diff --git a/assets/Makefile b/assets/Makefile index aab3105a..5bc23c75 100644 --- a/assets/Makefile +++ b/assets/Makefile @@ -2,7 +2,7 @@ all: build build: echo -e "" > index.md - for i in `ls -1 notes/`; do \ + for i in `find notes/`; do \ echo -e "---\n_Notatki z pliku \`notes/$$i\`_" >> index.md; \ - echo -e "\`\`\`{include} notes/$${i}\n\`\`\`" >> index.md; \ + echo -e "\`\`\`{include} $${i}\n\`\`\`" >> index.md; \ done diff --git a/assets/index.md b/assets/index.md index 1f3cdc87..1e73e001 100644 --- a/assets/index.md +++ b/assets/index.md @@ -1,18 +1,37 @@ --- -_Notatki z pliku `notes/algebra_2023.10.09.md`_ -```{include} notes/algebra_2023.10.09.md +_Notatki z pliku `notes/notes/`_ +```{include} notes/ ``` --- -_Notatki z pliku `notes/algebra_2023.10.10.md`_ -```{include} notes/algebra_2023.10.10.md +_Notatki z pliku `notes/notes/matematyka`_ +```{include} notes/matematyka ``` --- -_Notatki z pliku `notes/algebra_2023.10.11_zadanie.md`_ -```{include} notes/algebra_2023.10.11_zadanie.md +_Notatki z pliku `notes/notes/matematyka/matematyka_2023.10.09.md`_ +```{include} notes/matematyka/matematyka_2023.10.09.md ``` --- -_Notatki z pliku `notes/matematyka_2023.10.09.md`_ -```{include} notes/matematyka_2023.10.09.md +_Notatki z pliku `notes/notes/algebra`_ +```{include} notes/algebra +``` +--- +_Notatki z pliku `notes/notes/algebra/algebra_2023.10.17.md`_ +```{include} notes/algebra/algebra_2023.10.17.md +``` +--- +_Notatki z pliku `notes/notes/algebra/\`_ +```{include} notes/algebra/\n``` +--- +_Notatki z pliku `notes/notes/algebra/algebra_2023.10.11_zadanie.md`_ +```{include} notes/algebra/algebra_2023.10.11_zadanie.md +``` +--- +_Notatki z pliku `notes/notes/algebra/algebra_2023.10.09.md`_ +```{include} notes/algebra/algebra_2023.10.09.md +``` +--- +_Notatki z pliku `notes/notes/algebra/algebra_2023.10.10.md`_ +```{include} notes/algebra/algebra_2023.10.10.md ``` diff --git "a/assets/notes/algebra/\\" "b/assets/notes/algebra/\\" new file mode 100644 index 00000000..623a3c98 --- /dev/null +++ "b/assets/notes/algebra/\\" @@ -0,0 +1,34 @@ +## Macierze + +Oznaczenie: $M_{m \times n} (K)$ gdzie +- m, n - wymiary macierzy +- K - ciało na którym określamy macierz + +```{note} +Dwie macierze są równe gdy ich wymiary są równe oraz wszystkie wartości są równe +``` + +```{tip} +**Macierzą kwadratową** nazywamy macierz, w której $m=n$ +``` + +```{admonition} Macierz zerowa +to taka macierz $0_{m \times n}$ gdzie wszystkie elementy są równe 0 +``` + +```{admonition} Macierz diagonalna +Macierz, w której niezerowe elementy leżą jedynie na przekątnych +``` + +### Działania na macierzach + +- Dodawanie (i odejmowanie) macierzy których wyrazy są równe wykonujemy poprzez dodawanie odpowiednich wyrazów +- Mnożenie przez liczbę - każdy wyraz macierzy mnożymy przez liczbę +- transponowanie - wiersze zmieniają się na kolumny +- mnożenie macierzy przez macierz macierz A musi mieć tyle samo kolumn co wierszy + +### Własności działań + +```{note} +działania są dziedziczone ze zbioru $\mathbb{R}$ +``` diff --git a/assets/notes/algebra_2023.10.09.md b/assets/notes/algebra/algebra_2023.10.09.md similarity index 100% rename from assets/notes/algebra_2023.10.09.md rename to assets/notes/algebra/algebra_2023.10.09.md diff --git a/assets/notes/algebra_2023.10.10.md b/assets/notes/algebra/algebra_2023.10.10.md similarity index 100% rename from assets/notes/algebra_2023.10.10.md rename to assets/notes/algebra/algebra_2023.10.10.md