2), mgp=c(2,1,0)) 
plot(th, sXy/LMAX, type="l", xlab=expression(p),
     ylab=substitute(paste("LR(", "p", "|y=",yy,")"), list(yy=y)), 
     xlim=c(LIM1, LIM2), ylim=c(-0.05, 1), lwd=2)
arrows(y/n, 1, y/n, 0, length=0.1, col=2)
LINT <- 0.40 #*dbinom(60, size=100, prob=0.6)/LMAX
abline(h=LINT, lty=5)
##
LL <- function(x){dbinom(y, size=n, prob=x)/LMAX - LINT}
int <- rootSolve:::uniroot.all(LL, c(0,1))
arrows(int, rep(LINT, 2), int, 0, length=0.1, lty=1, col=4)
##
LHIP <- dbinom(y, size=n, prob=theta0)/LMAX
segments(theta0, 0, theta0, LHIP, col=6) 
arrows(theta0, LHIP, LIM1, LHIP, length=0.1, col=6) 
#text(0.5, 0, "0,5", cex=0.7)
text(theta0, 0, expression(p[0]), cex=0.9, col=6, pos=1, offset=0.2)
text(y/n, 0, expression(hat(p)), pos=1, cex=0.9, offset=0.2, col=2)
text(int, 0, c(expression(hat(p)[I]),expression(hat(p)[S])),
             pos=1, cex=0.9, offset=0.2, col=4)
text(0.28, LHIP, 
     expression(L(p[0])/L(hat(p))), 
     pos=3, cex=0.9, col=6, offset=0.2)
```

## Estimação pontual e intervalos de confiança

O processo de estimação pontual consiste em encontrar um valor ao qual chamamos de estimativa do verdadeiro valor do parâmetro, em nosso exemplo o parâmetro $p$ da distribuição Bernoulli. Como discutido anteriormente a função de verossimilhança nos fornece uma forma intuitiva de obter tal valor que no caso da distribuição de Bernoulli é simplesmente a proporção amostral, $\hat{p} = y/n$. 

O próximo passo é encontrar um intervalo de confiança para o parâmetro $p$. Neste texto vamos enfatizar o pensamento frequentista de probabilidade para motivar a construção do intervalo de confiança. 

Importante salientar que $Y$ é uma variável aleatória cuja observações são denotadas por $y$. Nossa estimativa de $p$ é o valor $\hat{p} = y/n$ que é uma função dos valores observados. Agora suponha que o experimento seja refeito um número grande vezes. O que vai acontecer com $\hat{p}$? Vamos fazer um experimento computacional para ilustrar esta situação.

```{r, echo = TRUE}
set.seed(1234)
p.hat <- c()
for(i in 1:1000) {
  y <- rbinom(10, prob = 0.5, size = 1)
  p.hat[i] <- mean(y)
}
```

```{r, fig.width=6, fig.height=4}
par(mfrow = c(1,1), mar=c(2.6, 2.8, 1.2, 0.5), mgp = c(1.6, 0.6, 0))
plot(prop.table(table(p.hat)), main = "", 
     ylab = "Proporção observada",
     xlab = expression(hat(p)), xlim = c(0,1))
```

A Figura acima mostra que mesmo o verdadeiro valor de $p$ sendo 0.5 existe uma probabilidade razoável de observarmos $\hat{p} = 0.4$ e $\hat{p} = 0.6$ em uma amostra de tamanho 10. Porém, quando nos distanciamos de $0.5$ a probabilidade de observar $\hat{p}$ mais extremos como 0.1 ou 0.9 é pequena. No geral, a incerteza com relação ao valor de $p$ é grande. Para diminuir tal incerteza precisamos ganhar mais informações sobre o valor de $p$ e para isso precisamos de mais amostras.

Note que para cada possível amostra coletada o valor de $\hat{p}$ é alterado. Isso é decorrente de $\hat{p}$ ser também uma função da variável aleatória $Y$. Para enfatizar isso usamos a notação $\hat{p} = Y/n$ e neste caso chamamos $\hat{p}$ de estimador do valor de $p$. Pensando desta forma $\hat{p}$ é também uma variável aleatória e consequentemente ele deve ter uma distribuição de probabilidade que pode ser resumida, por exemplo, usando esperança e variância. 

A Figura abaixo mostra o efeito do tamanho da amostra sobre a distribuição amostral do estimador $\hat{p}$.

