diff --git a/.doctrees/assets/index.doctree b/.doctrees/assets/index.doctree
index 2cdd4389..5d20b8a8 100644
Binary files a/.doctrees/assets/index.doctree and b/.doctrees/assets/index.doctree differ
diff --git a/.doctrees/assets/notes/algebra/algebra_2023.11.07.doctree b/.doctrees/assets/notes/algebra/algebra_2023.11.07.doctree
index 5d25f662..0ac69300 100644
Binary files a/.doctrees/assets/notes/algebra/algebra_2023.11.07.doctree and b/.doctrees/assets/notes/algebra/algebra_2023.11.07.doctree differ
diff --git a/.doctrees/environment.pickle b/.doctrees/environment.pickle
index 7a9cc93a..378cb3a7 100644
Binary files a/.doctrees/environment.pickle and b/.doctrees/environment.pickle differ
diff --git a/assets/index.html b/assets/index.html
index 198f07bd..d04180cb 100644
--- a/assets/index.html
+++ b/assets/index.html
@@ -568,6 +568,16 @@ <h3>Liniowa zależność wektorów<a class="headerlink" href="#liniowa-zaleznosc
 \hat{j} = (0, 1, 0) \\
 \hat{k} = (0, 0, 1) \\
 \end{split}\]</div>
+<div class="admonition tip">
+<p class="admonition-title">Wskazówka</p>
+<p>To tak jak w macierzach, gdzie jeden z rzędów można wyzerować za pomocą innych.</p>
+</div>
+<div class="admonition note">
+<p class="admonition-title">Informacja</p>
+<p>Aby sprawdzić czy wektory są liniowo niezależne budujemy macierz
+z wektorami wpisanymi w kolumny (tak aby poróœnywać x-owe współrzędne e.t.c.) i przyrównujemy do (0,0,…,0)
+i obliczamy jej rząd.</p>
+</div>
 </div>
 <div class="admonition-generatory admonition">
 <p class="admonition-title">Generatory</p>
@@ -582,6 +592,16 @@ <h3>Liniowa zależność wektorów<a class="headerlink" href="#liniowa-zaleznosc
 <li><p>natomiast generowaną przez nie podprzestrzeń <span class="math notranslate nohighlight">\(limW\)</span></p></li>
 </ul>
 </div>
+<div class="admonition-twierdzenie-o-geneowaniu-podprzestrzeni-mathbb-r-n admonition">
+<p class="admonition-title">Twierdzenie o geneowaniu podprzestrzeni <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{R}^n\)</span></p>
+<p>Wektory <span class="math notranslate nohighlight">\(v_1, v_2, ..., v_k\)</span> generują przestrzeń <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{R}^n\)</span> (o n wymiarach) <span class="math notranslate nohighlight">\(\Leftrightarrow\)</span> <span class="math notranslate nohighlight">\(rowA\)</span> (rząd macierzy A) jest równy n.
+Macierz A to taka macierz, która składa się w kolejno wpisanych w wierszach wektorach v.</p>
+<div class="admonition tip">
+<p class="admonition-title">Wskazówka</p>
+<p><span class="math notranslate nohighlight">\(k \geq n\)</span> tzn. że generatorów może być więcej niż wymiarów przestrzeni, jednak jeżeli tak jest
+oznacza to że kilka z nich (<span class="math notranslate nohighlight">\(k-n\)</span>) jest liniowo zależnych.</p>
+</div>
+</div>
 <hr class="docutils" />
 <p><em>Notatki z pliku <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">notes/algebra/.algebra_2023.11.07.md.swp</span></code></em></p>
 <hr class="docutils" />
diff --git a/assets/notes/algebra/algebra_2023.11.07.html b/assets/notes/algebra/algebra_2023.11.07.html
index 23ac2bb1..f5032718 100644
--- a/assets/notes/algebra/algebra_2023.11.07.html
+++ b/assets/notes/algebra/algebra_2023.11.07.html
@@ -144,6 +144,16 @@ <h2>Liniowa zależność wektorów<a class="headerlink" href="#liniowa-zaleznosc
 \hat{j} = (0, 1, 0) \\
 \hat{k} = (0, 0, 1) \\
 \end{split}\]</div>
+<div class="admonition tip">
+<p class="admonition-title">Wskazówka</p>
+<p>To tak jak w macierzach, gdzie jeden z rzędów można wyzerować za pomocą innych.</p>
+</div>
+<div class="admonition note">
+<p class="admonition-title">Informacja</p>
+<p>Aby sprawdzić czy wektory są liniowo niezależne budujemy macierz
+z wektorami wpisanymi w kolumny (tak aby poróœnywać x-owe współrzędne e.t.c.) i przyrównujemy do (0,0,…,0)
+i obliczamy jej rząd.</p>
+</div>
 </div>
 <div class="admonition-generatory admonition">
 <p class="admonition-title">Generatory</p>
@@ -158,6 +168,16 @@ <h2>Liniowa zależność wektorów<a class="headerlink" href="#liniowa-zaleznosc
 <li><p>natomiast generowaną przez nie podprzestrzeń <span class="math notranslate nohighlight">\(limW\)</span></p></li>
 </ul>
 </div>
+<div class="admonition-twierdzenie-o-geneowaniu-podprzestrzeni-mathbb-r-n admonition">
+<p class="admonition-title">Twierdzenie o geneowaniu podprzestrzeni <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{R}^n\)</span></p>
+<p>Wektory <span class="math notranslate nohighlight">\(v_1, v_2, ..., v_k\)</span> generują przestrzeń <span class="math notranslate nohighlight">\(\mathbb{R}^n\)</span> (o n wymiarach) <span class="math notranslate nohighlight">\(\Leftrightarrow\)</span> <span class="math notranslate nohighlight">\(rowA\)</span> (rząd macierzy A) jest równy n.
+Macierz A to taka macierz, która składa się w kolejno wpisanych w wierszach wektorach v.</p>
+<div class="admonition tip">
+<p class="admonition-title">Wskazówka</p>
+<p><span class="math notranslate nohighlight">\(k \geq n\)</span> tzn. że generatorów może być więcej niż wymiarów przestrzeni, jednak jeżeli tak jest
+oznacza to że kilka z nich (<span class="math notranslate nohighlight">\(k-n\)</span>) jest liniowo zależnych.</p>
+</div>
+</div>
 </section>
 </section>
 
diff --git a/searchindex.js b/searchindex.js
index 8404d7ae..1bc29933 100644
--- a/searchindex.js
+++ b/searchindex.js
@@ -1 +1 @@
-Search.setIndex({"docnames": ["assets/README", "assets/index", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.09", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.10", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.11_zadanie", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.17", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.24", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.31", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.07", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.14", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.21.2023", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.28.2023", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.09", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.15", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.23", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.24", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.30", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.31", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.06", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.07", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.13", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.14", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.20", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.21", "assets/notes/matematyka_cw/matematyka_cw_2023.10.19", "assets/notes/mechanika_cw/mechanika_cw_24.11.2023", "index"], "filenames": ["assets/README.md", "assets/index.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.09.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.10.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.11_zadanie.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.17.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.24.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.31.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.07.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.14.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.21.2023.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.28.2023.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.09.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.15.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.23.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.24.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.30.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.31.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.06.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.07.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.13.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.14.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.20.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.21.md", "assets/notes/matematyka_cw/matematyka_cw_2023.10.19.md", "assets/notes/mechanika_cw/mechanika_cw_24.11.2023.md", "index.rst"], "titles": ["How ot use?", "ALGEBRA", "ALGEBRA", "Cia\u0142o liczb zespolonych", "Zestaw 2 zadanie 4, przyk\u0142ad a", "Macierze", "Obliczanie macierzy odwrotnej", "Dzia\u0142ania elementarne, kt\u00f3re nie zmieniaj\u0105 rozwi\u0105za\u0144", "Przestrzenie wektorowe", "Baza", "Macierz Przej\u015bcia", "&lt;no title&gt;", "MATEMATYKA", "Ci\u0105gi", "Przyk\u0142ady funkcji ci\u0105g\u0142ych", "Interpretacja krzywej", "R\u00f3\u017cniczkowanie", "Pochodna logarytmiczna", "Zastosowanie pochodnych", "Wnioski Tw. Lagrange\u2019a", "Poj\u0119cie R\u00f3\u017cniczki", "Reszta Peano", "Zadania", "Sporz\u0105dzanie wykres\u00f3w funkcji", "Matematyka - \u0107wiczenia", "Mechanika - \u0106wiczenia", "Wst\u0119p"], "terms": {"after": 0, "ad": 0, "someth": 0, "note": [0, 1], "run": 0, "make": 0, "put": 0, "index": 0, "md": [0, 1], "notatki": 1, "z": [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 22, 25], "pliku": 1, "algebra_2023": 1, "10": 1, "09": 1, "korzystaj\u0105c": [1, 2, 6], "za": [1, 2], "indukcji": [1, 2], "udowodnij": [1, 2], "\u017ce": [1, 2, 3, 5, 9, 13, 16, 20, 21], "dowolnego": [1, 2, 13], "geq": [1, 2, 5, 18, 19], "liczba": [1, 2, 3, 5, 6, 21], "diagonalnych": [1, 2], "konci": [1, 2], "wypuk\u0142ym": [1, 2], "jest": [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26], "niewi\u0119ksza": [1, 2], "ni\u017c": [1, 2, 19], "frac": [1, 2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25], "utworzeni": [1, 2], "wzoru": [1, 2, 20], "liczb\u0119": [1, 2, 5], "k\u0105tu": [1, 2], "6": [1, 2, 20, 22], "tego": [1, 2, 26], "wniosek": [1, 2], "d": [1, 2, 13, 14, 20, 25], "sprawdzeni": [1, 2], "warunku": [1, 2, 10], "leq": [1, 2, 18, 19, 20, 22], "krok": [1, 2], "indukcyjni": [1, 2], "za\u0142\u00f3\u017cmi": [1, 2, 10], "2n": [1, 2], "3n": [1, 2], "5n": [1, 2], "0": [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25], "wtedi": [1, 2, 12, 14, 16, 17, 18], "begin": [1, 2, 5, 7, 12, 15, 18], "matrix": [1, 2, 7, 12, 15, 18], "ind": [1, 2], "mat": [1, 2], "foral": [1, 2, 8, 12, 13, 14, 16, 19], "geq0": [1, 2], "end": [1, 2, 5, 7, 12, 15, 18], "przeciwie\u0144stwi": [1, 3], "do": [1, 3, 5, 6, 8, 12, 14, 16, 20, 22, 26], "rzeczywistych": [1, 3, 21], "mo\u017cna": [1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13], "ich": [1, 3, 5], "przedstawi\u0107": [1, 3, 8, 9, 10, 13], "linearnej": [1, 3], "dlatego": [1, 3], "te\u017c": [1, 3, 17], "powiedzie\u0107": [1, 