diff --git a/assets/notes/algebra_2023.10.11_zadanie.md b/assets/notes/algebra/algebra_2023.10.11_zadanie.md similarity index 100% rename from assets/notes/algebra_2023.10.11_zadanie.md rename to assets/notes/algebra/algebra_2023.10.11_zadanie.md diff --git a/assets/notes/algebra/algebra_2023.10.17.md b/assets/notes/algebra/algebra_2023.10.17.md new file mode 100644 index 00000000..36b3f6ec --- /dev/null +++ b/assets/notes/algebra/algebra_2023.10.17.md @@ -0,0 +1,113 @@ +## Macierze + +Oznaczenie: $M_{m \times n} (K)$ gdzie +- m, n - wymiary macierzy +- K - ciało na którym określamy macierz + +```{note} +Dwie macierze są równe gdy ich wymiary są równe oraz wszystkie wartości są równe +``` + +```{tip} +**Macierzą kwadratową** nazywamy macierz, w której $m=n$ +``` + +```{admonition} Macierz zerowa +to taka macierz $0_{m \times n}$ gdzie wszystkie elementy są równe 0 +``` + +```{admonition} Macierz diagonalna +Macierz, w której niezerowe elementy leżą jedynie na przekątnych +``` + +### Działania na macierzach + +- Dodawanie (i odejmowanie) macierzy których wyrazy są równe wykonujemy poprzez dodawanie odpowiednich wyrazów +- Mnożenie przez liczbę - każdy wyraz macierzy mnożymy przez liczbę +- transponowanie - wiersze zmieniają się na kolumny +- mnożenie macierzy przez macierz macierz A musi mieć tyle samo kolumn co wierszy + +### Własności działań + +```{note} +działania są dziedziczone ze zbioru $\mathbb{R}$ +``` + +- składanie odwzorowań jest łączne, ale **nie** przemienne +Macierz diagonalna jednostkowa jest elementem neutralnym. +Na przykład +$$ +\begin{bmatrix} +1&0 \\ +0&1 +\end{bmatrix} +$$ + +- transponowanie: +$$ +(A^T)^T = A +$$ + +```{important} +$$ +(AB)^T = B^T A^T +$$ + +### Suma elementów na przekątnych + +$$ +tr \begin{vmatrix} +\bf{1}&0&0 \\ +2&\bf{-7}&2 \\ +0&1&\bf{3} +\end{vmatrix} = 1-7+3 = -3 +$$ + +`tr` to ślad macierzy - suma elementów na przekątnej + +### Macierze symetryczne i antysymetryczne + + +```{admonition} Twierdzenie +każdą macierz kwadratową można rozbić na dwie macierze, +z których jedna jest symetryczna, a druga antysymetryczna +``` + +### Wyznacznik macierzy + +```{admonition} Definicja +wyznacznik to liczba $detA$ taka, że: +- dla n = 1 $detA = a_11$ +- dla $n>=2$ $\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} * a_ij * detA_ij +gdzie $detA_ij$ to wyznacznik (tzw. minor) macierzy powstałej po skreśleniu i-ego wiersza i j-tej kolumny +``` + +$detA = detA^T$ + +```{tip} +dla macierzy trujkątnych górnych i dolnych detA to iloczyn elementów na przekątnej +``` + +#### zmiany na macierzy nie zmieniające wyznacznika + +- $detA = detA^T$ +- jeżeli w jednej kolumnie są same 0, detA = 0 +- $det(nA) = n * detA~ n\in \mathbb{R}$ +- dla $A = B+C$ $detA = detB + detC +- po zmianie kolumn miejscami wyznacznik zmieni znak +- jeżeli dwie kolumny są proporcjonalne detA = 0 +- jeżeli kolumna jest kombinacją liniową pozostałych detA = 0 +- do kolumny można dodać kombinację liniową pozostałych co nie zmieni wyznacznika + +### Macierz odwrotna +macierze kwadraowe +$$ +\exists A^{-1} ~ A * A^{-1}a = I \\ +$$ +```{note} +macierz osobliwa jeżeli detA = - +``` + +```{note} +Macierz jest odwracalna jeżeli jest niosobliwa +``` diff --git a/assets/notes/matematyka_2023.10.09.md b/assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.09.md similarity index 100% rename from assets/notes/matematyka_2023.10.09.md rename to assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.09.md