```{r, out.width='99%', fig.width=6,fig.height=3}
set.seed(1234)
p.hat.list <- list()
amostra <- c(10, 50, 100, 250,500, 1000)
par(mfrow = c(2,3), mar=c(2.6, 2.8, 1.2, 0.5), mgp = c(1.6, 0.6, 0))
for(j in 1:6) {
  p.hat.list[[j]] <- matrix(NA, ncol = 1, nrow = 1000)
  for(i in 1:1000) {
  y <- rbinom(amostra[j], prob = 0.5, size = 1)
  p.hat.list[[j]][i,] <- mean(y)
  }
hist(p.hat.list[[j]], prob = TRUE, main = paste("Amostra", amostra[j]), 
     ylab = "Proporção observada",
     xlab = expression(hat(p)), xlim = c(0,1))
}
```

Note que quanto maior a amostra a distribuição amostral fica mais concentrada ao redor do verdadeiro valor de $p$. Isso é decorrente da Lei dos grandes números. Além disso, note que a distribuição é muito parecida com a distribuição normal, um resultado conhecido como Teorema Central do Limite.

A idéia de intervalo de confiança é simplesmente olhar para a distribuição amostral e responder a pergunta: Qual o intervalo em que $\hat{p}$ tem uma probabilidade, digamos $(1-\alpha)$ de pertencer? 

O valor de $\alpha$ deve ser especificado e alguns valores populares são $0.05$ e $0.01$.
A Figura abaixo ilustra esta ideia.

```{r, out.width='99%', fig.width=6,fig.height=2}
set.seed(1234)
p.hat.list <- list()
amostra <- c(10, 50, 100)
par(mfrow = c(1,3), mar=c(2.6, 2.8, 1.2, 0.5), mgp = c(1.6, 0.6, 0))
for(j in 1:3) {
  p.hat.list[[j]] <- matrix(NA, ncol = 1, nrow = 1000)
  for(i in 1:1000) {
  y <- rbinom(amostra[j], prob = 0.5, size = 1)
  p.hat.list[[j]][i,] <- mean(y)
  }
hist(p.hat.list[[j]], prob = TRUE, main = paste("Amostra", amostra[j]), 
     ylab = "Densidade",
     xlab = expression(hat(p)), xlim = c(0,1))
abline(v= c(quantile(p.hat.list[[j]], probs = c(0.025, 0.975))), col = "red")
}
```

Temos um procedimento bastante simples para obter os limites do intervalo de confiança, porém tal procedimento depende de sermos capazes de realizar o experimento um número grande de vezes. Na prática só temos uma amostra coletada e baseado apenas nesta amostra precisamos inferir sobre $p$. É neste ponto que entra o fato de $\hat{p}$ ser uma variável aleatória. Este fato permite que exploremos sua distribuição mesmo sem realizar um grande número de experimentos. 

De forma geral obter a distribuição de probabilidade de um estimador não é uma tarefa trivial, porém o Teorema Central do Limite nos fornece uma boa aproximação, ao menos para grandes amostras. O Teorema Central do limite em sua versão mais simples é como segue:

- Teorema Lindeberg-Levy: Seja $Y_1, \ldots, Y_n$ uma amostra iid 
com $E(Y_i) = \mu$ e $V(Y_i) = \sigma^2 < \infty$. 
Então, 
$$ \sqrt{n}\left ( \frac{\bar{Y} - \mu}{\sigma} \right ) \overset{D}{\to} Z \sim N(0,1), \quad \text{para} \quad n \to \infty.$$
- Isso significa que, para todo $y \in \Re$,
$$ P(Y_n \leq y) \to \Phi (y) \quad \text{quando} \quad n \to \infty,$$ onde 
$$ \Phi(y) = \int_{-\infty}^y \phi(z) dz \quad \text{e} \quad 
  \phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left ( -\frac{1}{2} z^2 \right ).$$
- Forma alternativa: $\bar{Y} \sim N(\mu, \sigma^2/n).$

Particularizando para o nosso exemplo temos que:

- Estimador de máxima verossimilhança $\hat{p} = \frac{Y}{n}.$
- Usando as propriedades da distribuição binomial, temos
$$E(\hat{p}) = E(Y/n) = \frac{1}{n}E(Y) = \frac{np}{n} = p.$$
$$Var(\hat{p}) = Var(Y/n) = \frac{1}{n^2}Var(Y) = \frac{np(1-p)}{n^2} = \frac{p(1-p)}{n}.$$
- Usando o TLC, temos
$$\hat{p} \sim N(p, \frac{p(1-p)}{n}).$$

Vamos fazer uma ilustração computacional deste importante resultado.