3], "dana": [1, 3], "ujemna": [1, 3], "dodatnia": [1, 3], "zespolona": [1, 3], "para": [1, 3], "przy": [1, 3, 10, 16], "dzieleniu": [1, 3], "nale\u017ci": [1, 3, 6, 10], "pomno\u017cy\u0107": [1, 3], "przez": [1, 3, 5, 6, 7, 8, 16, 26], "czynnik": [1, 3], "sprz\u0119\u017coni": [1, 3], "tak": [1, 3, 6, 12], "jak": [1, 3], "usuwani": [1, 3], "niewymierno\u015bci": [1, 3], "mianownika": [1, 3], "okre\u015blami": [1, 3, 5], "jako": [1, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13], "bar": [1, 3, 4], "niech": [1, 3, 8, 10, 12, 13, 14, 16], "c": [1, 3, 5, 8, 12, 14, 18, 20, 22], "x": [1, 3, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25], "y": [1, 3, 7, 8, 12, 15, 16, 20, 22, 25], "uto\u017csamiani": [1, 3], "d\u0142ugo\u015bci\u0105": [1, 3], "wektora": [1, 3, 7, 8], "b\u0119d\u0105cego": [1, 3], "interpretacj\u0105": [1, 3], "urojonej": [1, 3], "yi": [1, 3], "sqrt": [1, 3, 4, 13, 15, 16, 19, 22, 24], "r\u00f3wnie\u017c": [1, 3, 14, 21], "exist": [1, 3, 5, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 22], "phi": [1, 3, 4, 10], "co": [1, 3, 5, 7, 15, 16, 17, 19, 20, 22], "land": [1, 3, 8, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 20, 21, 22], "sin": [1, 3, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22], "arg": [1, 3], "tzw": [1, 3, 5, 6, 8], "argument": [1, 3], "g\u0142\u00f3wny": [1, 3], "gdzie": [1, 3, 5, 8, 14], "argz": [1, 3], "pi": [1, 3, 4, 7, 12, 13, 22, 24], "moivr": [1, 3], "z_1": [1, 3], "z_2": [1, 3], "alpha": [1, 3, 6, 7, 8, 10, 16, 20, 22], "beta": [1, 3, 8, 10], "e": [1, 3, 4, 13, 15, 16, 20, 21, 23, 24], "leftrightarrow": [1, 3, 9, 12, 14, 17, 18], "z_k": [1, 3], "root": [1, 3, 14], "2k": [1, 3, 4], "k": [1, 3, 4, 5, 8, 20], "pierwiastek": [1, 3], "stopnia": [1, 3], "ma": [1, 3, 12, 14, 18, 20], "ka\u017cdi": [1, 3, 5, 9], "wielomian": [1, 3, 13], "dodatniego": [1, 3], "rozwi\u0105zania": [1, 3], "11_zadani": 1, "r\u00f3wnani": [1, 4, 7, 12, 16, 20], "spelnion": [1, 4], "dlz": [1, 4], "2i": [1, 4], "3i": [1, 4], "cap": [1, 4], "lor": [1, 4, 22], "17": 1, "oznaczeni": [1, 5], "m_": [1, 5, 6], "time": [1, 5, 12], "wymiari": [1, 5, 8], "kt\u00f3rym": [1, 5], "dwie": [1, 5, 10], "s\u0105": [1, 5, 6, 8, 9, 14, 17, 18, 19], "r\u00f3wne": [1, 5], "gdy": [1, 5, 6, 8, 19], "oraz": [1, 5, 8, 10, 12, 13, 14], "wszystki": [1, 5, 9], "macierz\u0105": [1, 5, 6], "kwadratow\u0105": [1, 5], "nazywami": [1, 5, 7, 8, 11, 12, 16, 20], "kt\u00f3rej": [1, 5, 11], "taka": [1, 5, 14], "0_": [1, 5], "elementi": [1, 5, 8, 9], "niezerow": [1, 5], "le\u017c\u0105": [1, 5], "jedyni": [1, 5], "dodawani": [1, 5, 11], "odejmowani": [1, 5], "kt\u00f3rych": [1, 5, 6, 21, 22], "wyrazi": [1, 5], "wykonujemi": [1, 5], "poprzez": [1, 5], "odpowiednich": [1, 5], "wyraz\u00f3w": [1, 5, 8], "mno\u017ceni": [1, 5, 7, 8, 11], "wyraz": [1, 5], "mno\u017cymi": [1, 5, 6], "transponowani": [1, 5], "wiersz": [1, 5], "kolumni": [1, 5, 11], "A": [1, 5, 6, 9, 12, 19, 25], "musi": [1, 5, 8, 11, 12, 21], "mie\u0107": [1, 5], "tyle": [1, 5], "samo": [1, 5], "kolumn": [1, 5, 7], "wierszi": [1, 5, 7], "dziedziczon": [1, 5], "ze": [1, 5, 10, 12], "zbioru": [1, 5, 8, 12], "\u0142\u0105czne": [1, 5, 8], "al": [1, 5], "przemienn": [1, 5], "jednostkowa": [1, 5], "elementem": [1, 5], "neutralnym": [1, 5], "bmatrix": [1, 5, 12], "t": [1, 5, 6, 7, 15], "ab": [1, 5, 6], "b": [1, 5, 6, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 22], "tr": [1, 5], "vmatrix": [1, 5], "bf": [1, 5, 12, 13, 19], "7": [1, 5, 20], "\u015blad": [1, 5], "przek\u0105tnej": [1, 5], "ka\u017cd\u0105": [1, 5], "rozbi\u0107": [1, 5], "jedna": [1, 5], "symetryczna": [1, 5], "druga": [1, 5, 6, 21], "antysymetryczna": [1, 5], "deta": [1, 5, 6], "a_11": [1, 5], "sum_": [1, 5], "j": [1, 5, 6, 8, 9], "a_ij": [1, 5, 6], "deta_ij": [1, 5], "minor": [1, 5], "powsta\u0142ej": [1, 5], "po": [1, 5], "skre\u015bleniu": [1, 5], "wiersza": [1, 5, 7], "tej": [1, 5, 9, 26], "trujk\u0105tnych": [1, 5], "g\u00f3rnych": [1, 5], "dolnych": [1, 5], "je\u017ce": [1, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22], "jednej": [1, 5], "same": [1, 5], "det": [1, 5], "detb": [1, 5], "detc": [1, 5], "miejscami": [1, 5], "zmieni": [1, 5], "znak": [1, 5, 21], "proporcjonaln": [1, 5], "kolumna": [1, 5], "kombinacj\u0105": [1, 5], "liniow\u0105": [1, 5, 6, 16], "pozosta\u0142ych": [1, 5, 8, 9], "doda\u0107": [1, 5], "kombinacj\u0119": [1, 5], "kwadraow": [1, 5], "osobliwa": [1, 5], "odwracalna": [1, 5], "niosobliwa": [1, 5], "24": [1, 20], "odwracaln": [1, 6], "tworz\u0105": [1, 6], "grup\u0119": [1, 6], "metoda": [1, 6], "dope\u0142nie\u0144": [1, 6], "algebaicznych": [1, 6], "mo\u017cemi": [1, 6, 7], "j\u0105": [1, 6], "obliczy\u0107": [1, 6], "tylko": [1, 6], "ij": [1, 6], "powsta\u0142\u0105": [1, 6], "transponujemi": [1, 6], "k\u0105\u017cdy": [1, 6], "element": [1, 6, 8, 12], "operacji": [1, 6], "elementarnych": [1, 6], "bezwyznacznikiowa": [1, 6], "zestawieni": [1, 6], "blokowej": [1, 6], "jednostkowej": [1, 6], "uda": [1, 6], "sprowadzi\u0107": [1, 6], "cz\u0119\u015b\u0107": [1, 6], "bloku": [1, 6], "b\u0119dzie": [1, 6, 14, 20], "odwrotn\u0105": [1, 6, 10, 14], "uzyska\u0107": [1, 6], "trujk\u0105tn\u0105": [1, 6], "g\u00f3rn\u0105": [1, 6], "przemieszczaj\u0105c": [1, 6], "od": [1, 6, 7], "lewego": [1, 6], "g\u00f3rnego": [1, 6], "rogu": [1, 6], "zerowani": [1, 6], "prawej": [1, 6], "lew\u0105": [1, 6], "stron\u0119": [1, 6], "zapisa\u0107": [1, 6], "taki": [1, 6, 13, 20], "niewiadomych": [1, 6, 7], "r\u00f3wna": [1, 6, 21, 25], "kwadratowa": [1, 6], "w_x": [1, 6], "je\u015bli": [1, 6, 13, 14, 21, 22, 26], "oznaczoni": [1, 6], "wykorzysta\u0107": [1, 6], "rz\u0105d": [1, 6, 7, 9], "najwi\u0119kszi": [1, 6], "stopie\u0144": [1, 6], "niezerowego": [1, 6], "minora": [1, 6], "sprowadzani": [1, 6], "schodkowej": [1, 6], "ilo\u015b\u0107": [1, 6], "schod\u00f3w": [1, 6], "sprzeczni": [1, 6], "je\u017cei": [1, 6], "ro\u017cni": [1, 6], "uzupe\u0142nionej": [1, 6], "31": 1, "skre\u015bleni": [1, 7], "samych": [1, 7], "zer": [1, 7], "jednego": [1, 7], "proporcjonalnych": [1, 7], "dowoln\u0105": [1, 7], "sta\u0142\u0105": [1, 7], "niezerow\u0105": [1, 7], "przestawieni": [1, 7], "uk\u0142adu": [1, 7], "informuj": [1, 7], "il": [1, 7, 16], "danego": [1, 7], "wyliczy\u0107": [1, 7], "wektor": [1, 7, 8, 9, 10], "oznaczac": [1, 7], "\u0142ugo\u015bci": [1, 7], "wersorem": [1, 7], "k\u0105ty": [1, 7], "kierunkow": [1, 7], "k\u0105t": [1, 7], "mi\u0119dzi": [1, 7], "osi\u0105": [1, 7], "wektorem": [1, 7], "cosinu": [1, 7], "kierunkowi": [1, 7], "stosunek": [1, 7], "u_x": [1, 7], "vec": [1, 7, 25], "u": [1, 7, 8], "wersor\u00f3w": [1, 7], "cosinusi": [1, 7], "wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne": [1, 7], "odniesieni": [1, 7], "skalarni": [1, 7], "rozdzielni": [1, 7], "wzgl\u0119dem": [1, 7, 8, 12], "dodawania": [1, 7, 8], "mieszani": [1, 7], "v_1": [1, 7, 8, 9], "v_2": [1, 7, 8, 9], "v_3": [1, 7, 8], "left": [1, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 17, 18, 20, 22, 24], "x_0": [1, 7, 13, 16, 18, 20, 21, 22], "a_x": [1, 7], "": [1, 7], "b_x": [1, 7], "y_0": [1, 7, 16], "a_i": [1, 7], "b_y": [1, 7], "z_0": [1, 7], "a_z": [1, 7], "b_z": [1, 7], "right": [1, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 17, 18, 20, 22, 24], "11": 1, "07": 1, "grup\u0105": [1, 8], "abelow\u0105": [1, 8], "natomiast": [1, 8, 11], "v": [1, 8, 9, 22], "zbiorem": [1, 8], "emptyset": [1, 8], "quad": [1, 8, 9, 16, 18, 19, 20], "wyst\u0119puj": [1, 8, 10], "rozdzielno\u015b\u0107": [1, 8], "mno\u017cenia": [1, 8], "mno\u017ceniu": [1, 8], "sumi": [1, 8, 16], "skalar": [1, 8], "skalar\u00f3w": [1, 8], "neutralni": [1, 8], "mo\u017cliw": [1, 8, 17], "wektorami": [1, 8], "skalarami": [1, 8], "zbi\u00f3r": [1, 8, 10, 12], "tradycyjni": [1, 8], "p\u0142aszczy\u017ani": [1, 8], "dwuwymiarowej": [1, 8], "okre\u015bla": [1, 8], "dwa": [1, 8, 16], "palszczyzni": [1, 8], "podprzestrzeni\u0105": [1, 8, 9], "zadeklarowan": [1, 8], "te": [1, 8], "niej": [1, 8], "wewn\u0119trzn": [1, 8], "innymi": [1, 8], "s\u0142owi": [1, 8], "abi": [1, 8, 10, 11], "sprawdzi\u0107": [1, 8, 10], "czy": [1, 8, 10, 21], "dani": [1, 8, 21], "dwuch": [1, 8], "skalara": [1, 8], "nale\u017ce\u0107": [1, 8, 12], "definicji": [1, 8], "translacja": [1, 8, 10], "dodani": [1, 8, 10], "sta\u0142ej": [1, 8], "ta": [1, 8, 12, 20], "x_1": [1, 8, 10, 14, 16], "x_2": [1, 8, 10, 14, 16], "2x": [1, 8, 16, 22], "2x_1": [1, 8], "2x_2": [1, 8], "analogiczni": [1, 8], "post\u0119powa\u0107": [1, 8], "innych": [1, 8], "liniowo": [1, 8, 9, 10, 11], "niezale\u017cn": [1, 8, 9], "\u017cadnego": [1, 8, 9], "nich": [1, 8, 20], "formi": [1, 8], "kombinacji": [1, 8, 9], "liniowej": [1, 8, 9], "przyk\u0142adowo": [1, 8], "gamma": [1, 8], "bior\u0105c": [1, 8], "pod": [1, 8], "uwag\u0119": [1, 8], "inni": [1, 8, 9], "18": [1, 8], "hat": [1, 8, 9], "generator\u00f3w": [1, 8], "pozwalaj\u0105cych": [1, 8], "zapisani": [1, 8], "ka\u017cdego": [1, 8], "innego": [1, 8], "danej": [1, 8, 22], "w_1": [1, 8], "w_2": [1, 8], "theta": [1, 8, 20, 21], "w_n": [1, 8], "oznaczami": [1, 8], "generowan\u0105": [1, 8], "podprzestrze\u0144": [1, 8], "limw": [1, 8], "swp": 1, "14": 1, "podzbiorami": [1, 9], "wektorowych": [1, 9], "prost": [1, 9, 22], "a_1": [1, 9, 12], "a_2": [1, 9, 12], "a_n": [1, 9, 13], "v_n": [1, 9], "a_k": [1, 9], "v_k": [1, 9], "przestrzei": [1, 9], "wymiarowej": [1, 9], "generatorami": [1, 9], "wersori": [1, 9], "poniewa\u017c": [1, 9, 13, 16, 18], "opisa\u0107": [1, 9], "tych": [1, 9, 10], "rightarrow": [1, 9, 12, 13, 14, 16, 18, 19, 21, 22], "oznacza": [1, 9, 21], "istotn": [1, 9], "generuj\u0105": [1, 9], "je": [1, 9], "tr\u00f3wny": [1, 9], "nazwa\u0107": [1, 9], "baz\u0105": [1, 9], "wektorow\u0105": [1, 9], "niezale\u017cnych": [1, 9, 10, 11], "wprzestrzeni": [1, 9], "21": 1, "2023": 1, "wekor\u00f3w": [1, 10], "generuj\u0105cych": [1, 10], "wymiar": [1, 10], "liczno\u015b\u0107": [1, 10], "bazi": [1, 10], "kanonicznej": [1, 10], "innej": [1, 10], "rozwi\u0105za\u0107": [1, 10], "b_1": [1, 10], "b_2": [1, 10], "stara": [1, 10], "nowa": [1, 10], "starej": [1, 10], "kombinacj": [1, 10], "wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych": [1, 10], "nowej": [1, 10], "wypisac": [1, 10], "kolumnach": [1, 10], "nast\u0119pni": [1, 10], "znale\u017a\u0107": [1, 10, 16], "p_": [1, 10], "b_": [1, 10], "p": [1, 10, 13, 21], "nad": [1, 10], "tym": [1, 10], "samym": [1, 10], "cia\u0142em": [1, 10], "morfizm": [1, 10], "odwzorowani": [1, 10, 11, 20], "zachodzi": [1, 10], "przestrzeniach": [1, 10], "sta\u0142\u0119j": [1, 10], "spe\u0142nia": [1, 10], "addytywno\u015bci": [1, 10], "oper": [1, 10], "r\u00f3\u017cniczkowania": [1, 10], "dy": [1, 10, 17, 25], "dx": [1, 10, 16, 17, 20, 25], "odwzorowaniem": [1, 10, 12], "liniowym": [1, 