Przez podstawienie¶
+
+
+Podstawienie
+Niech \(G(y)\) będzie funkcją pierwotną funkcji \(g(y)\) a \(f(x)\) będzie klasy \(C^1\). +Wtedy $\int g(y)dy |_{y = f(x)} = \int g(y) f’(x) dx
+
+
+Wskazówka
+
+\[\begin{split}
+\int \sqrt{1-x^2} dx \\
+x = sin t \\
+dx = cos t dt \\
+\int \sqrt{1-sin^2t} cos t*dt = \\
+= \int cos^2(t) dt = \frac{1}{2} \int 2 cos^2{t} dt = \\
+= \frac{1}{2} \int 1 + cos(2t) dt = \\
+= \frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} sin(2t)) = \\
+\frac{1}{2} arcsin(x) + \frac{1}{2}x \sqrt{1-x^2}\end{split}\]
+
+\[\begin{split}
+I_n = \int \frac{1}{(1+x^2)^n} \\
+I_1 = arctg(x) \\
+I_n = \int \frac{1+x^2 - x^2}{1+x^2} dx = \int \frac{dx}{(1+x^2)^n} - \int \frac{x^2}{(1+x^2)^n}dx = \\
+= I_{n-1} - \int \frac{x^2}{(1+x^2)^n}
+I_n = \frac{1}{2n-2} \frac{x}{(1+x^2)^{n-1}} + \frac{2n-3}{2n-2} I_{n-1}
+\end{split}\]
+Całki funkcji wymiernych¶
+
+\[
+\int \frac{P(x)}{Q(x)} = ?
+\]
+Należy znaleźć rozkład funkcji na ułamki proste:
+f(x) |
+\(\int f(x) dx\) |
+
|---|---|
\(\frac{A}{x-A}\) |
+$ln(x-A) |
+
\(\frac{A}{(x-A)^k}\) |
+\(\frac{-1}{x-1} ....\) |
+
-
+
\(\frac{Cx - B}{(x-p)^2 + q^2}\)
+\(\frac{Cx - B}{((x-p)^2 + q^2)^k}\)
+