```{r, out.width='99%', fig.width=6,fig.height=3}
set.seed(1234)
p.hat.list <- list()
amostra <- c(10, 50, 100, 250, 500, 1000)
par(mfrow = c(2,3), mar=c(2.6, 2.8, 1.2, 0.5), mgp = c(1.6, 0.6, 0))
for(j in 1:6) {
  p.hat.list[[j]] <- matrix(NA, ncol = 1, nrow = 1000)
  for(i in 1:1000) {
  y <- rbinom(amostra[j], prob = 0.5, size = 1)
  p.hat.list[[j]][i,] <- mean(y)
  }
  hist(p.hat.list[[j]], prob = TRUE, main = paste("Amostra", amostra[j]), 
       ylab = "Densidade", xlab = expression(hat(p)), xlim = c(0,1))
  curve(dnorm(x, mean = 0.5, sd = sqrt(0.5*(1-0.5)/amostra[j])), 0.1, 0.9, add = TRUE)
}
```

Agora usando resultados convencionais da distribuição normal podemos encontrar os limites do intervalo de confiança. Para o caso binomial o intervalo é dado por
$$\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},$$
onde $Z_{\alpha/2}$ é o quantil da distribuição normal padrão com $\alpha/2$ probabilidade.

Cálculos similares mostram que para os casos da média de uma distribuição normal e Poisson os intervalos ficam dados por:

- Intervalo de confiança: Caso Normal
$$\hat{\mu} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{\sigma}^2}{n}},$$
onde $\hat{\sigma}^2 = \sum_{i=1}^n \frac{(y_i - \hat{\mu})^2}{n-1}$.

- Intervalo de confiança: Caso Poisson
$$\hat{\lambda} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{\lambda}}{n}},$$
onde $\hat{\lambda} = \sum_{i=1}^n \frac{y_i}{n}.$

O intervalo de confiança deve ser interpretado sempre com muito cuidado. A interpretação frequentista é a seguinte: Se o experimento for repetido um número $n$ de vezes e para  cada realização obtermos o intervalo de confiança, esperamos que $(1-\alpha)\%$ dos intervalos contenham o verdadeiro valor do parâmetro. Note que a variável aleatória é o próprio intervalo de confiança.

O código abaixo ilustra computacionalmente tal interpretação.

```{r, fig.width=6,fig.height=5}
set.seed(12)
results_wald <- matrix(NA, ncol = 2, nrow = 100)
for(i in 1:100) {
  y <- rbinom(100, size = 1, prob = 0.5)
  p_hat <- mean(y)
  v_hat <- (p_hat*(1-p_hat))/100
  temp_wald <- c(p_hat -  qnorm(0.975)*sqrt(v_hat), p_hat + qnorm(0.975)*sqrt(v_hat))
  results_wald[i,] <- temp_wald
}

## Intervalo Wald
plot(c(0.30,0.72) ~ c(1,100), type = "n", ylab = expression(p), xlab = "Ensaio")
abline(h=0.50)
for(i in 1:100) {
  arrows(c(i),results_wald[i,1],c(i),results_wald[i,2],code=3,angle=90,length=0.03,
         col=ifelse(results_wald[i,1] > 0.5 | results_wald[i,2] < 0.5, "darkred","lightgray"))
}
```

**Exemplo 1** No caso do candidato X suponha que é de interesse apresentar uma estimativa intervalar para a proporção de eleitores de X na população. Assumindo que a estimativa amostral foi de $0,60$ (seis sucessos em dez ensaios) o intervalo com $95\%$ de confiança é dado por
$$
\hat{p}_I = 0,6 - 1.96\sqrt{0,6(1-0,6)/10} = 0.296 \quad \text{e} \quad \hat{p}_S = 0,6 - 1.96\sqrt{0,6(1-0,6)/10} = 0.904.
$$

**Exemplo 2** Num grupo de pacientes, o nível de colesterol é uma variável aleatória com distribuição Normal, de média desconhecida e variância $64 (mg/ml)^2$. 
- Para uma amostra de 46 indivíduos que forneceu nível médio de colesterol de 120 $mg/ml$, construa o intervalo de confiança de $88\%$.

```{r}
media <- 120
sd <- sqrt(64)
n <- 46
alpha = 0.12
mu_I <- media - qnorm((1 - alpha/2))*sd/sqrt(46)
mu_S <- media + qnorm((1 - alpha/2))*sd/sqrt(46)
c(mu_I, mu_S)
```

## Exercícios {-}

1. Por analogia a produtos similares, o tempo de reação de um novo medicamento pode ser considerado como tendo distribuição Normal com desvio padrão igual a 2 minutos (a média desconhecida). Vinte pacientes foram sorteados, receberam o medicamento e tiveram seu tempo de reação anotado. Os dados foram os seguintes (em minutos): $2,9; 3,4; 3,5; 4,1; 4,6; 4,7; 4,5; 3,8; 5,3; 4,9; 4,8; 5,7; 5,8; 5,0; 3,4; 5,9; 6,3; 4,6; 5,5$ e $6,2$. Obtenha um intervalo de confiança para o tempo médio de reação. Use $96\%$ de confiança.

2. Uma amostra de 25 observações de uma Normal $(\mu, 16)$ foi coletada e forneceu uma média  amostral de 8. Construa intervalos de confiança com $80\%$, $85\%$, $90\%$ e $95\%$ de confiança. Comente as diferenças encontradas.

3. Numa pesquisa com 50 eleitores, o candidato José João obteve $0,34$ da preferência dos eleitores. Construa, para a confiança de $94\%$ o intervalo de confiança para a proporção de votos a serem recebidos pelo candidato mencionado.

4. Considere a seguinte amostra da distribuição de Poisson de parâmetro $\lambda$. Proponha um estimador pontual e intervalar para $\lambda$ usando o método de máxima verossimilhança. Implemente seu método em R. Faça um estudo de simulação para ilustrar a distribuição aproximada deste estimador.

5. O número de atendimentos em um pronto-socorro pode ser modelado por uma distribuição de Poisson de parâmetro $\lambda$. Suponha que o interesse seja modelar o número de atendimentos por hora e que para um conjunto de $30$ horas o número de atendimentos por hora foi contado e as observações são mostradas abaixo.