10], "odwzorowaniu": [1, 10], "mo\u017ce": [1, 10], "by\u0107": [1, 10, 11], "surjekcj\u0105": [1, 10, 12], "to\u017csamo\u015b\u0107": [1, 10], "obu": [1, 10], "zbior\u00f3w": [1, 10], "epimorfizm": [1, 10], "injekcj\u0105": [1, 10, 12], "28": 1, "obraz": [1, 11], "by\u0142": [1, 11], "injektywn": [1, 11], "rzutowani": [1, 11], "p\u0142aszczyzn\u0119": [1, 11, 12], "oi": [1, 11], "reprezentuj": [1, 11], "ns\u0105": [1, 11], "obrazami": [1, 11], "bazowych": [1, 11], "reprezentacj\u0105": [1, 11], "macierzow\u0105": [1, 11], "odwzoorowania": [1, 11], "liniowego": [1, 11], "matematyka_cw": 1, "matematyka_cw_2023": 1, "19": 1, "matematyka_2023": 1, "przedstawiami": [1, 12], "pojedyncz\u0105": [1, 12], "pare": [1, 12], "punkt": [1, 12, 21], "f": [1, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25], "ka\u017cdemu": [1, 12], "elementowi": [1, 12], "zbiour": [1, 12], "przyporz\u0105dkowani": [1, 12], "dok\u0142adni": [1, 12], "jeden": [1, 12], "dziedzina": [1, 12, 23], "funkcj\u0119": [1, 12, 14, 20], "iniekcj\u0105": [1, 12], "r\u00f3\u017cnowarto\u015bciowym": [1, 12], "bijekcj\u0105": [1, 12], "surjekcja": [1, 12], "rozwi\u0105zani": [1, 12], "injekcja": [1, 12], "jedno": [1, 12], "istniej": [1, 12, 13, 14, 16, 21], "prosta": [1, 12, 16, 22], "r\u00f3wnoleg\u0142a": [1, 12], "ox": [1, 12], "przecina": [1, 12], "wykr": [1, 12, 16, 22], "lub": [1, 12, 16], "wi\u0119cj": [1, 12], "punktach": [1, 12, 21], "dok\u0142\u0105dni": [1, 12], "zw": [1, 12], "symetryczni": [1, 12], "wykresu": [1, 12, 16, 22, 23], "prostej": [1, 12], "zdefiniowana": [1, 12], "arcsin": [1, 12], "g": [1, 12, 14, 17, 18, 19, 23], "h": [1, 12, 13, 14, 16, 18, 19, 20, 21, 22], "cdot": [1, 12], "15": 1, "zbierzno\u015b\u0107": [1, 13], "asymptotyczna": [1, 13], "b_n": [1, 13], "lim_": [1, 13, 16, 19, 22], "logn": [1, 13, 15, 16], "ci\u0105g\u0142a": [1, 13, 14, 18, 20], "punkci": [1, 13, 16, 18, 20, 21, 22], "mimo": [1, 13], "granica": [1, 13], "notin": [1, 13], "punktu": [1, 13], "epsilon": [1, 13], "x_a": [1, 13], "pierwiastkiem": [1, 13, 21], "wielomianu": [1, 13], "w\u0142asnno\u015b\u0107": [1, 13], "przyjmowaniu": [1, 13], "warto\u015bcipo\u015brednich": [1, 13], "23": 1, "ograniczona": [1, 14], "kre": [1, 14], "dolni": [1, 14], "g\u00f3rny": [1, 14], "\u015bci\u015bl": [1, 14], "rosn\u0105ca": [1, 14], "ona": [1, 14], "kt\u00f3rje": [1, 14], "prawdziw": [1, 14], "niec": [1, 14], "dot": [1, 14], "ponadto": [1, 14], "equiv": [1, 14, 19], "const": [1, 14, 19], "c_1": [1, 14], "c_2": [1, 14], "wielomiani": [1, 14], "funkcjami": [1, 14], "ci\u0105g\u0142ymi": [1, 14], "cosh": [1, 15], "sinh": [1, 15], "tgh": [1, 15], "opi": [1, 15], "parametryczni": [1, 15], "okr\u0105g": [1, 15], "elipsa": [1, 15], "hiperbola": [1, 15], "arsinh": [1, 15], "30": 1, "tg": [1, 16, 17, 22], "podej\u015bci": [1, 16], "geometryczn": [1, 16], "spr\u00f3bujmi": [1, 16], "stycznej": [1, 16, 22], "sieczna": [1, 16], "przechodz\u0105ca": [1, 16], "dowoln": [1, 16], "punkti": [1, 16, 21, 23], "nale\u017c\u0105c": [1, 16], "siecznej": [1, 16], "przechodz\u0105cej": [1, 16], "granic\u0119": [1, 16], "pochodn\u0105": [1, 16], "oznaczymi": [1, 16], "df": [1, 16, 20], "geometryczna": [1, 16], "k\u0105ta": [1, 16], "nachylenia": [1, 16], "fykresu": [1, 16], "ax": [1, 16, 22], "to0": [1, 16], "wi\u0119cej": [1, 16], "arctg": [1, 16, 17, 22], "rac": [1, 16], "zaawansowani": [1, 16], "kalkul": [1, 16], "prawd\u0105": [1, 16], "stwierdzeni": [1, 16], "stosownych": [1, 16], "za\u0142o\u017ceniach": [1, 16], "operacj\u0105": [1, 16], "ax_1": [1, 16], "ax_2": [1, 16], "2sin": [1, 16, 22], "r\u00f3\u017cniczkowaln": [1, 17, 18, 19], "fg": [1, 17], "ctg": [1, 17], "log_a": [1, 17], "ln": [1, 17, 20], "z\u0142o\u017ceni": [1, 17], "r\u00f3\u017cniczkowalna": [1, 17, 18, 19, 20], "dh": [1, 17], "dz": [1, 17, 25], "06": 1, "q": [1, 18, 21], "setminu": [1, 18], "delta": [1, 18, 20], "niemalej\u0105ca": [1, 19], "nierosn\u0105ca": [1, 19], "color": [1, 19], "red": [1, 19], "white": [1, 19], "green": [1, 19], "black": [1, 19], "ni\u017cszego": [1, 19], "r\u00f3wnego": [1, 19], "asymptotyczni": [1, 19], "r\u00f3wnowa\u017cn": [1, 19], "13": 1, "r\u00f3\u017cniczk\u0105": [1, 20], "funkcj\u0105": [1, 20], "klasi": [1, 20, 22], "text": [1, 20, 21, 22], "przedzia\u0142u": [1, 20], "psi": [1, 20], "ostatni": [1, 20], "r\u00f3wnaniem": [1, 20], "reszt\u0105": [1, 20], "rozwini\u0119ci": [1, 20], "r_n": [1, 20], "sigma_": [1, 20], "choos": [1, 20], "oblicze\u0144": [1, 20], "przybli\u017conych": [1, 20], "120": [1, 20], "720": [1, 20], "approx": [1, 20], "liczb\u0105": [1, 21], "wymiern\u0105": [1, 21], "przypu\u015b\u0107mi": [1, 21], "przest\u0119pn\u0105": [1, 21], "wiielomianu": [1, 21], "wsp\u00f3\u0142czynnikah": [1, 21], "osi\u0105ga": [1, 21], "extremum": [1, 21], "ot": [1, 21], "jej": [1, 21], "spe\u0142nion": [1, 21], "odwrotn": [1, 21], "zeruj": [1, 21], "punktem": [1, 21], "podejrzanym": [1, 21], "oe": [1, 21], "ekstremum": [1, 21], "podejrzan": [1, 21], "ekstrenum": [1, 21], "znajduj\u0105": [1, 21], "szukani": [1, 21], "ekstrem\u00f3w": [1, 21], "zmienia\u0107": [1, 21], "posiada": [1, 21], "minimum": [1, 21], "wskazuj": [1, 21], "20": 1, "kwadratoweo": [1, 22], "arkusza": [1, 22], "blachi": [1, 22], "wycinami": [1, 22], "kwadratow": [1, 22], "kawa\u0142ki": [1, 22], "rogach": [1, 22], "czego": [1, 22], "powstaj": [1, 22], "nam": [1, 22], "pude\u0142ko": [1, 22], "jaka": [1, 22], "najwi\u0119ksza": [1, 22], "obj\u0119to\u015b\u0107": [1, 22], "szukami": [1, 22], "najwi\u0119ksz\u0105": [1, 22], "warto\u015b\u0107": [1, 22], "przedzial": [1, 22], "4x": [1, 22], "6x": [1, 22], "wypuk\u0142\u0105": [1, 22], "ku": [1, 22], "g\u00f3rze": [1, 22], "pewnym": [1, 22], "otoczeniu": [1, 22], "poni\u017cej": [1, 22, 26], "wypuk\u0142a": [1, 22], "do\u0142owi": [1, 22], "tm": [1, 22], "powy\u017cej": [1, 22], "zbli\u017ca": [1, 22], "dowolni": [1, 22], "blisko": [1, 22], "r\u00f3wnaniu": [1, 22], "asymptot\u0105": [1, 22], "uko\u015bn\u0105": [1, 22], "infti": [1, 22, 23], "rightleftarrow": [1, 22], "faza": [1, 23], "kra\u0144cach": [1, 23], "charakterystyczn": [1, 23], "typu": [1, 23], "szczeg\u00f3ln": [1, 23], "np": [1, 23], "parzysta": [1, 23], "okresowo\u015b\u0107": [1, 23], "szkic": [1, 23], "poprawki": [1, 23], "wykresi": [1, 23], "przegi\u0119cia": [1, 23], "monotoniczno\u015b\u0107": [1, 23], "drugiej": [1, 23], "uko\u015bn": [1, 23], "mechanika_cw": 1, "mechanika_cw_24": 1, "si\u0142\u0105": [1, 25], "zachowawcza": [1, 25], "praca": [1, 25], "si\u0142i": [1, 25], "dowolnym": [1, 25], "zamkni\u0119tym": [1, 25], "torz": [1, 25], "grad": [1, 25], "dla": [2, 5, 7, 8, 13, 16, 18, 20, 22], "n": [2, 3, 5, 9, 13, 14, 16, 20, 21, 24, 26], "mathbb": [2, 3, 4, 5, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 19, 20, 21, 26], "4": [2, 8, 20, 22, 26], "w": [2, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 16, 20, 21, 22, 23, 26], "2": [2, 3, 5, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26], "3": [2, 4, 5, 8, 9, 11, 20, 21, 22, 26], "na": [2, 6, 8, 11, 12, 22, 23, 25, 26], "nie": [3, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 21, 26], "i": [3, 4, 6, 8, 9, 10, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 23, 26], "1": [3, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 26], "r": [3, 5, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 22, 26], "neq": [3, 8, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 26], "wz\u00f3r": 3, "de": 3, "rozwi\u0105za\u0144": [3, 26], "m": [5, 13, 14, 26], "cia\u0142o": [5, 8, 26], "warto\u015bci": [5, 12], "zmieniaj\u0105": [5, 26], "si\u0119": [5, 6, 21, 22], "sk\u0142adani": [5, 11], "odwzorowa\u0144": 5, "przyk\u0142ad": [5, 8, 11, 26], "ego": 5, "iloczyn": [5, 7, 26], "macierz": [6, 11, 26], "liczbi": [6, 26], "postaci": [6, 9, 21], "macierzi": [7, 9, 10, 11, 26], "r\u00f3wna\u0144": [7, 10, 26], "dzia\u0142ania": [8, 26], "wektori": [8, 9, 10, 26], "niezale\u017cni": [8, 11], "5": [8, 20, 26], "przestrzeni": [9, 10, 26], "p\u0142aszczyzni": [9, 26], "generatori": 9, "wektor\u00f3w": [9, 11, 26], "przestrze\u0144": [9, 10], "z\u0142o\u017conej": 9, "baza": [10, 26], "uk\u0142ad": [10, 26], "liniowych": [10, 26], "dzia\u0142a\u0144": [10, 26], "liniow": [11, 20, 26], "odwrotna": [12, 14, 26], "funkcja": [13, 14, 18, 19, 21, 22, 26], "ci\u0105g\u0142": [14, 18, 26], "o": [16, 20, 21, 26], "interpretacja": [16, 26], "suma": [16, 26], "funkcj": [19, 26], "rz\u0119du": [19, 20, 26], "funkcji": [20, 21, 26], "pochodna": [20, 21, 26], "pochodn": [20, 26], "tw": 20, "lagrang": 20, "zastosowani": [20, 26], "maksimum": 21, "granic": [23, 26], "w\u0142asno\u015bci": [23, 26], "obliczani": 23, "pochodnej": 23, "ekstrema": 23, "badani": 23, "wypuk\u0142o\u015bci": 23, "asymptoti": 23, "niniejsza": 26, "strona": 26, "po\u015bwi\u0119cona": 26, "matematyc": 26, "studiach": 26, "wy\u017cszych": 26, "szczeg\u00f3lno\u015bci": 26, "nast\u0119puj\u0105cym": 26, "przedmiotom": 26, "matematyka": 26, "metodi": 26, "analizi": 26, "algebraicznej": 26, "fizyc": 26, "algebra": 26, "zestaw": 26, "zadani": 26, "liczb": 26, "zespolonych": 26, "dzieleni": 26, "sprz\u0119\u017ceni": 26, "modu\u0142": 26, "zespolonej": 26, "posta\u0107": 26, "trygonometryczna": 26, "liczyb": 26, "wyk\u0142adnicza": 26, "zasadnicz": 26, "twierdzeni": 26, "algebri": 26, "macierzach": 26, "element\u00f3w": 26, "przek\u0105tnych": 26, "symetryczn": 26, "antysymetryczn": 26, "wyznacznik": 26, "uk\u0142adi": 26, "wyznaczani": 26, "rozwi\u0105zywani": 26, "uk\u0142ad\u00f3w": 26, "elementarn": 26, "kt\u00f3re": 26, "geometria": 26, "analityczna": 26, "wektorach": 26, "wektorow": 26, "podprzestrzeni": 26, "liniowa": 26, "zale\u017cno\u015b\u0107": 26, "odwzorowania": 26, "\u0107wiczenia": 26, "kartezja\u0144ski": 26, "ci\u0105gi": 26, "wa\u017cn": 26, "ci\u0105g\u0142ych": 26, "przyk\u0142adi": 26, "krzywej": 26, "r\u00f3\u017cniczkowani": 26, "pochodnych": 26, "maj\u0105": 26, "trygonometrycznych": 26, "wyk\u0142adniczej": 26, "logarytmiczna": 26, "mechanika": 26, "kolejno\u015b\u0107": 26, "tre\u015bci": 26, "stroni": 26, "generowana": 26, "automatyczni": 26, "skrypt": 26, "co\u015b": 26, "u\u0142o\u017con": 26, "z\u0142ej": 26, "kolejno\u015bci": 26, "bardzo": 26, "prosz\u0119": 26, "zg\u0142oszeni": 26, "faktu": 26, "naszym": 26, "githubi": 26, "link": 26, "zapraszam": 26, "przegl\u0105dania": 26, "kodu": 26, "\u017ar\u00f3d\u0142owego": 26, "repozytorium": 26, "github": 26}, "objects": {}, "objtypes": {}, "objnames": {}, "titleterms": {"how": 0, "ot": 0, "us": 0, "algebra": [1, 2], "zestaw": [1, 2, 4], "1": [1, 2], "zadani": [1, 2, 4], "5": [1, 2], "cia\u0142o": [1, 3], "liczb": [1, 3], "zespolonych": [1, 3], "dzieleni": [1, 3], "sprz\u0119\u017ceni": [1, 3], "modu\u0142": [1, 3], "liczbi": [1, 3], "zespolonej": [1, 3], "posta\u0107": [1, 3], "trygonometryczna": [1, 3], "liczyb": [1, 3], "pot\u0119gowani": [1, 3], "w": [1, 3, 7, 18], "postaci": [1, 3], "trygonometrycznej": [1, 3], "wyk\u0142adnicza": [1, 3], "wyk\u0142adniczej": [1, 3, 16], "zasadnicz": [1, 3], "twierdzeni": [1, 3, 5, 13, 14, 17, 18, 19, 21, 22], "algebri": [1, 3], "2": [1, 4], "4": [1, 4, 14], "przyk\u0142ad": [1, 4], "macierz": [1, 5, 10], "zerowa": [1, 5, 9], "diagonalna": [1, 5], "dzia\u0142ania": [1, 5, 7, 16], "na": [1, 5, 7, 16], "macierzach": [1, 5], "w\u0142asno\u015bci": [1, 5, 6, 12, 13], "dzia\u0142a\u0144": [1, 5], "suma": [1, 5], "element\u00f3w": [1, 5], "przek\u0105tnych": [1, 5], "symetryczn": [1, 5], "i": [1, 5], "antysymetryczn": [1, 5], "wyznacznik": [1, 5], "macierzi": [1, 5, 6], "definicja": [1, 5, 16, 20], "zmiani": [1, 5], "nie": [1, 5, 7, 16], "zmieniaj\u0105c": [1, 5], "wyznacznika": [1, 5], "odwrotna": [1, 5], "obliczani": [1, 6], "odwrotnej": [1, 6, 14], "algorytm": [1, 6], "gausa": [1, 6], "uk\u0142adi": [1, 6], "r\u00f3wna\u0144": [1, 6], "liniowych": [1, 6, 11], "uk\u0142ad": [1, 6, 9], "crammerowski": [1, 6], "wyznaczani": [1, 6], "rz\u0119du": [1, 6], "rozwi\u0105zywani": [1, 6], "uk\u0142ad\u00f3w": [1, 6], "m": [1, 6], "neq": [1, 6], "n": [1, 6], "elementarn": [1, 7], "kt\u00f3re": [1, 7, 16], "zmieniaj\u0105": [1, 7], "rozwi\u0105za\u0144": [1, 7], "geometria": [1, 7], "analityczna": [1, 7], "wektori": [1, 7], "wektorach": [1, 7], "p\u0142aszczyzni": [1, 7], "przestrzeni": [1, 7, 8], "mathbb": [1, 7], "r": [1, 7], "3": [1, 7], "wektorow": [1, 8], "przestrze\u0144": [1, 8], "wektorowa": [1, 8], "podprzestrzeni": [1, 8], "liniow": [1, 8, 10], "liniowa": [1, 8, 9], "zale\u017cno\u015b\u0107": [1, 8], "wektor\u00f3w": [1, 8], "generatori": [1, 8], "kombinacja": [1, 9], "pow\u0142oka": [1, 9], "niezale\u017cni": [1, 9], "baza": [1, 9], "przej\u015bcia": [1, 10], "odwzorowania": [1, 10], "reprezencacja": [1, 11], "macierzowa": [1, 11], "odwzorowa\u0144": [1, 11], "matematyka": [1, 12, 24], "\u0107wiczenia": [1, 24, 25], "wz\u00f3r": [1, 13, 20, 24], "sterlinga": [1, 13, 24], "iloczyn": [1, 12], "kartezja\u0144ski": [1, 12], "funkcja": [1, 12], "funkcji": [1, 12, 13, 14, 16, 17, 22, 23], "badani": [1, 12], "fnkcji": [1, 12], "sk\u0142adani": [1, 12], "ci\u0105gi": [1, 13], "wa\u017cn": [1, 13], "granic": [1, 13], "funkcj": [1, 13], "ci\u0105g\u0142": [1, 13], "ci\u0105g\u0142ych": [1, 13, 14], "o": [1, 13, 14, 18, 22], "lokalnym": [1, 13, 18], "zachowaniu": [1, 13], "znaku": [1, 13], "bezuta": [1, 13], "w\u0142asono\u015b\u0107": [1, 13], "garbouta": [1, 13], "osi\u0105ganiu": [1, 14], "kres\u00f3w": [1, 14], "ci\u0105g\u0142o\u015bci": [1, 14], "z\u0142o\u017conej": [1, 14], "dzia\u0142aniach": [1, 14], "dla": [1, 14], "przyk\u0142adi": [1, 14, 16], "interpretacja": [1, 15], "krzywej": [1, 15], "r\u00f3\u017cniczkowani": [1, 16], "pochodnej": [1, 16], "pochodnych": [1, 16, 18], "maj\u0105": [1, 16], "pochodn": [1, 16], "trygonometrycznych": [1, 16], "pochodna": [1, 16, 17], "iloczynu": [1, 17], "ilorazu": [1, 17], "z\u0142o\u017cenia": [1, 17], "logarytmiczna": [1, 17], "zastosowani": [1, 18], "maksimum": [1, 18], "lokaln": [1, 18, 21], "zerowaniu": [1, 18], "si\u0119": [1, 18], "lagrang": [1, 18, 19], "warto\u015bci": [1, 18], "\u015bredniej": [1, 18], "coushi": [1, 18], "ego": [1, 18], "wnioski": [1, 19], "tw": [1, 19], "agh": [1, 19], "regu\u0142a": [1, 19], "de": [1, 19], "l": [1, 19], "hospitala": [1, 19], "poj\u0119ci": [1, 20], "r\u00f3\u017cniczki": [1, 20], "oznaczenia": [1, 20], "taylora": [1, 20], "maclaurina": [1, 20], "reszta": [1, 21], "peano": [1, 21], "ekstrema": [1, 21], "zadania": [1, 22], "wypuk\u0142o\u015b\u0107": [1, 22], "wypuk\u0142o\u015bci": [1, 22], "asymptoti": [1, 22], "sporz\u0105dzani": [1, 23], "wykres\u00f3w": [1, 23], "mechanika": [1, 25], "gradient": [1, 25], "wst\u0119p": 26, "zawarto\u015b\u0107": 26}, "envversion": {"sphinx.domains.c": 3, "sphinx.domains.changeset": 1, "sphinx.domains.citation": 1, "sphinx.domains.cpp": 9, "sphinx.domains.index": 1, "sphinx.domains.javascript": 3, "sphinx.domains.math": 2, "sphinx.domains.python": 4, "sphinx.domains.rst": 2, "sphinx.domains.std": 2, "sphinx": 60}, "alltitles": {"How ot use?": [[0, "how-ot-use"]], "ALGEBRA": [[1, "algebra"], [2, "algebra"]], "Zestaw 1 zadanie 5": [[1, "zestaw-1-zadanie-5"], [2, "zestaw-1-zadanie-5"]], "Cia\u0142o liczb zespolonych": [[1, "cialo-liczb-zespolonych"], [3, "cialo-liczb-zespolonych"]], "Dzielenie": [[1, "dzielenie"], [3, "dzielenie"]], "Sprz\u0119\u017cenie": [[1, "sprzezenie"], [3, "sprzezenie"]], "modu\u0142 liczby zespolonej": [[1, "modul-liczby-zespolonej"], [3, "modul-liczby-zespolonej"]], "Posta\u0107 trygonometryczna liczyb zespolonej": [[1, "postac-trygonometryczna-liczyb-zespolonej"], [3, "postac-trygonometryczna-liczyb-zespolonej"]], "pot\u0119gowanie liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej": [[1, "potegowanie-liczby-zespolonej-w-postaci-trygonometrycznej"], [3, "potegowanie-liczby-zespolonej-w-postaci-trygonometrycznej"]], "posta\u0107 wyk\u0142adnicza": [[1, "postac-wykladnicza"], [3, "postac-wykladnicza"]], "Sprz\u0119\u017cenie w postaci wyk\u0142adniczej": [[1, null], [3, null]], "zasadnicze twierdzenie algebry": [[1, "zasadnicze-twierdzenie-algebry"], [3, "zasadnicze-twierdzenie-algebry"]], "Zestaw 2 zadanie 4, przyk\u0142ad a": [[1, "zestaw-2-zadanie-4-przyklad-a"], [4, "zestaw-2-zadanie-4-przyklad-a"]], "Macierze": [[1, "macierze"], [5, "macierze"]], "Macierz zerowa": [[1, null], [5, null]], "Macierz diagonalna": [[1, null], [5, null]], "Dzia\u0142ania na macierzach": [[1, "dzialania-na-macierzach"], [5, "dzialania-na-macierzach"]], "W\u0142asno\u015bci dzia\u0142a\u0144": [[1, "wlasnosci-dzialan"], [5, "wlasnosci-dzialan"]], "Suma element\u00f3w na przek\u0105tnych": [[1, "suma-elementow-na-przekatnych"], [5, "suma-elementow-na-przekatnych"]], "Macierze symetryczne i antysymetryczne": [[1, "macierze-symetryczne-i-antysymetryczne"], [5, "macierze-symetryczne-i-antysymetryczne"]], "Twierdzenie": [[1, null], [1, null], [5, null], [21, null]], "Wyznacznik macierzy": [[1, "wyznacznik-macierzy"], [5, "wyznacznik-macierzy"]], "Definicja": [[1, null], [1, null], [5, null], [20, null]], "zmiany na macierzy nie zmieniaj\u0105ce wyznacznika": [[1, "zmiany-na-macierzy-nie-zmieniajace-wyznacznika"], [5, "zmiany-na-macierzy-nie-zmieniajace-wyznacznika"]], "Macierz odwrotna": [[1, "macierz-odwrotna"], [5, "macierz-odwrotna"]], "Obliczanie macierzy odwrotnej": [[1, "obliczanie-macierzy-odwrotnej"], [6, "obliczanie-macierzy-odwrotnej"]], "Algorytm gausa": [[1, null], [6, null]], "W\u0142asno\u015bci macierzy odwrotnej": [[1, "wlasnosci-macierzy-odwrotnej"], [6, "wlasnosci-macierzy-odwrotnej"]], "Uk\u0142ady r\u00f3wna\u0144 liniowych": [[1, "uklady-rownan-liniowych"], [6, "uklady-rownan-liniowych"]], "Uk\u0142ad r\u00f3wna\u0144": [[1, "uklad-rownan"], [6, "uklad-rownan"]], "uk\u0142ady crammerowskie": [[1, null], [6, null]], "Wyznaczanie rz\u0119du": [[1, "wyznaczanie-rzedu"], [6, "wyznaczanie-rzedu"]], "Rozwi\u0105zywanie uk\u0142ad\u00f3w r\u00f3wna\u0144 m \\neq n": [[1, "rozwiazywanie-ukladow-rownan-m-neq-n"], [6, "rozwiazywanie-ukladow-rownan-m-neq-n"]], "Dzia\u0142ania elementarne, kt\u00f3re nie zmieniaj\u0105 rozwi\u0105za\u0144": [[1, "dzialania-elementarne-ktore-nie-zmieniaja-rozwiazan"], [7, "dzialania-elementarne-ktore-nie-zmieniaja-rozwiazan"]], "Geometria Analityczna": [[1, "geometria-analityczna"], [7, "geometria-analityczna"]], "Wektory": [[1, "wektory"], [7, "wektory"]], "Dzia\u0142ania na wektorach": [[1, "dzialania-na-wektorach"], [7, "dzialania-na-wektorach"]], "P\u0142aszczyzny w przestrzeni \\mathbb{R}^3": [[1, "plaszczyzny-w-przestrzeni-mathbb-r-3"], [7, "plaszczyzny-w-przestrzeni-mathbb-r-3"]], "Przestrzenie wektorowe": [[1, "przestrzenie-wektorowe"], [8, "przestrzenie-wektorowe"]], "Przestrze\u0144 Wektorowa": [[1, null], [8, null]], "Podprzestrzenie liniowe": [[1, "podprzestrzenie-liniowe"], [8, "podprzestrzenie-liniowe"]], "Liniowa zale\u017cno\u015b\u0107 wektor\u00f3w": [[1, "liniowa-zaleznosc-wektorow"], [8, "liniowa-zaleznosc-wektorow"]], "liniowa zale\u017cno\u015b\u0107 wektor\u00f3w": [[1, null], [8, null]], "Generatory": [[1, null], [8, null]], "kombinacja zerowa": [[1, null], [9, null]], "Pow\u0142oka liniowa": [[1, null], [9, null]], "Uk\u0142ad niezale\u017cny": [[1, null], [9, null]], "Baza": [[1, "baza"], [9, "baza"]], "Macierz Przej\u015bcia": [[1, "macierz-przejscia"], [10, "macierz-przejscia"]], "Odwzorowania Liniowe": [[1, "odwzorowania-liniowe"], [10, "odwzorowania-liniowe"]], "Reprezencacja macierzowa odwzorowa\u0144 liniowych": [[1, null], [11, null]], "Matematyka - \u0107wiczenia": [[1, "matematyka-cwiczenia"], [24, "matematyka-cwiczenia"]], "Wz\u00f3r sterlinga": [[1, null], [24, null]], "MATEMATYKA": [[1, "matematyka"], [12, "matematyka"]], "Iloczyn kartezja\u0144ski:": [[1, "iloczyn-kartezjanski"], [12, "iloczyn-kartezjanski"]], "Funkcja": [[1, "funkcja"], [12, "funkcja"]], "w\u0142asno\u015bci funkcji": [[1, "wlasnosci-funkcji"], [12, "wlasnosci-funkcji"]], "badanie w\u0142asno\u015bci fnkcji": [[1, "badanie-wlasnosci-fnkcji"], [12, "badanie-wlasnosci-fnkcji"]], "sk\u0142adanie funkcji": [[1, "skladanie-funkcji"], [12, "skladanie-funkcji"]], "Ci\u0105gi": [[1, "ciagi"], [13, "ciagi"]], "wz\u00f3r Sterlinga": [[1, null], [13, null]], "wa\u017cne granice": [[1, "wazne-granice"], [13, "wazne-granice"]], "Funkcje ci\u0105g\u0142e": [[1, "funkcje-ciagle"], [13, "funkcje-ciagle"]], "W\u0142asno\u015bci funkcji ci\u0105g\u0142ych": [[1, "wlasnosci-funkcji-ciaglych"], [13, "wlasnosci-funkcji-ciaglych"]], "Twierdzenie o lokalnym zachowaniu znaku": [[1, null], [13, null]], "Twierdzenie Bezuta": [[1, null], [13, null]], "w\u0142asono\u015b\u0107 Garbouta": [[1, null], [13, null]], "Twierdzenie o osi\u0105ganiu kres\u00f3w": [[1, null], [14, null]], "Twierdzenie o ci\u0105g\u0142o\u015bci funkcji odwrotnej": [[1, null], [14, null]], "Twierdzenie o ci\u0105g\u0142o\u015bci funkcji z\u0142o\u017conej": [[1, null], [14, null]], "Twierdzenie o 4 dzia\u0142aniach dla funkcji ci\u0105g\u0142ych": [[1, null], [14, null]], "Przyk\u0142ady funkcji ci\u0105g\u0142ych": [[1, "przyklady-funkcji-ciaglych"], [14, "przyklady-funkcji-ciaglych"]], "Interpretacja krzywej": [[1, "interpretacja-krzywej"], [15, "interpretacja-krzywej"]], "R\u00f3\u017cniczkowanie": [[1, "rozniczkowanie"], [16, "rozniczkowanie"]], "Definicja pochodnej": [[1, null], [16, null]], "Przyk\u0142ady funkcji pochodnych": [[1, "przyklady-funkcji-pochodnych"], [16, "przyklady-funkcji-pochodnych"]], "Przyk\u0142ady funkcji, kt\u00f3re nie maj\u0105 