```{r, echo=FALSE}
set.seed(123)
y <- rpois(30, lambda = 8)
dplyr::tibble(matrix(y, 3, 10))
```
O seu interesse é dimensionar o número de médicos para este pronto socorro.
Suponha que um médico consegue atender até quatro pessoas em um período de uma hora. A politica do hospital especifica que se deve manter um contigente de médicos necessários para atender a demanda em $95\%$ dos dias. Especifique quantos médicos devem estar de plantão para que a politica do hospital seja respeitada.

## Teste de hipótese

O último objetivo da inferência estatística é a construção de testes de hipóteses.
Uma hipótese é qualquer afirmativa sobre uma propriedade da população.
Um teste de hipótese é um procedimento para avaliar uma afirmativa sobre uma propriedade da população. Em termos estatísticos uma hipótese estatística é qualquer afirmativa sobre um parâmetro da distribuição de probabilidade.

Voltando ao nosso exemplo do candidato X, podemos estar interessados por exemplo em saber se a proporção de votos no candidato X é maior que 0.5, o que implicaria que ele ganharia a eleição. Em termos de distribuição de probabilidade essa é uma afirmativa acerca do valor do parâmetro $p$. Sendo assim, enunciamos as hipóteses da seguinte forma:

$$H_0: p = \frac{1}{2} \quad vs \quad H_1: p \neq \frac{1}{2}.$$
Nesta notação $H_0$ é chamada de hipótese nula. Por outro lado, $H_1$ é chamada de hipótese alternativa. 

Para construir um teste de hipótese usamos novamente o pensamento frequentista de probabilidade, ou seja, considere que é possível realizar o experimento um número indefinido de vezes. Para cada uma destas realizações obtemos uma estimativa para o valor de $p$ digamos $\hat{p}$. Verique quais valores realizados de $\hat{p}$ são **razoáveis** de ocorrer sob a hipótese nula. No caso da hipótese nula ser verdadeira podemos facilmente gerar dados do fenômeno de interesse. Neste caso, vamos realizar o experimento $1000$ vezes e ver como se comporta nosso estimador.

```{r, fig.width=6, fig.height=4}
set.seed(1234)
p.hat <- c()
for(i in 1:1000) {
  y <- rbinom(10, prob = 0.5, size = 1)
  p.hat[i] <- mean(y)
}
par(mfrow = c(1,1), mar=c(2.6, 2.8, 1.2, 0.5), mgp = c(1.6, 0.6, 0))
plot(prop.table(table(p.hat)), main = "", 
     ylab = "Proporção observada",
     xlab = expression(hat(p)), xlim = c(0,1))
```

Veja que mesmo a hipótese nula sendo verdadeira existe uma probabilidade
não desprezível de observarmos $8$ eleitores de X em $10$ eleitores.
A incerteza associada a decisão no caso de apenas $10$ observações é
grande. Para diminuir a incerteza precisamos de mais informação o que conseguimos aumentanto a amostra. A Figura abaixo ilustra esta situação

```{r, out.width='99%', fig.width=10,fig.height=2}
set.seed(1234)
p.hat.list <- list()
amostra <- c(10, 50, 100, 250,500)
par(mfrow = c(1,5), mar=c(2.6, 2.8, 1.2, 0.5), mgp = c(1.6, 0.6, 0))
for(j in 1:5) {
  p.hat.list[[j]] <- matrix(NA, ncol = 1, nrow = 1000)
  for(i in 1:1000) {
  y <- rbinom(amostra[j], prob = 0.5, size = 1)
  p.hat.list[[j]][i,] <- mean(y)
  }
hist(p.hat.list[[j]], prob = TRUE, main = paste("Amostra", amostra[j]), 
     ylab = "Proporção observada",
     xlab = expression(hat(p)), xlim = c(0,1))
}
```

O procedimento é bastante intuivo e parecido com a construção de intervalos de confiança. No entanto, no caso de teste de hipóteses precisamos tomar uma decisão. Sendo assim, a ideia é construir uma região de valores para os quais você aceitará (ou não rejeitará) a hipótese nula esta região é chamada de região de aceitação ou não rejeição de $H_0$.
A Figura abaixo ilustra a construção da região de rejeição