pochodnych": [[1, "przyklady-funkcji-ktore-nie-maja-pochodnych"], [16, "przyklady-funkcji-ktore-nie-maja-pochodnych"]], "Dzia\u0142ania na pochodnych": [[1, "dzialania-na-pochodnych"], [16, "dzialania-na-pochodnych"]], "Pochodne funkcji trygonometrycznych": [[1, "pochodne-funkcji-trygonometrycznych"], [16, "pochodne-funkcji-trygonometrycznych"]], "Pochodna funkcji wyk\u0142adniczej": [[1, "pochodna-funkcji-wykladniczej"], [16, "pochodna-funkcji-wykladniczej"]], "pochodna iloczynu": [[1, null], [17, null]], "pochodna ilorazu": [[1, null], [17, null]], "twierdzenie": [[1, null], [17, null]], "pochodna z\u0142o\u017cenia funkcji": [[1, null], [17, null]], "Pochodna logarytmiczna": [[1, "pochodna-logarytmiczna"], [17, "pochodna-logarytmiczna"]], "Zastosowanie pochodnych": [[1, "zastosowanie-pochodnych"], [18, "zastosowanie-pochodnych"]], "Maksimum lokalne": [[1, null], [18, null]], "Twierdzenie o zerowaniu si\u0119 pochodnych w maksimum lokalnym": [[1, null], [18, null]], "Twierdzenie Lagrange\u2019a o warto\u015bci \u015bredniej": [[1, null], [18, null]], "Twierdzenie Coushy\u2019ego": [[1, null], [18, null]], "Wnioski Tw. Lagrange\u2019a": [[1, "wnioski-tw-lagrangea"], [19, "wnioski-tw-lagrangea"]], "Twierdzenie AGH": [[1, null], [19, null]], "Regu\u0142a de l\u2019Hospitala": [[1, "regula-de-lhospitala"], [1, null], [19, "regula-de-lhospitala"], [19, null]], "Poj\u0119cie R\u00f3\u017cniczki": [[1, "pojecie-rozniczki"], [20, "pojecie-rozniczki"]], "Oznaczenia": [[1, "oznaczenia"], [20, "oznaczenia"]], "Wz\u00f3r Taylora": [[1, "wzor-taylora"], [20, "wzor-taylora"]], "Wz\u00f3r Maclaurina": [[1, null], [20, null]], "Reszta Peano": [[1, "reszta-peano"], [21, "reszta-peano"]], "Ekstrema lokalne": [[1, "ekstrema-lokalne"], [21, "ekstrema-lokalne"]], "Zadania": [[1, "zadania"], [22, "zadania"]], "Wypuk\u0142o\u015b\u0107 funkcji": [[1, "wypuklosc-funkcji"], [22, "wypuklosc-funkcji"]], "Twierdzenie o wypuk\u0142o\u015bci": [[1, null], [22, null]], "Asymptoty": [[1, "asymptoty"], [22, "asymptoty"]], "Sporz\u0105dzanie wykres\u00f3w funkcji": [[1, "sporzadzanie-wykresow-funkcji"], [23, "sporzadzanie-wykresow-funkcji"]], "Mechanika - \u0106wiczenia": [[1, "mechanika-cwiczenia"], [25, "mechanika-cwiczenia"]], "Gradient": [[1, null], [25, null]], "Wst\u0119p": [[26, "wstep"]], "Zawarto\u015b\u0107:": [[26, null]]}, "indexentries": {}})
\ No newline at end of file
+Search.setIndex({"docnames": ["assets/README", "assets/index", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.09", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.10", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.11_zadanie", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.17", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.24", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.31", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.07", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.14", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.21.2023", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.28.2023", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.09", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.15", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.23", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.24", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.30", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.31", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.06", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.07", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.13", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.14", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.20", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.21", "assets/notes/matematyka_cw/matematyka_cw_2023.10.19", "assets/notes/mechanika_cw/mechanika_cw_24.11.2023", "index"], "filenames": ["assets/README.md", "assets/index.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.09.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.10.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.11_zadanie.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.17.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.24.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.31.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.07.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.14.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.21.2023.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.28.2023.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.09.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.15.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.23.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.24.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.30.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.31.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.06.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.07.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.13.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.14.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.20.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.21.md", "assets/notes/matematyka_cw/matematyka_cw_2023.10.19.md", "assets/notes/mechanika_cw/mechanika_cw_24.11.2023.md", "index.rst"], "titles": ["How ot use?", "ALGEBRA", "ALGEBRA", "Cia\u0142o liczb zespolonych", "Zestaw 2 zadanie 4, przyk\u0142ad a", "Macierze", "Obliczanie macierzy odwrotnej", "Dzia\u0142ania elementarne, kt\u00f3re nie zmieniaj\u0105 rozwi\u0105za\u0144", "Przestrzenie wektorowe", "Baza", "Macierz Przej\u015bcia", "&lt;no title&gt;", "MATEMATYKA", "Ci\u0105gi", "Przyk\u0142ady funkcji ci\u0105g\u0142ych", "Interpretacja krzywej", "R\u00f3\u017cniczkowanie", "Pochodna logarytmiczna", "Zastosowanie pochodnych", "Wnioski Tw. Lagrange\u2019a", "Poj\u0119cie R\u00f3\u017cniczki", "Reszta Peano", "Zadania", "Sporz\u0105dzanie wykres\u00f3w funkcji", "Matematyka - \u0107wiczenia", "Mechanika - \u0106wiczenia", "Wst\u0119p"], "terms": {"after": 0, "ad": 0, "someth": 0, "note": [0, 1], "run": 0, "make": 0, "put": 0, "index": 0, "md": [0, 1], "notatki": 1, "z": [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 22, 25], "pliku": 1, "algebra_2023": 1, "10": 1, "09": 1, "korzystaj\u0105c": [1, 2, 6], "za": [1, 2, 8], "indukcji": [1, 2], "udowodnij": [1, 2], "\u017ce": [1, 2, 3, 5, 8, 9, 13, 16, 20, 21], "dowolnego": [1, 2, 13], "geq": [1, 2, 5, 8, 18, 19], "liczba": [1, 2, 3, 5, 6, 21], "diagonalnych": [1, 2], "konci": [1, 2], "wypuk\u0142ym": [1, 2], "jest": [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26], "niewi\u0119ksza": [1, 2], "ni\u017c": [1, 2, 8, 19], "frac": [1, 2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25], "utworzeni": [1, 2], "wzoru": [1, 2, 20], "liczb\u0119": [1, 2, 5], "k\u0105tu": [1, 2], "6": [1, 2, 20, 22], "tego": [1, 2, 26], "wniosek": [1, 2], "d": [1, 2, 13, 14, 20, 25], "sprawdzeni": [1, 2], "warunku": [1, 2, 10], "leq": [1, 2, 18, 19, 20, 22], "krok": [1, 2], "indukcyjni": [1, 2], "za\u0142\u00f3\u017cmi": [1, 2, 10], "2n": [1, 2], "3n": [1, 2], "5n": [1, 2], "0": [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25], "wtedi": [1, 2, 12, 14, 16, 17, 18], "begin": [1, 2, 5, 7, 12, 15, 18], "matrix": [1, 2, 7, 12, 15, 18], "ind": [1, 2], "mat": [1, 2], "foral": [1, 2, 8, 12, 13, 14, 16, 19], "geq0": [1, 2], "end": [1, 2, 5, 7, 12, 15, 18], "przeciwie\u0144stwi": [1, 3], "do": [1, 3, 5, 6, 8, 12, 14, 16, 20, 22, 26], "rzeczywistych": [1, 3, 21], "mo\u017cna": [1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13], "ich": [1, 3, 5], "przedstawi\u0107": [1, 3, 8, 9, 10, 13], "linearnej": [1, 3], "dlatego": [1, 3], "te\u017c": [1, 3, 17], "powiedzie\u0107": [1, 3], "dana": [1, 3], "ujemna": [1, 3], "dodatnia": [1, 3], "zespolona": [1, 3], "para": [1, 3], "przy": [1, 3, 10, 16], "dzieleniu": [1, 3], "nale\u017ci": [1, 3, 6, 10], "pomno\u017cy\u0107": [1, 3], "przez": [1, 3, 5, 6, 7, 8, 16, 26], "czynnik": [1, 3], "sprz\u0119\u017coni": [1, 3], "tak": [1, 3, 6, 8, 12], "jak": [1, 3, 8], "usuwani": [1, 3], "niewymierno\u015bci": [1, 3], "mianownika": [1, 3], "okre\u015blami": [1, 3, 5], "jako": [1, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13], "bar": [1, 3, 4], "niech": [1, 3, 8, 10, 12, 13, 14, 16], "c": [1, 3, 5, 8, 12, 14, 18, 20, 22], "x": [1, 3, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25], "y": [1, 3, 7, 8, 12, 15, 16, 20, 22, 25], "uto\u017csamiani": [1, 3], "d\u0142ugo\u015bci\u0105": [1, 3], "wektora": [1, 3, 7, 8], "b\u0119d\u0105cego": [1, 3], "interpretacj\u0105": [1, 3], "urojonej": [1, 3], "yi": [1, 3], "sqrt": [1, 3, 4, 13, 15, 16, 19, 22, 24], "r\u00f3wnie\u017c": [1, 3, 14, 21], "exist": [1, 3, 5, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 22], "phi": [1, 3, 4, 10], "co": [1, 3, 5, 7, 15, 16, 17, 19, 20, 22], "land": [1, 3, 8, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 20, 21, 22], "sin": [1, 3, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22], "arg": [1, 3], "tzw": [1, 3, 5, 6, 8], "argument": [1, 3], "g\u0142\u00f3wny": [1, 3], "gdzie": [1, 3, 5, 8, 14], "argz": [1, 3], "pi": [1, 3, 4, 7, 12, 13, 22, 24], "moivr": [1, 3], "z_1": [1, 3], "z_2": [1, 3], "alpha": [1, 3, 6, 7, 8, 10, 16, 20, 22], "beta": [1, 3, 8, 10], "e": [1, 3, 4, 8, 13, 15, 16, 20, 21, 23, 24], "leftrightarrow": [1, 3, 8, 9, 12, 14, 17, 18], "z_k": [1, 3], "root": [1, 3, 14], "2k": [1, 3, 4], "k": [1, 3, 4, 5, 8, 20], "pierwiastek": [1, 3], "stopnia": [1, 3], "ma": [1, 3, 12, 14, 18, 20], "ka\u017cdi": [1, 3, 5, 9], "wielomian": [1, 3, 13], "dodatniego": [1, 3], "rozwi\u0105zania": [1, 3], "11_zadani": 1, "r\u00f3wnani": [1, 4, 7, 12, 16, 20], "spelnion": [1, 4], "dlz": [1, 4], "2i": [1, 4], "3i": [1, 4], "cap": [1, 4], "lor": [1, 4, 22], "17": 1, "oznaczeni": [1, 5], "m_": [1, 5, 6], "time": [1, 5, 12], "wymiari": [1, 5, 8], "kt\u00f3rym": [1, 5], "dwie": [1, 5, 10], "s\u0105": [1, 5, 6, 8, 9, 14, 17, 18, 19], "r\u00f3wne": [1, 5], "gdy": [1, 5, 6, 8, 19], "oraz": [1, 5, 8, 10, 12, 13, 14], "wszystki": [1, 5, 9], "macierz\u0105": [1, 5, 6], "kwadratow\u0105": [1, 5], "nazywami": [1, 5, 7, 8, 11, 12, 16, 20], "kt\u00f3rej": [1, 5, 11], "taka": [1, 5, 8, 14], "0_": [1, 5], "elementi": [1, 5, 8, 9], "niezerow": [1, 5], "le\u017c\u0105": [1, 5], "jedyni": [1, 5], "dodawani": [1, 5, 11], "odejmowani": [1, 5], "kt\u00f3rych": [1, 5, 6, 21, 22], "wyrazi": [1, 5], "wykonujemi": [1, 5], "poprzez": [1, 5], "odpowiednich": [1, 5], "wyraz\u00f3w": [1, 5, 8], "mno\u017ceni": [1, 5, 7, 8, 11], "wyraz": [1, 5], "mno\u017cymi": [1, 5, 6], "transponowani": [1, 5], "wiersz": [1, 5], "kolumni": [1, 5, 8, 11], "A": [1, 5, 6, 8, 9, 12, 19, 25], "musi": [1, 5, 8, 11, 12, 21], "mie\u0107": [1, 5], "tyle": [1, 5], "samo": [1, 5], "kolumn": [1, 5, 7], "wierszi": [1, 5, 7], "dziedziczon": [1, 5], "ze": [1, 5, 10, 12], "zbioru": [1, 5, 8, 12], "\u0142\u0105czne": [1, 5, 8], "al": [1, 5], "przemienn": [1, 5], "jednostkowa": [1, 5], "elementem": [1, 5], "neutralnym": [1, 5], "bmatrix": [1, 5, 12], "t": [1, 5, 6, 7, 8, 15], "ab": [1, 5, 6], "b": [1, 5, 6, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 22], "tr": [1, 5], "vmatrix": [1, 5], "bf": [1, 5, 12, 13, 19], "7": [1, 5, 20], "\u015blad": [1, 5], "przek\u0105tnej": [1, 5], "ka\u017cd\u0105": [1, 5], "rozbi\u0107": [1, 5], "jedna": [1, 5], "symetryczna": [1, 5], "druga": [1, 5, 6, 21], "antysymetryczna": [1, 5], "deta": [1, 5, 6], "a_11": [1, 5], "sum_": [1, 5], "j": [1, 5, 6, 8, 9], "a_ij": [1, 5, 6], "deta_ij": [1, 5], "minor": [1, 5], "powsta\u0142ej": [1, 5], "po": [1, 5], "skre\u015bleniu": [1, 5], "wiersza": [1, 5, 7], "tej": [1, 5, 9, 26], "trujk\u0105tnych": [1, 5], "g\u00f3rnych": [1, 5], "dolnych": [1, 5], "je\u017ce": [1, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22], "jednej": [1, 5], "same": [1, 5], "det": [1, 5], "detb": [1, 5], "detc": [1, 5], "miejscami": [1, 5], "zmieni": [1, 5], "znak": [1, 5, 21], "proporcjonaln": [1, 5], "kolumna": [1, 5], "kombinacj\u0105": [1, 5], "liniow\u0105": [1, 5, 6, 16], "pozosta\u0142ych": [1, 5, 8, 9], "doda\u0107": [1, 5], "kombinacj\u0119": [1, 5], "kwadraow": [1, 5], "osobliwa": [1, 5], "odwracalna": [1, 5], "niosobliwa": [1, 5], "24": [1, 20], "odwracaln": [1, 6], "tworz\u0105": [1, 6], "grup\u0119": [1, 6], "metoda": [1, 6], "dope\u0142nie\u0144": [1, 6], "algebaicznych": [1, 6], "mo\u017cemi": [1, 6, 7], "j\u0105": [1, 6], "obliczy\u0107": [1, 6], "tylko": [1, 6], "ij": [1, 6], "powsta\u0142\u0105": [1, 6], "transponujemi": [1, 6], "k\u0105\u017cdy": [1, 6], "element": [1, 6, 8, 12], "operacji": [1, 6], "elementarnych": [1, 6], "bezwyznacznikiowa": [1, 6], "zestawieni": [1, 6], "blokowej": [1, 6], "jednostkowej": [1, 6], "uda": [1, 6], "sprowadzi\u0107": [1, 6], "cz\u0119\u015b\u0107": [1, 6], "bloku": [1, 6], "b\u0119dzie": [1, 6, 14, 20], "odwrotn\u0105": [1, 6, 10, 14], "uzyska\u0107": [1, 6], "trujk\u0105tn\u0105": [1, 6], "g\u00f3rn\u0105": [1, 6], "przemieszczaj\u0105c": [1, 6], "od": [1, 6, 7], "lewego": [1, 6], "g\u00f3rnego": [1, 6], "rogu": [1, 6], "zerowani": [1, 6], "prawej": [1, 6], "lew\u0105": [1, 6], "stron\u0119": [1, 6], "zapisa\u0107": [1, 6], "taki": [1, 6, 13, 20], "niewiadomych": [1, 6, 7], "r\u00f3wna": [1, 6, 21, 25], "kwadratowa": [1, 6], "w_x": [1, 6], "je\u015bli": [1, 6, 13, 14, 21, 22, 26], "oznaczoni": [1, 6], "wykorzysta\u0107": [1, 6], "rz\u0105d": [1, 6, 7, 8, 9], "najwi\u0119kszi": [1, 6], "stopie\u0144": [1, 6], "niezerowego": [1, 6], "minora": [1, 6], "sprowadzani": [1, 6], "schodkowej": [1, 6], "ilo\u015b\u0107": [1, 6], "schod\u00f3w": [1, 6], "sprzeczni": [1, 6], "je\u017cei": [1, 6], "ro\u017cni": [1, 6], "uzupe\u0142nionej": [1, 6], "31": 1, "skre\u015bleni": [1, 7], "samych": [1, 7], "zer": [1, 7], "jednego": [1, 7], "proporcjonalnych": [1, 7], "dowoln\u0105": [1, 7], "sta\u0142\u0105": [1, 7], "niezerow\u0105": [1, 7], "przestawieni": [1, 7], "uk\u0142adu": [1, 7], "informuj": [1, 7], "il": [1, 7, 16], "danego": [1, 7], "wyliczy\u0107": [1, 7], "wektor": [1, 7, 8, 9, 10], "oznaczac": [1, 7], "\u0142ugo\u015bci": [1, 7], "wersorem": [1, 7], "k\u0105ty": [1, 7], "kierunkow": [1, 7], "k\u0105t": [1, 7], "mi\u0119dzi": [1, 7], "osi\u0105": [1, 7], "wektorem": [1, 7], "cosinu": [1, 7], "kierunkowi": [1, 7], "stosunek": [1, 7], "u_x": [1, 7], "vec": [1, 7, 25], "u": [1, 7, 8], "wersor\u00f3w": [1, 7], "cosinusi": [1, 7], "wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne": [1, 7, 8], "odniesieni": [1, 7], "skalarni": [1, 7], "rozdzielni": [1, 7], "wzgl\u0119dem": [1, 7, 8, 12], "dodawania": [1, 7, 8], "mieszani": [1, 7], "v_1": [1, 7, 8, 9], "v_2": [1, 7, 8, 9], "v_3": [1, 7, 8], "left": [1, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 17, 18, 20, 22, 24], "x_0": [1, 7, 13, 16, 18, 20, 21, 22], "a_x": [1, 7], "": [1, 7], "b_x": [1, 7], "y_0": [1, 7, 16], "a_i": [1, 7], "b_y": [1, 7], "z_0": [1, 7], "a_z": [1, 7], "b_z": [1, 7], "right": [1, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 17, 18, 20, 22, 24], "11": 1, "07": 1, "grup\u0105": [1, 8], "abelow\u0105": [1, 8], "natomiast": [1, 8, 11], "v": [1, 8, 9, 22], "zbiorem": [1, 8], "emptyset": [1, 8], "quad": [1, 8, 9, 16, 18, 19, 20], "wyst\u0119puj": [1, 8, 10], "rozdzielno\u015b\u0107": [1, 8], "mno\u017cenia": [1, 8], "mno\u017ceniu": [1, 8], "sumi": [1, 8, 16], "skalar": [1, 8], "skalar\u00f3w": [1, 8], "neutralni": [1, 8], "mo\u017cliw": [1, 8, 17], "wektorami": [1, 8], "skalarami": [1, 8], "zbi\u00f3r": [1, 8, 10, 12], "tradycyjni": [1, 8], "p\u0142aszczy\u017ani": [1, 8], "dwuwymiarowej": [1, 8], "okre\u015bla": [1, 8], "dwa": [1, 8, 16], "palszczyzni": [1, 8], "podprzestrzeni\u0105": [1, 8, 9], "zadeklarowan": [1, 8], "te": [1, 8], "niej": [1, 8], "wewn\u0119trzn": [1, 8], "innymi": [1, 8], "s\u0142owi": [1, 8], "abi": [1, 8, 10, 11], "sprawdzi\u0107": [1, 8, 10], "czy": [1, 8, 10, 21], "dani": [1, 8, 21], "dwuch": [1, 8], "skalara": [1, 8], "nale\u017ce\u0107": [1, 8, 12], "definicji": [1, 8], "translacja": [1, 8, 10], "dodani": [1, 8, 10], "sta\u0142ej": [1, 8], "ta": [1, 8, 12, 20], "x_1": [1, 8, 10, 14, 16], "x_2": [1, 8, 10, 14, 16], "2x": [1, 8, 16, 22], "2x_1": [1, 8], "2x_2": [1, 8], "analogiczni": [1, 8], "post\u0119powa\u0107": [1, 8], "innych": [1, 8], "liniowo": [1, 8, 9, 10, 11], "niezale\u017cn": [1, 8, 9], "\u017cadnego": [1, 8, 9], "nich": [1, 8, 20], "formi": [1, 8], "kombinacji": [1, 8, 9], "liniowej": [1, 8, 9], "przyk\u0142adowo": [1, 8], "gamma": [1, 8], "bior\u0105c": [1, 8], "pod": [1, 8], "uwag\u0119": [1, 8], "inni": [1, 8, 9], "18": [1, 8], "hat": [1, 8, 9], "To": [1, 8], "jeden": [1, 8, 12], "rz\u0119d\u00f3w": [1, 8], "wyzerowa\u0107": [1, 8], "pomoc\u0105": [1, 8], "budujemi": [1, 8], "wpisanymi": [1, 8], "por\u00f3\u0153nywa\u0107": [1, 8], "ow": [1, 8], "przyr\u00f3wnujemi": [1, 8], "obliczami": [1, 8], "jej": [1, 8, 21], "generator\u00f3w": [1, 8], "pozwalaj\u0105cych": [1, 8], "zapisani": [1, 8], "ka\u017cdego": [1, 8], "innego": [1, 8], "danej": [1, 8, 22], "w_1": [1, 8], "w_2": [1, 8], "theta": [1, 8, 20, 21], "w_n": [1, 8], "oznaczami": [1, 8], "generowan\u0105": [1, 8], "podprzestrze\u0144": [1, 8], "limw": [1, 8], "v_k": [1, 8, 9], "generuj\u0105": [1, 8, 9], "wymiarach": [1, 8], "rowa": [1, 8], "r\u00f3wny": [1, 8], "kt\u00f3ra": [1, 8], "sk\u0142ada": [1, 8], "kolejno": [1, 8], "wpisanych": [1, 8], "wierszach": [1, 8], "tzn": [1, 8], "mo\u017ce": [1, 8, 10], "by\u0107": [1, 8, 10, 11], "wi\u0119cej": [1, 8, 16], "wymiar\u00f3w": [1, 8], "jednak": [1, 8], "oznacza": [1, 8, 9, 21], "kilka": [1, 8], "zale\u017cnych": [1, 8], "swp": 1, "14": 1, "podzbiorami": [1, 9], "wektorowych": [1, 9], "prost": [1, 9, 22], "a_1": [1, 9, 12], "a_2": [1, 9, 12], "a_n": [1, 9, 13], "v_n": [1, 9], "a_k": [1, 9], "przestrzei": [1, 9], "wymiarowej": [1, 9], "generatorami": [1, 9], "wersori": [1, 9], "poniewa\u017c": [1, 9, 13, 16, 18], "opisa\u0107": [1, 9], "tych": [1, 9, 10], "rightarrow": [1, 9, 12, 13, 14, 16, 18, 19, 21, 22], "istotn": [1, 9], "je": [1, 9], "tr\u00f3wny": [1, 9], "nazwa\u0107": [1, 9], "baz\u0105": [1, 9], "wektorow\u0105": [1, 9], "niezale\u017cnych": [1, 9, 10, 11], "wprzestrzeni": [1, 9], "21": 1, "2023": 1, "wekor\u00f3w": [1, 10], "generuj\u0105cych": [1, 10], "wymiar": [1, 10], "liczno\u015b\u0107": [1, 10], "bazi": [1, 10], "kanonicznej": [1, 10], "innej": [1, 10], "rozwi\u0105za\u0107": [1, 10], "b_1": [1, 10], "b_2": [1, 10], "stara": [1, 10], "nowa": [1, 10], "starej": [1, 10], "kombinacj": [1, 10], "wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych": [1, 10], "nowej": [1, 10], "wypisac": [1, 10], "kolumnach": [1, 10], "nast\u0119pni": [1, 10], "znale\u017a\u0107": [1, 10, 16], "p_": [1, 10], "b_": [1, 10], "p": [1, 10, 13, 21], "nad": [1, 10], "tym": [1, 10], "samym": [1, 10], "cia\u0142em": [1, 10], "morfizm": [1, 10], "odwzorowani": [1, 10, 11, 20], "zachodzi": [1, 10], "przestrzeniach": [1, 10], "sta\u0142\u0119j": [1, 10], "spe\u0142nia": [1, 10], "addytywno\u015bci": [1, 10], "oper": [1, 10], "r\u00f3\u017cniczkowania": [1, 10], "dy": [1, 10, 17, 25], "dx": [1, 10, 16, 17, 20, 25], "odwzorowaniem": [1, 10, 12], "liniowym": [1, 10], "odwzorowaniu": [1, 10], "surjekcj\u0105": [1, 10, 12], "to\u017csamo\u015b\u0107": [1, 10], "obu": [1, 10], "zbior\u00f3w": [1, 10], "epimorfizm": [1, 10], "injekcj\u0105": [1, 10, 12], "28": 1, "obraz": [1, 11], "by\u0142": [1, 11], "injektywn": [1, 11], "rzutowani": [1, 11], "p\u0142aszczyzn\u0119": [1, 11, 12], "oi": [1, 11], "reprezentuj": [1, 11], "ns\u0105": [1, 11], "obrazami": [1, 11], "bazowych": [1, 11], "reprezentacj\u0105": [1, 11], "macierzow\u0105": [1, 11], "odwzoorowania": [1, 11], "liniowego": [1, 11], "matematyka_cw": 1, "matematyka_cw_2023": 1, "19": 1, "matematyka_2023": 1, "przedstawiami": [1, 12], "pojedyncz\u0105": [1, 12], "pare": [1, 12], "punkt": [1, 12, 21], "f": [1, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25], "ka\u017cdemu": [1, 12], "elementowi": [1, 12], "zbiour": [1, 12], "przyporz\u0105dkowani": [1, 12], "dok\u0142adni": [1, 12], "dziedzina": [1, 12, 23], "funkcj\u0119": [1, 12, 14, 20], "iniekcj\u0105": [1, 12], "r\u00f3\u017cnowarto\u015bciowym": [1, 12], "bijekcj\u0105": [1, 12], "surjekcja": [1, 12], "rozwi\u0105zani": [1, 12], "injekcja": [1, 12], "jedno": [1, 12], "istniej": [1, 12, 13, 14, 16, 21], "prosta": [1, 12, 16, 22], "r\u00f3wnoleg\u0142a": [1, 12], "ox": [1, 12], "przecina": [1, 12], "wykr": [1, 12, 16, 22], "lub": [1, 12, 16], "wi\u0119cj": [1, 12], "punktach": [1, 12, 21], "dok\u0142\u0105dni": [1, 12], "zw": [1, 12], "symetryczni": [1, 12], "wykresu": [1, 12, 16, 22, 23], "prostej": [1, 12], "zdefiniowana": [1, 12], "arcsin": [1, 12], "g": [1, 12, 14, 17, 18, 19, 23], "h": [1, 12, 13, 14, 16, 18, 19, 20, 21, 22], "cdot": [1, 12], "15": 1, "zbierzno\u015b\u0107": [1, 13], "asymptotyczna": [1, 13], "b_n": [1, 13], "lim_": [1, 13, 16, 19, 22], "logn": [1, 13, 15, 16], "ci\u0105g\u0142a": [1, 13, 14, 18, 20], "punkci": [1, 13, 16, 18, 20, 21, 22], "mimo": [1, 13], "granica": [1, 13], "notin": [1, 13], "punktu": [1, 13], "epsilon": [1, 13], "x_a": [1, 13], "pierwiastkiem": [1, 13, 21], "wielomianu": [1, 13], "w\u0142asnno\u015b\u0107": [1, 13], "przyjmowaniu": [1, 13], "warto\u015bcipo\u015brednich": [1, 13], "23": 1, "ograniczona": [1, 14], "kre": [1, 14], "dolni": [1, 14], "g\u00f3rny": [1, 14], "\u015bci\u015bl": [1, 14], "rosn\u0105ca": [1, 14], "ona": [1, 14], "kt\u00f3rje": [1, 14], "prawdziw": [1, 14], "niec": [1, 14], "dot": [1, 14], "ponadto": [1, 14], "equiv": [1, 