```{r, out.width='99%', fig.width=10,fig.height=2}
set.seed(1234)
p.hat.list <- list()
amostra <- c(10, 50, 100, 250,500)
par(mfrow = c(1,5), mar=c(2.6, 2.8, 1.2, 0.5), mgp = c(1.6, 0.6, 0))
for(j in 1:5) {
  p.hat.list[[j]] <- matrix(NA, ncol = 1, nrow = 1000)
  for(i in 1:1000) {
  y <- rbinom(amostra[j], prob = 0.5, size = 1)
  p.hat.list[[j]][i,] <- mean(y)
  }
hist(p.hat.list[[j]], prob = TRUE, main = paste("Amostra", amostra[j]), 
     ylab = "Proporção observada",
     xlab = expression(hat(p)), xlim = c(0,1))
abline(v= c(quantile(p.hat.list[[j]], probs = c(0.025, 0.975))), col = "red")
}
```

Novamente em termos práticos não temos como repetir o experimento um número grande vezes. Assim, recorremos novamente ao Teorema Central do Limite e estabelecemos a região critica de forma aproximada usando a aproximação Gaussiana. No caso Bernoulli, este procedimento resulta na seguinte estatística de teste

- Estatística do teste caso Bernoulli

$$
Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} \sim N(0,1).
$$

O procedimento aqui descrito em linhas gerais é bastante genérico e perfaz toda a estatística. No entanto está fora do escopo deste material discutir tais procedimentos em detalhes. Na sequência apresentamos o resumo de alguns casos notáveis de testes de hipóteses que aparecem com frequência em cursos de estatística básica.

**Exemplo 1** Considere que seja de interesse verificar se existe evidências que o candidato $X$ vai ganhar as eleições. Em termos estatístico isso significa que

- $H_0: p = 0.5$ contra $H_1:p > 0.5.$

Suponha que adotamos $5\%$ de significância. 
Neste caso a região crítica é unilateral, e tem a seguinte forma
$$p_c = 0.5 + 1.64\sqrt{0.25/10} = 0.76.$$
Vamos fazer um gráfico da região de aceitação e rejeição e verificar onde a proporção amostral está localizada para concluir o teste.

```{r}
curve(dnorm(x, mean = 0.5, sd = sqrt(0.25/10)), 0.1, 0.9, 
      ylab = "Densidade", xlab = expression(hat(p)))
abline(v = 0.5+qnorm(0.95)*sqrt(0.25/10))
abline(v = 6/10, col = "red", lty = 2, lwd = 2)
```

Lembre-se que a proporção amostral foi de $0.6$ em $10$ entrevistas.
Assim, vemos claramente que não temos evidências para rejeitar $H_0$.
Neste caso não temos evidências para dizer que o candidato X irá ganhar a eleição.

- Estatística do teste caso Normal

No caso de população Normal, a estatística de teste para testar $H_0:\mu = \mu_0$ contra $H_1: \mu \neq \mu_0$ com variância conhecida $\sigma^2$ é dada por

$$
\frac{\hat{y} -  \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)
$$
onde $\mu_0$ é o valor especificado sob a hipótese nula. Neste caso a região crítica para testes bilaterais toma a seguinte forma:

$$
y_I = \mu_0 - Z_{\alpha/2} \sqrt{\sigma^2 / n}\quad \text{e} \quad y_S = \mu_0 + Z_{\alpha/2} \sqrt{\sigma^2 / n}.
$$

**Exemplo 2** (Magalhães e Lima, pg. 252). Um pesquisador deseja estudar o efeito de certa substância no tempo de reação de seres vivos a um certo tipo de estímulo. Um experimento é desenvolvido com cobaias que são inoculadas com a substância e submetidas a um estimulo elétrico, com seus tempos de reação (em segundos) anotados. Os seguintes valores foram obtidos: $9,1;\quad 9,3;\quad 7,2;\quad 7,5;\quad 13,3;\quad 10,9;\quad 7,2;\quad 9,9;\quad 8,0;\quad 8,6$. Admite-se que o tempo de reação segue, em geral o modelo Normal com média 8 e desvio padrão $\sigma = 2$ segundos. O pesquisador desconfia, entretanto, que o tempo médio sofre alteração por influência da substância. Neste caso as hipóteses de interesse são:

- $H_0:$ as cobais apresentam tempo de reação padrão;
- $H_1:$ as cobais tem o tempo de reação alterado.

Em termos de modelo estatístico, tais hipóteses são traduzidas para afirmações acerca do parâmetro $\mu$.

- $H_0: \mu = 8$ contra $H_1: \mu \neq 8$.

Neste caso a região crítica para $\alpha = 0,05$ fica dada por
$$y_I = 8 - 1,96\sqrt{4/10} = 6,76 \quad \text{e} \quad y_S = 8 + 1,96 \sqrt{4/10} = 9,24.$$
Vamos agora obter a média amostral e concluir o teste.

```{r}
x <- c(9.1,9.3,7.2,7.5,13.3,10.9,7.2,9.9,8.0,8.6)
mean(x)
```

Ilustrando a região crítica

```{r}
curve(dnorm(x, mean = 8, sd = sqrt(4/10)), 6, 10, 
      ylab = "Densidade", xlab = expression(hat(y)))
abline(v = c(8-qnorm(0.975)*sqrt(4/10), 8+qnorm(0.975)*sqrt(4/10) ))
abline(v = mean(x), col = "red", lwd = 2, lty = 2)
```

Como o valor observado da média amostral pertence a região de aceitação de $H_0$, aceitamos a hipóteses $H_0$ ao nível de significância de $5\%$. Em outras palavras, concluímos que o tempo de reação das cobais submetidas à substância não é alterado.

### Teste t (one sample t-test)

- Teste t (one sample t-test)
    - Hipóteses: $H_0: \mu = \mu_0 \quad \times \quad H_1: \mu \neq \mu_0.$
    - Estatística de teste: $\frac{\bar{y} - \mu_0}{\hat{\sigma}/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}.$
- Suposições: Para o teste ser exato, precisamos
    - $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$ iid.
    - $\hat{\sigma}^2 = \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2/n-1$.
- Podem ser razoavelmente relaxadas para grandes amostras.
- Neste caso a distribuição t não é mais necessária.
- Assintóticamente a estatística tem distribuição Normal padrão.

**Exemplo 3**: (Magalhães e Lima, pg. 259). Deseja-se investigar se uma certa moléstia que ataca o rim altera o consumo de oxigênio desse orgão. Para indivíduos sadios, admite-se que esse consumo tem distribuição Normal com média 12 $cm^3/min$. Os valores medidos em cinco pacientes com a moléstia foram: $14,4;12,9;15,0;13,7;$ e $13,5$. Qual seria a conclusão, ao nível de 1$\%$ de significância?

O teste de interesse é

- $H_0:$ A moléstia não altera a média de consumo renal de oxigênio;
- $H_1:$ Indivíduos portadores da moléstia têm média alterada.

Passando as hipóteses em termos do nosso modelo

- $H_0: \mu = 12$ contra $H_1: \mu \neq 12$.

O R conta com uma função especifica para este teste, conforme mostra o código abaixo.

```{r}
y <- c(14.4,12.9,15,13.7,13.5)
t.test(x = y, mu = 12)
```
Neste caso rejeitamos $H_0$ em favor de $H_1$. Note que a função retorna uma série de informações úteis. Temos o tipo de teste realizado, o valor da estatística $t$ e os graus de liberdade do teste ao lado do $p-valor$. A função já apresenta a conclusão do teste e por reporta o intervalo de confiança para a média amostral e a média amostral.


### Teste t (independent two sample t-test)

- Teste t duas populações independentes variâncias iguais (independent two sample t-test)
    - Hipóteses: $H_0: \mu_1 = \mu_2 \quad \times \quad H_1: \mu_1 \neq \mu_2.$
    - Estatística de teste: $\frac{\bar{y}_1 - \bar{y}_2}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \sim t_{n_1 + n_2-2}.$
    - $s_p = \sqrt{\frac{(n_1 - 1)s^2_1 + (n_2 - 1)s^2_2}{n_1 + n_2 -2}}$ se variâncias assumidas iguais e tamanhos de amostras diferentes.

**Exemplo 4** Digitadores são treinados em uma empresa em duas turmas distintas. Na primeira, denominada Turma J, utiliza-se um métodos japonês de ensino, ao passo que na segunda turma, denominada Turma A, utiliza-se um método alemão. Deseja-se comparar os dois métodos e para tanto, 16 alunos de cada turma foram escolhidos aleatoriamente e uma mesma tarefa foi atribuída a cada um. Ao final do experimento, o tempo gasto na realização da tarefa, para cada aluno, foi anotado. No processo, dois computadores utilizados pelos alunos selecionados da turma J e três da turma A apresentaram problemas que impediram a realização da tarefa; o tamanho da amostra foi assim reduzido para 14 e 13 respectivamente, para as turmas J e A. Os dados são os seguintes:

```{r}
J <- c(10,13,9,10,14,13,10,15,12,10,9,10,13,14)
A <- c(15,12,18,16,15,17,17,15,16,17,11,17,14,NA)
dplyr::tibble(J,A)
```
Apesar de não conhecidas, as variâncias populacionais são assumidas iguais com base em estudos anteriores. Suponha que o interesse é testar

- $H_0: \mu_J = \mu_A$ contra $H_1: \mu_J \neq \mu_A$. 