14, 19], "const": [1, 14, 19], "c_1": [1, 14], "c_2": [1, 14], "wielomiani": [1, 14], "funkcjami": [1, 14], "ci\u0105g\u0142ymi": [1, 14], "cosh": [1, 15], "sinh": [1, 15], "tgh": [1, 15], "opi": [1, 15], "parametryczni": [1, 15], "okr\u0105g": [1, 15], "elipsa": [1, 15], "hiperbola": [1, 15], "arsinh": [1, 15], "30": 1, "tg": [1, 16, 17, 22], "podej\u015bci": [1, 16], "geometryczn": [1, 16], "spr\u00f3bujmi": [1, 16], "stycznej": [1, 16, 22], "sieczna": [1, 16], "przechodz\u0105ca": [1, 16], "dowoln": [1, 16], "punkti": [1, 16, 21, 23], "nale\u017c\u0105c": [1, 16], "siecznej": [1, 16], "przechodz\u0105cej": [1, 16], "granic\u0119": [1, 16], "pochodn\u0105": [1, 16], "oznaczymi": [1, 16], "df": [1, 16, 20], "geometryczna": [1, 16], "k\u0105ta": [1, 16], "nachylenia": [1, 16], "fykresu": [1, 16], "ax": [1, 16, 22], "to0": [1, 16], "arctg": [1, 16, 17, 22], "rac": [1, 16], "zaawansowani": [1, 16], "kalkul": [1, 16], "prawd\u0105": [1, 16], "stwierdzeni": [1, 16], "stosownych": [1, 16], "za\u0142o\u017ceniach": [1, 16], "operacj\u0105": [1, 16], "ax_1": [1, 16], "ax_2": [1, 16], "2sin": [1, 16, 22], "r\u00f3\u017cniczkowaln": [1, 17, 18, 19], "fg": [1, 17], "ctg": [1, 17], "log_a": [1, 17], "ln": [1, 17, 20], "z\u0142o\u017ceni": [1, 17], "r\u00f3\u017cniczkowalna": [1, 17, 18, 19, 20], "dh": [1, 17], "dz": [1, 17, 25], "06": 1, "q": [1, 18, 21], "setminu": [1, 18], "delta": [1, 18, 20], "niemalej\u0105ca": [1, 19], "nierosn\u0105ca": [1, 19], "color": [1, 19], "red": [1, 19], "white": [1, 19], "green": [1, 19], "black": [1, 19], "ni\u017cszego": [1, 19], "r\u00f3wnego": [1, 19], "asymptotyczni": [1, 19], "r\u00f3wnowa\u017cn": [1, 19], "13": 1, "r\u00f3\u017cniczk\u0105": [1, 20], "funkcj\u0105": [1, 20], "klasi": [1, 20, 22], "text": [1, 20, 21, 22], "przedzia\u0142u": [1, 20], "psi": [1, 20], "ostatni": [1, 20], "r\u00f3wnaniem": [1, 20], "reszt\u0105": [1, 20], "rozwini\u0119ci": [1, 20], "r_n": [1, 20], "sigma_": [1, 20], "choos": [1, 20], "oblicze\u0144": [1, 20], "przybli\u017conych": [1, 20], "120": [1, 20], "720": [1, 20], "approx": [1, 20], "liczb\u0105": [1, 21], "wymiern\u0105": [1, 21], "przypu\u015b\u0107mi": [1, 21], "przest\u0119pn\u0105": [1, 21], "wiielomianu": [1, 21], "wsp\u00f3\u0142czynnikah": [1, 21], "osi\u0105ga": [1, 21], "extremum": [1, 21], "ot": [1, 21], "spe\u0142nion": [1, 21], "odwrotn": [1, 21], "zeruj": [1, 21], "punktem": [1, 21], "podejrzanym": [1, 21], "oe": [1, 21], "ekstremum": [1, 21], "podejrzan": [1, 21], "ekstrenum": [1, 21], "znajduj\u0105": [1, 21], "szukani": [1, 21], "ekstrem\u00f3w": [1, 21], "zmienia\u0107": [1, 21], "posiada": [1, 21], "minimum": [1, 21], "wskazuj": [1, 21], "20": 1, "kwadratoweo": [1, 22], "arkusza": [1, 22], "blachi": [1, 22], "wycinami": [1, 22], "kwadratow": [1, 22], "kawa\u0142ki": [1, 22], "rogach": [1, 22], "czego": [1, 22], "powstaj": [1, 22], "nam": [1, 22], "pude\u0142ko": [1, 22], "jaka": [1, 22], "najwi\u0119ksza": [1, 22], "obj\u0119to\u015b\u0107": [1, 22], "szukami": [1, 22], "najwi\u0119ksz\u0105": [1, 22], "warto\u015b\u0107": [1, 22], "przedzial": [1, 22], "4x": [1, 22], "6x": [1, 22], "wypuk\u0142\u0105": [1, 22], "ku": [1, 22], "g\u00f3rze": [1, 22], "pewnym": [1, 22], "otoczeniu": [1, 22], "poni\u017cej": [1, 22, 26], "wypuk\u0142a": [1, 22], "do\u0142owi": [1, 22], "tm": [1, 22], "powy\u017cej": [1, 22], "zbli\u017ca": [1, 22], "dowolni": [1, 22], "blisko": [1, 22], "r\u00f3wnaniu": [1, 22], "asymptot\u0105": [1, 22], "uko\u015bn\u0105": [1, 22], "infti": [1, 22, 23], "rightleftarrow": [1, 22], "faza": [1, 23], "kra\u0144cach": [1, 23], "charakterystyczn": [1, 23], "typu": [1, 23], "szczeg\u00f3ln": [1, 23], "np": [1, 23], "parzysta": [1, 23], "okresowo\u015b\u0107": [1, 23], "szkic": [1, 23], "poprawki": [1, 23], "wykresi": [1, 23], "przegi\u0119cia": [1, 23], "monotoniczno\u015b\u0107": [1, 23], "drugiej": [1, 23], "uko\u015bn": [1, 23], "mechanika_cw": 1, "mechanika_cw_24": 1, "si\u0142\u0105": [1, 25], "zachowawcza": [1, 25], "praca": [1, 25], "si\u0142i": [1, 25], "dowolnym": [1, 25], "zamkni\u0119tym": [1, 25], "torz": [1, 25], "grad": [1, 25], "dla": [2, 5, 7, 8, 13, 16, 18, 20, 22], "n": [2, 3, 5, 9, 13, 14, 16, 20, 21, 24, 26], "mathbb": [2, 3, 4, 5, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 19, 20, 21, 26], "4": [2, 8, 20, 22, 26], "w": [2, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 16, 20, 21, 22, 23, 26], "2": [2, 3, 5, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26], "3": [2, 4, 5, 8, 9, 11, 20, 21, 22, 26], "na": [2, 6, 8, 11, 12, 22, 23, 25, 26], "nie": [3, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 21, 26], "i": [3, 4, 6, 8, 9, 10, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 23, 26], "1": [3, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 26], "r": [3, 5, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 22, 26], "neq": [3, 8, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 26], "wz\u00f3r": 3, "de": 3, "rozwi\u0105za\u0144": [3, 26], "m": [5, 13, 14, 26], "cia\u0142o": [5, 8, 26], "warto\u015bci": [5, 12], "zmieniaj\u0105": [5, 26], "si\u0119": [5, 6, 8, 21, 22], "sk\u0142adani": [5, 11], "odwzorowa\u0144": 5, "przyk\u0142ad": [5, 8, 11, 26], "ego": 5, "iloczyn": [5, 7, 26], "macierz": [6, 8, 11, 26], "liczbi": [6, 26], "postaci": [6, 9, 21], "macierzi": [7, 8, 9, 10, 11, 26], "r\u00f3wna\u0144": [7, 10, 26], "dzia\u0142ania": [8, 26], "wektori": [8, 9, 10, 26], "niezale\u017cni": [8, 11], "5": [8, 20, 26], "macierzach": [8, 26], "wektorach": [8, 26], "przestrzeni": [9, 10, 26], "p\u0142aszczyzni": [9, 26], "generatori": 9, "wektor\u00f3w": [9, 11, 26], "przestrze\u0144": [9, 10], "z\u0142o\u017conej": 9, "baza": [10, 26], "uk\u0142ad": [10, 26], "liniowych": [10, 26], "dzia\u0142a\u0144": [10, 26], "liniow": [11, 20, 26], "odwrotna": [12, 14, 26], "funkcja": [13, 14, 18, 19, 21, 22, 26], "ci\u0105g\u0142": [14, 18, 26], "o": [16, 20, 21, 26], "interpretacja": [16, 26], "suma": [16, 26], "funkcj": [19, 26], "rz\u0119du": [19, 20, 26], "funkcji": [20, 21, 26], "pochodna": [20, 21, 26], "pochodn": [20, 26], "tw": 20, "lagrang": 20, "zastosowani": [20, 26], "maksimum": 21, "granic": [23, 26], "w\u0142asno\u015bci": [23, 26], "obliczani": 23, "pochodnej": 23, "ekstrema": 23, "badani": 23, "wypuk\u0142o\u015bci": 23, "asymptoti": 23, "niniejsza": 26, "strona": 26, "po\u015bwi\u0119cona": 26, "matematyc": 26, "studiach": 26, "wy\u017cszych": 26, "szczeg\u00f3lno\u015bci": 26, "nast\u0119puj\u0105cym": 26, "przedmiotom": 26, "matematyka": 26, "metodi": 26, "analizi": 26, "algebraicznej": 26, "fizyc": 26, "algebra": 26, "zestaw": 26, "zadani": 26, "liczb": 26, "zespolonych": 26, "dzieleni": 26, "sprz\u0119\u017ceni": 26, "modu\u0142": 26, "zespolonej": 26, "posta\u0107": 26, "trygonometryczna": 26, "liczyb": 26, "wyk\u0142adnicza": 26, "zasadnicz": 26, "twierdzeni": 26, "algebri": 26, "element\u00f3w": 26, "przek\u0105tnych": 26, "symetryczn": 26, "antysymetryczn": 26, "wyznacznik": 26, "uk\u0142adi": 26, "wyznaczani": 26, "rozwi\u0105zywani": 26, "uk\u0142ad\u00f3w": 26, "elementarn": 26, "kt\u00f3re": 26, "geometria": 26, "analityczna": 26, "wektorow": 26, "podprzestrzeni": 26, "liniowa": 26, "zale\u017cno\u015b\u0107": 26, "odwzorowania": 26, "\u0107wiczenia": 26, "kartezja\u0144ski": 26, "ci\u0105gi": 26, "wa\u017cn": 26, "ci\u0105g\u0142ych": 26, "przyk\u0142adi": 26, "krzywej": 26, "r\u00f3\u017cniczkowani": 26, "pochodnych": 26, "maj\u0105": 26, "trygonometrycznych": 26, "wyk\u0142adniczej": 26, "logarytmiczna": 26, "mechanika": 26, "kolejno\u015b\u0107": 26, "tre\u015bci": 26, "stroni": 26, "generowana": 26, "automatyczni": 26, "skrypt": 26, "co\u015b": 26, "u\u0142o\u017con": 26, "z\u0142ej": 26, "kolejno\u015bci": 26, "bardzo": 26, "prosz\u0119": 26, "zg\u0142oszeni": 26, "faktu": 26, "naszym": 26, "githubi": 26, "link": 26, "zapraszam": 26, "przegl\u0105dania": 26, "kodu": 26, "\u017ar\u00f3d\u0142owego": 26, "repozytorium": 26, "github": 26}, "objects": {}, "objtypes": {}, "objnames": {}, "titleterms": {"how": 0, "ot": 0, "us": 0, "algebra": [1, 2], "zestaw": [1, 2, 4], "1": [1, 2], "zadani": [1, 2, 4], "5": [1, 2], "cia\u0142o": [1, 3], "liczb": [1, 3], "zespolonych": [1, 3], "dzieleni": [1, 3], "sprz\u0119\u017ceni": [1, 3], "modu\u0142": [1, 3], "liczbi": [1, 3], "zespolonej": [1, 3], "posta\u0107": [1, 3], "trygonometryczna": [1, 3], "liczyb": [1, 3], "pot\u0119gowani": [1, 3], "w": [1, 3, 7, 18], "postaci": [1, 3], "trygonometrycznej": [1, 3], "wyk\u0142adnicza": [1, 3], "wyk\u0142adniczej": [1, 3, 16], "zasadnicz": [1, 3], "twierdzeni": [1, 3, 5, 8, 13, 14, 17, 18, 19, 21, 22], "algebri": [1, 3], "2": [1, 4], "4": [1, 4, 14], "przyk\u0142ad": [1, 4], "macierz": [1, 5, 10], "zerowa": [1, 5, 9], "diagonalna": [1, 5], "dzia\u0142ania": [1, 5, 7, 16], "na": [1, 5, 7, 16], "macierzach": [1, 5], "w\u0142asno\u015bci": [1, 5, 6, 12, 13], "dzia\u0142a\u0144": [1, 5], "suma": [1, 5], "element\u00f3w": [1, 5], "przek\u0105tnych": [1, 5], "symetryczn": [1, 5], "i": [1, 5], "antysymetryczn": [1, 5], "wyznacznik": [1, 5], "macierzi": [1, 5, 6], "definicja": [1, 5, 16, 20], "zmiani": [1, 5], "nie": [1, 5, 7, 16], "zmieniaj\u0105c": [1, 5], "wyznacznika": [1, 5], "odwrotna": [1, 5], "obliczani": [1, 6], "odwrotnej": [1, 6, 14], "algorytm": [1, 6], "gausa": [1, 6], "uk\u0142adi": [1, 6], "r\u00f3wna\u0144": [1, 6], "liniowych": [1, 6, 11], "uk\u0142ad": [1, 6, 9], "crammerowski": [1, 6], "wyznaczani": [1, 6], "rz\u0119du": [1, 6], "rozwi\u0105zywani": [1, 6], "uk\u0142ad\u00f3w": [1, 6], "m": [1, 6], "neq": [1, 6], "n": [1, 6, 8], "elementarn": [1, 7], "kt\u00f3re": [1, 7, 16], "zmieniaj\u0105": [1, 7], "rozwi\u0105za\u0144": [1, 7], "geometria": [1, 7], "analityczna": [1, 7], "wektori": [1, 7], "wektorach": [1, 7], "p\u0142aszczyzni": [1, 7], "przestrzeni": [1, 7, 8], "mathbb": [1, 7, 8], "r": [1, 7, 8], "3": [1, 7], "wektorow": [1, 8], "przestrze\u0144": [1, 8], "wektorowa": [1, 8], "podprzestrzeni": [1, 8], "liniow": [1, 8, 10], "liniowa": [1, 8, 9], "zale\u017cno\u015b\u0107": [1, 8], "wektor\u00f3w": [1, 8], "generatori": [1, 8], "o": [1, 8, 13, 14, 18, 22], "geneowaniu": [1, 8], "kombinacja": [1, 9], "pow\u0142oka": [1, 9], "niezale\u017cni": [1, 9], "baza": [1, 9], "przej\u015bcia": [1, 10], "odwzorowania": [1, 10], "reprezencacja": [1, 11], "macierzowa": [1, 11], "odwzorowa\u0144": [1, 11], "matematyka": [1, 12, 24], "\u0107wiczenia": [1, 24, 25], "wz\u00f3r": [1, 13, 20, 24], "sterlinga": [1, 13, 24], "iloczyn": [1, 12], "kartezja\u0144ski": [1, 12], "funkcja": [1, 12], "funkcji": [1, 12, 13, 14, 16, 17, 22, 23], "badani": [1, 12], "fnkcji": [1, 12], "sk\u0142adani": [1, 12], "ci\u0105gi": [1, 13], "wa\u017cn": [1, 13], "granic": [1, 13], "funkcj": [1, 13], "ci\u0105g\u0142": [1, 