```{r}
t.test(x = J, y = A, paired = FALSE, var.equal = TRUE)
```

### Teste t variância diferentes

- Teste t duas populações independentes variâncias diferentes (independent two sample t-test)
    - Hipóteses: $H_0: \mu_1 = \mu_2 \quad \times \quad H_1: \mu_1 \neq \mu_2.$
    - Estatística de teste: $\frac{\bar{y}_1 - \bar{y}_2}{s_{\delta}} \sim t_{df}.$
    - $s_{\delta} = \sqrt{\frac{s^1}{n_1} + \frac{s^2}{n_2}}$ se variâncias diferentes e tamanhos de amostras diferentes.
    - Graus de liberdade $df = \frac{\left ( \frac{s^2_1}{n_1} + \frac{s^2_2}{n_2} \right )}{\frac{(s^2_1/n_1)^2}{n_1 - 1} + \frac{(s^2_2/n_2)^2}{n_2 - 1}}.$

**Exemplo 5** Considere o exemplo dos digitadores, porém agora sem assumir que as variâncias populacionais são iguais. O teste t neste caso pode ser realizado da seguinte forma:

```{r}
t.test(x = J, y = A, paired = FALSE, var.equal = FALSE)
```

### Teste t pareado

- Teste t duas populações dependentes (paired two sample t-test)
    - Hipóteses: $H_0: \mu_D = 0 \quad \times \quad H_1: \mu_D \neq 0.$
    - Estatística de teste: $\frac{\bar{y}_D - 0}{\hat{\sigma}_D/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}.$
    - Neste caso, $\mu_D$ e $\hat{\sigma}_D$ são a média e o desvio-padrão da diferença entre $y_1$ e $y_2$.

**Exemplo 6** Uma distribuidora de combustíveis deseja verificar se um novo tipo de gasolina é eficaz na revitalização de moteores velhos. Com esse objetivo, seleciona 12 automóveis de um mesmo modelo com mais de 8 anos de uso e, após regulagem de seus motores, verifica o consumo de combustível. Em seguida, o carro é abastecido com o novo tipo de combustível durante 15 semanas, e uma nova aferição do consumo é feita. Defina as variáveis aleatórias $X_i$ e $Y_i$ como o rendimento do automóvel $i$ respectivamente antes e após as 15 semanas. Vemos que $X_i$ e $Y_i$ foram medidas em uma mesma unidade amostral e, assim, é razoável assumir que exista alguma dependência entre elas. Os valores observados, em $km/l$, junto com as diferenças $D_i = Y_i - X_i$, para os 12 automóveis são apresentados na tabela a seguir.

```{r}
Apos <- c(11.6,8.8,9.9,9.5,11.6,9.1,10.6,10.8,13.4,10.6,10.5,11.4)
Antes <- c(8.1,7.9,6.8,7.8,7.6,7.9,5.7,8.4,8,9.5,8,6.8)
D <- Apos - Antes
dplyr::tibble(Apos, Antes, D)
```
Queremos testar as hipóteses
- $H_0:$ $\mu_D = 0$ (a intervenção não produz efeito)
- $H_1:$ $\mu_D \neq 0$ (a intervenção produz algum efeito)

```{r}
t.test(x = Apos, y = Antes, paired = TRUE)
```

### Teste F

- Teste F para igualdade de variâncias.
    - Hipóteses: $H_0: \sigma^2_1 = \sigma^2_2 \quad \times H_1: \sigma^2_1 \neq \sigma^2_2$.
    - Estatística de teste: $F = \frac{s^2_1}{s^2_2} \sim F_{(n_1-1)(n_2-1)}$.
    - Suposições $Y_1 \sim N(\mu_1, \sigma^2_1)$ e $Y_2 \sim N(\mu_2, \sigma^2_2)$.
    - Em geral, este teste é conhecido por ser sensível a suposição de normalidade.
- Se normalidade é duvidosa, use o teste para variâncias diferentes.
- Poder e tamanho do teste podem ser altamente sensíveis a suposições.
- Para grandes amostras o TCL fornece uma opção robusta a não-normalidade.
- **Regra do dedão** Amostra maior que $30$ TCL funciona bem! 
- Mas cuidado!! depende da situação!!

**Exemplo 7** Sabe-se que em uma região do país a altura média é de $1,68$m, com variância de $0,30m^2$. Um pesquisador acredita que a alimentação rotineira em uma cidade litorânea, sendo diferente da região como um todo, contribui para que as pessoas apresentem alturas mais homogêneas, apesar de não alterar a altura média da população da cidade. Para verificar sua suspeita, ele coletou um amostra de 31 pessoas e obteve 
a seguinte amostra:

```{r}
y <- c(1.77, 1.72, 2.39, 1.95, 1.69, 1.84, 1.86, 1.57, 1.38, 1.47, 1.94, 
       1.15, 1.93, 2.18, 1.37, 1.56, 1.28, 1.81, 1.66, 1.99, 2.07, 1.67, 
       1.40, 1.03, 1.58, 1.99, 1.48, 1.73, 1.44, 1.35, 1.54)
```
Além disso, coletou um conjunto de 20 observações da população geral.

```{r}
set.seed(123)
x <- rnorm(20, mean = 1.68, sd = 0.30)
```

Realize um teste de hipótese para verificar
- $H_0: \sigma^2 = 0,30$ contra $H_1: \sigma^2 < 0,30$.

```{r}
var.test(y, x, alternative = "less")
```

## Exercícios {-}

1. Uma empresa de pesquisa de mercado usou uma amostra de indivíduos para avaliar o potencial de compra de determinado produto antes e depois de as pessoas virem um novo comercial de televisão a respeito do produto. As avaliações do potencial de compra basearam-se em uma escala de 0 a 10, e os valores mais altos indicavam maior potencial de compra. A hipótese nula declarava que a avaliação média depois seria igual a avaliação média antes. A rejeição dessa hipótese demonstraria que o comercial melhorou a avaliação do potencial médio de compra. Use $\alpha = 0,05$ e os dados apresentados abaixo para testar a hipótese e comentar o valor do comercial.

```{r, echo = FALSE}
ind <- 1:8
Depois <- c(6,6,7,4,3,9,7,6)
Antes <- c(5,4,7,3,5,8,5,6)
dplyr::tibble(ind, Depois, Antes)
```
2. Os preços por galçao (3,78 litros) de gasolina para carros de aluguel foram amostrados em oito grandes aeroportos. Os dados relativos às empresas de carros de aluguel Hertz e National são apresentados a seguir

```{r, echo = FALSE}
Aero <- c("Boston", "Chicago"," Los Angeles", "Miami", "Nova York (JFK)", "Nova York (La Guardia)", "Orange County", "Washington")
Hertz <- c(1.55,1.62,1.72,1.65,1.72,1.67,1.68,1.52)
National <- c(1.56,1.59,1.78,1.49,1.51,1.50,1.77,1.41)
dplyr::tibble(Aero, Hertz, National)
```
Use $\alpha = 0,05$ para testar a hipótese de que não há diferença entre os preços médios populacionais por galão em relação às duas empresas.

3. Na Western University, a média histórica das pontuações nos exames para obtenção de bolsas de estudo correspondente às inscrições feitas por calouros é 900. Presume-se que o desvio padrão histórico da população é $\sigma = 180$ seja conhecido. Anualmente, o vice-reitor usa uma amostra das inscrições para determinar se a média da pontuação nos exames dos calouros se modificou. 
    - Estabeleça as hipóteses.
    - Qual é a estimação pontual e o intervalo de confiança de $95\%$ da média populacional nos exames se a seguinte amostra de tamanho 50 for observada.
```{r, echo = FALSE}
set.seed(123)
x <- rnorm(50, mean = 900, sd = 180)
dplyr::tibble(matrix(x, 10, 5))
```
- Realize um teste de hipótese para verificar a suspeita do vice-reitor. Use $\alpha = 0,05$. Qual é a sua conclusão?

4. Mensalmente o governo federal publica uma série de estatísticas sobre o número de pessoas que estão desempregadas e a média de tempo em que estão desempregadas. Em relação a novembro de 1998, o governo divulgou que a duração média nacional de desemprego era 14,6 semanas. O prefeito de Curitiba solicitou um estudo sobre a situação de desemprego na cidade. Uma amostra de 50 habitantes desempregados em Curitiba incluiu dados sobre a idade e o número de semanas em que estavam desempregados. O conjunto de dados é apresentado abaixo:

```{r, echo = FALSE}
Idade <- rpois(50, lambda = 35)
Semanas <- rpois(50, lambda = 8)
data.frame(Idade[1:10], Semanas[1:10],
              Idade[11:20], Semanas[11:20],
              Idade[21:30], Semanas[21:30],
              Idade[31:40], Semanas[31:40],
              Idade[41:50], Semanas[41:50])
```
- Use estatísticas descritivas para resumir os dados.
- Desenvolva uma estimação por intervalo de confiança de $95\%$ da média de idade e semanas desempregadas em Curitiba.
- Realize um teste de hipótese para determinar se a duração média do desemprego em Curitiba é maior que a duração média nacional de 14,6 semanas. Use um nível de confiança de 0,01. Qual a sua conclusão. 
- Há uma relação entre a idade do individuo desempregado e o número de semanas de desemprego? Explique.