13], "ci\u0105g\u0142ych": [1, 13, 14], "lokalnym": [1, 13, 18], "zachowaniu": [1, 13], "znaku": [1, 13], "bezuta": [1, 13], "w\u0142asono\u015b\u0107": [1, 13], "garbouta": [1, 13], "osi\u0105ganiu": [1, 14], "kres\u00f3w": [1, 14], "ci\u0105g\u0142o\u015bci": [1, 14], "z\u0142o\u017conej": [1, 14], "dzia\u0142aniach": [1, 14], "dla": [1, 14], "przyk\u0142adi": [1, 14, 16], "interpretacja": [1, 15], "krzywej": [1, 15], "r\u00f3\u017cniczkowani": [1, 16], "pochodnej": [1, 16], "pochodnych": [1, 16, 18], "maj\u0105": [1, 16], "pochodn": [1, 16], "trygonometrycznych": [1, 16], "pochodna": [1, 16, 17], "iloczynu": [1, 17], "ilorazu": [1, 17], "z\u0142o\u017cenia": [1, 17], "logarytmiczna": [1, 17], "zastosowani": [1, 18], "maksimum": [1, 18], "lokaln": [1, 18, 21], "zerowaniu": [1, 18], "si\u0119": [1, 18], "lagrang": [1, 18, 19], "warto\u015bci": [1, 18], "\u015bredniej": [1, 18], "coushi": [1, 18], "ego": [1, 18], "wnioski": [1, 19], "tw": [1, 19], "agh": [1, 19], "regu\u0142a": [1, 19], "de": [1, 19], "l": [1, 19], "hospitala": [1, 19], "poj\u0119ci": [1, 20], "r\u00f3\u017cniczki": [1, 20], "oznaczenia": [1, 20], "taylora": [1, 20], "maclaurina": [1, 20], "reszta": [1, 21], "peano": [1, 21], "ekstrema": [1, 21], "zadania": [1, 22], "wypuk\u0142o\u015b\u0107": [1, 22], "wypuk\u0142o\u015bci": [1, 22], "asymptoti": [1, 22], "sporz\u0105dzani": [1, 23], "wykres\u00f3w": [1, 23], "mechanika": [1, 25], "gradient": [1, 25], "wst\u0119p": 26, "zawarto\u015b\u0107": 26}, "envversion": {"sphinx.domains.c": 3, "sphinx.domains.changeset": 1, "sphinx.domains.citation": 1, "sphinx.domains.cpp": 9, "sphinx.domains.index": 1, "sphinx.domains.javascript": 3, "sphinx.domains.math": 2, "sphinx.domains.python": 4, "sphinx.domains.rst": 2, "sphinx.domains.std": 2, "sphinx": 60}, "alltitles": {"How ot use?": [[0, "how-ot-use"]], "ALGEBRA": [[1, "algebra"], [2, "algebra"]], "Zestaw 1 zadanie 5": [[1, "zestaw-1-zadanie-5"], [2, "zestaw-1-zadanie-5"]], "Cia\u0142o liczb zespolonych": [[1, "cialo-liczb-zespolonych"], [3, "cialo-liczb-zespolonych"]], "Dzielenie": [[1, "dzielenie"], [3, "dzielenie"]], "Sprz\u0119\u017cenie": [[1, "sprzezenie"], [3, "sprzezenie"]], "modu\u0142 liczby zespolonej": [[1, "modul-liczby-zespolonej"], [3, "modul-liczby-zespolonej"]], "Posta\u0107 trygonometryczna liczyb zespolonej": [[1, "postac-trygonometryczna-liczyb-zespolonej"], [3, "postac-trygonometryczna-liczyb-zespolonej"]], "pot\u0119gowanie liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej": [[1, "potegowanie-liczby-zespolonej-w-postaci-trygonometrycznej"], [3, "potegowanie-liczby-zespolonej-w-postaci-trygonometrycznej"]], "posta\u0107 wyk\u0142adnicza": [[1, "postac-wykladnicza"], [3, "postac-wykladnicza"]], "Sprz\u0119\u017cenie w postaci wyk\u0142adniczej": [[1, null], [3, null]], "zasadnicze twierdzenie algebry": [[1, "zasadnicze-twierdzenie-algebry"], [3, "zasadnicze-twierdzenie-algebry"]], "Zestaw 2 zadanie 4, przyk\u0142ad a": [[1, "zestaw-2-zadanie-4-przyklad-a"], [4, "zestaw-2-zadanie-4-przyklad-a"]], "Macierze": [[1, "macierze"], [5, "macierze"]], "Macierz zerowa": [[1, null], [5, null]], "Macierz diagonalna": [[1, null], [5, null]], "Dzia\u0142ania na macierzach": [[1, "dzialania-na-macierzach"], [5, "dzialania-na-macierzach"]], "W\u0142asno\u015bci dzia\u0142a\u0144": [[1, "wlasnosci-dzialan"], [5, "wlasnosci-dzialan"]], "Suma element\u00f3w na przek\u0105tnych": [[1, "suma-elementow-na-przekatnych"], [5, "suma-elementow-na-przekatnych"]], "Macierze symetryczne i antysymetryczne": [[1, "macierze-symetryczne-i-antysymetryczne"], [5, "macierze-symetryczne-i-antysymetryczne"]], "Twierdzenie": [[1, null], [1, null], [5, null], [21, null]], "Wyznacznik macierzy": [[1, "wyznacznik-macierzy"], [5, "wyznacznik-macierzy"]], "Definicja": [[1, null], [1, null], [5, null], [20, null]], "zmiany na macierzy nie zmieniaj\u0105ce wyznacznika": [[1, "zmiany-na-macierzy-nie-zmieniajace-wyznacznika"], [5, "zmiany-na-macierzy-nie-zmieniajace-wyznacznika"]], "Macierz odwrotna": [[1, "macierz-odwrotna"], [5, "macierz-odwrotna"]], "Obliczanie macierzy odwrotnej": [[1, "obliczanie-macierzy-odwrotnej"], [6, "obliczanie-macierzy-odwrotnej"]], "Algorytm gausa": [[1, null], [6, null]], "W\u0142asno\u015bci macierzy odwrotnej": [[1, "wlasnosci-macierzy-odwrotnej"], [6, "wlasnosci-macierzy-odwrotnej"]], "Uk\u0142ady r\u00f3wna\u0144 liniowych": [[1, "uklady-rownan-liniowych"], [6, "uklady-rownan-liniowych"]], "Uk\u0142ad r\u00f3wna\u0144": [[1, "uklad-rownan"], [6, "uklad-rownan"]], "uk\u0142ady crammerowskie": [[1, null], [6, null]], "Wyznaczanie rz\u0119du": [[1, "wyznaczanie-rzedu"], [6, "wyznaczanie-rzedu"]], "Rozwi\u0105zywanie uk\u0142ad\u00f3w r\u00f3wna\u0144 m \\neq n": [[1, "rozwiazywanie-ukladow-rownan-m-neq-n"], [6, "rozwiazywanie-ukladow-rownan-m-neq-n"]], "Dzia\u0142ania elementarne, kt\u00f3re nie zmieniaj\u0105 rozwi\u0105za\u0144": [[1, "dzialania-elementarne-ktore-nie-zmieniaja-rozwiazan"], [7, "dzialania-elementarne-ktore-nie-zmieniaja-rozwiazan"]], "Geometria Analityczna": [[1, "geometria-analityczna"], [7, "geometria-analityczna"]], "Wektory": [[1, "wektory"], [7, "wektory"]], "Dzia\u0142ania na wektorach": [[1, "dzialania-na-wektorach"], [7, "dzialania-na-wektorach"]], "P\u0142aszczyzny w przestrzeni \\mathbb{R}^3": [[1, "plaszczyzny-w-przestrzeni-mathbb-r-3"], [7, "plaszczyzny-w-przestrzeni-mathbb-r-3"]], "Przestrzenie wektorowe": [[1, "przestrzenie-wektorowe"], [8, "przestrzenie-wektorowe"]], "Przestrze\u0144 Wektorowa": [[1, null], [8, null]], "Podprzestrzenie liniowe": [[1, "podprzestrzenie-liniowe"], [8, "podprzestrzenie-liniowe"]], "Liniowa zale\u017cno\u015b\u0107 wektor\u00f3w": [[1, "liniowa-zaleznosc-wektorow"], [8, "liniowa-zaleznosc-wektorow"]], "liniowa zale\u017cno\u015b\u0107 wektor\u00f3w": [[1, null], [8, null]], "Generatory": [[1, null], [8, null]], "Twierdzenie o geneowaniu podprzestrzeni \\mathbb{R}^n": [[1, null], [8, null]], "kombinacja zerowa": [[1, null], [9, null]], "Pow\u0142oka liniowa": [[1, null], [9, null]], "Uk\u0142ad niezale\u017cny": [[1, null], [9, null]], "Baza": [[1, "baza"], [9, "baza"]], "Macierz Przej\u015bcia": [[1, "macierz-przejscia"], [10, "macierz-przejscia"]], "Odwzorowania Liniowe": [[1, "odwzorowania-liniowe"], [10, "odwzorowania-liniowe"]], "Reprezencacja macierzowa odwzorowa\u0144 liniowych": [[1, null], [11, null]], "Matematyka - \u0107wiczenia": [[1, "matematyka-cwiczenia"], [24, "matematyka-cwiczenia"]], "Wz\u00f3r sterlinga": [[1, null], [24, null]], "MATEMATYKA": [[1, "matematyka"], [12, "matematyka"]], "Iloczyn kartezja\u0144ski:": [[1, "iloczyn-kartezjanski"], [12, "iloczyn-kartezjanski"]], "Funkcja": [[1, "funkcja"], [12, "funkcja"]], "w\u0142asno\u015bci funkcji": [[1, "wlasnosci-funkcji"], [12, "wlasnosci-funkcji"]], "badanie w\u0142asno\u015bci fnkcji": [[1, "badanie-wlasnosci-fnkcji"], [12, "badanie-wlasnosci-fnkcji"]], "sk\u0142adanie funkcji": [[1, "skladanie-funkcji"], [12, "skladanie-funkcji"]], "Ci\u0105gi": [[1, "ciagi"], [13, "ciagi"]], "wz\u00f3r Sterlinga": [[1, null], [13, null]], "wa\u017cne granice": [[1, "wazne-granice"], [13, "wazne-granice"]], "Funkcje ci\u0105g\u0142e": [[1, "funkcje-ciagle"], [13, "funkcje-ciagle"]], "W\u0142asno\u015bci funkcji ci\u0105g\u0142ych": [[1, "wlasnosci-funkcji-ciaglych"], [13, "wlasnosci-funkcji-ciaglych"]], "Twierdzenie o lokalnym zachowaniu znaku": [[1, null], [13, null]], "Twierdzenie Bezuta": [[1, null], [13, null]], "w\u0142asono\u015b\u0107 Garbouta": [[1, null], [13, null]], "Twierdzenie o osi\u0105ganiu kres\u00f3w": [[1, null], [14, null]], "Twierdzenie o ci\u0105g\u0142o\u015bci funkcji odwrotnej": [[1, null], [14, null]], "Twierdzenie o ci\u0105g\u0142o\u015bci funkcji z\u0142o\u017conej": [[1, null], [14, null]], "Twierdzenie o 4 dzia\u0142aniach dla funkcji ci\u0105g\u0142ych": [[1, null], [14, null]], "Przyk\u0142ady funkcji ci\u0105g\u0142ych": [[1, "przyklady-funkcji-ciaglych"], [14, "przyklady-funkcji-ciaglych"]], "Interpretacja krzywej": [[1, "interpretacja-krzywej"], [15, "interpretacja-krzywej"]], "R\u00f3\u017cniczkowanie": [[1, "rozniczkowanie"], [16, "rozniczkowanie"]], "Definicja pochodnej": [[1, null], [16, null]], "Przyk\u0142ady funkcji pochodnych": [[1, "przyklady-funkcji-pochodnych"], [16, "przyklady-funkcji-pochodnych"]], "Przyk\u0142ady funkcji, kt\u00f3re nie maj\u0105 pochodnych": [[1, "przyklady-funkcji-ktore-nie-maja-pochodnych"], [16, "przyklady-funkcji-ktore-nie-maja-pochodnych"]], "Dzia\u0142ania na pochodnych": [[1, "dzialania-na-pochodnych"], [16, "dzialania-na-pochodnych"]], "Pochodne funkcji trygonometrycznych": [[1, "pochodne-funkcji-trygonometrycznych"], [16, "pochodne-funkcji-trygonometrycznych"]], "Pochodna funkcji wyk\u0142adniczej": [[1, "pochodna-funkcji-wykladniczej"], [16, "pochodna-funkcji-wykladniczej"]], "pochodna iloczynu": [[1, null], [17, null]], "pochodna ilorazu": [[1, null], [17, null]], "twierdzenie": [[1, null], [17, null]], "pochodna z\u0142o\u017cenia funkcji": [[1, null], [17, null]], "Pochodna logarytmiczna": [[1, "pochodna-logarytmiczna"], [17, "pochodna-logarytmiczna"]], "Zastosowanie pochodnych": [[1, "zastosowanie-pochodnych"], [18, "zastosowanie-pochodnych"]], "Maksimum lokalne": [[1, null], [18, null]], "Twierdzenie o zerowaniu si\u0119 pochodnych w maksimum lokalnym": [[1, null], [18, null]], "Twierdzenie Lagrange\u2019a o warto\u015bci \u015bredniej": [[1, null], [18, null]], "Twierdzenie Coushy\u2019ego": [[1, null], [18, null]], "Wnioski Tw. Lagrange\u2019a": [[1, "wnioski-tw-lagrangea"], [19, "wnioski-tw-lagrangea"]], "Twierdzenie AGH": [[1, null], [19, null]], "Regu\u0142a de l\u2019Hospitala": [[1, "regula-de-lhospitala"], [1, null], [19, "regula-de-lhospitala"], [19, null]], "Poj\u0119cie R\u00f3\u017cniczki": [[1, "pojecie-rozniczki"], [20, "pojecie-rozniczki"]], "Oznaczenia": [[1, "oznaczenia"], [20, "oznaczenia"]], "Wz\u00f3r Taylora": [[1, "wzor-taylora"], [20, "wzor-taylora"]], "Wz\u00f3r Maclaurina": [[1, null], [20, null]], "Reszta Peano": [[1, "reszta-peano"], [21, "reszta-peano"]], "Ekstrema lokalne": [[1, "ekstrema-lokalne"], [21, "ekstrema-lokalne"]], "Zadania": [[1, "zadania"], [22, "zadania"]], "Wypuk\u0142o\u015b\u0107 funkcji": [[1, "wypuklosc-funkcji"], [22, "wypuklosc-funkcji"]], "Twierdzenie o wypuk\u0142o\u015bci": [[1, null], [22, null]], "Asymptoty": [[1, "asymptoty"], [22, "asymptoty"]], "Sporz\u0105dzanie wykres\u00f3w funkcji": [[1, "sporzadzanie-wykresow-funkcji"], [23, "sporzadzanie-wykresow-funkcji"]], "Mechanika - \u0106wiczenia": [[1, "mechanika-cwiczenia"], [25, "mechanika-cwiczenia"]], "Gradient": [[1, null], [25, null]], "Wst\u0119p": [[26, "wstep"]], "Zawarto\u015b\u0107:": [[26, null]]}, "indexentries": {}})
\ No newline at end of file