From dcd2a55b45f6e19efb8a396873ae410be8968307 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: gucio321 Date: Sun, 7 Jan 2024 15:50:52 +0100 Subject: [PATCH] algebra: figuring out perpendicular vectors --- assets/notes/algebra.md | 4 + assets/notes/algebra/algebra_2024.01.07.md | 88 +++++++++++++++++++ .../matematyka_cw/matematyka_cw_2024.01.04.md | 10 +++ 3 files changed, 102 insertions(+) create mode 100644 assets/notes/algebra/algebra_2024.01.07.md diff --git a/assets/notes/algebra.md b/assets/notes/algebra.md index de1a3961..bcc7e19d 100644 --- a/assets/notes/algebra.md +++ b/assets/notes/algebra.md @@ -48,3 +48,7 @@ _Notatki z pliku `notes/algebra/algebra_2023.12.05.md`_ _Notatki z pliku `notes/algebra/algebra_2023.12.12.md`_ ```{include} ../notes/algebra/algebra_2023.12.12.md ``` +--- +_Notatki z pliku `notes/algebra/algebra_2024.01.07.md`_ +```{include} ../notes/algebra/algebra_2024.01.07.md +``` diff --git a/assets/notes/algebra/algebra_2024.01.07.md b/assets/notes/algebra/algebra_2024.01.07.md new file mode 100644 index 00000000..9efe6b14 --- /dev/null +++ b/assets/notes/algebra/algebra_2024.01.07.md @@ -0,0 +1,88 @@ +## Przestrzenie euklidesowe + +```{admonition} Przestrzeń euklidesowa +to po prostu w dziwny sposób powiedziane "Iloczyn Skalarny". + +To tak aprzestrzeń wektrowoa, nad któ©ą zdefiiowano iloczyn skalarny. + +Oznaczenie: $\mathbb{E}^n$ to $\mathbb{R}^n$ ze zdefiniowanym standardowym iloczynem skalarnym. + +:::{note} +standardowy iloczyn skalarny to funkcja zefiniwoana w następujący sposób + +$$ +u = (u_0, u_1, ... u_n) \\ +w = (w_0, w_1, ... w_n) \\ +s(u, w) = u \dot w = \Sigma_{i=0}^{n} u_i * w_i +$$ +::: +``` + +```{admonition} Norma +Norma to dziwna nazwa na "długość wektora" + +oznaczenie: $||v||$ +:::{note} +- Norma spełnia zasadę liniowości +- $||v|| = 0 \Leftrightarrow v = \bf{0}$ +- $||\alpha v|| = |\alpha| * ||v||$ +::: + +Przestrzeń wektorową ze zdefiniowaną normą nazywamy _Przestrzenią Unormowaną_ +``` + +```{tip} +Jeżeli znamy iloczyn wektorowy możemy od razu zdefiniować normę. +Określamy ją następującym wzorem: + +$$ +||v|| = \sqrt{s(v, v)} +$$ + +Obrazowo: +- iloczynn skalarny $v \dot v$ lub $s(v, v)$ to po prostu z definicji +iloczynu skalarnego długość $v$ pomnożona przez rzut $v$ na $v$ czyli po prostu długość $v$ +podniesiona do kwadratu +- gdy nałożymy na to pierwiastek otrzymamy długość $v$ +``` + +```{admonition} Wektor unormowany +Również znany jako **wersor**. + +Jesto to wektor w przestrzeni V którego norma wynosi `1` + +:::{tip} +Każdy wektor z przestrzeni euklidesowej można unormować. + +$$ +\hat{v} = \frac{v}{||v||} +$$ +::: +``` + +Znając powyższe zależności można określić +miarę kąta między wektorami. + +$$ +cso \angle (u, v) = \frac{u \dot v}{||u|| * ||v||} +$$ + +```{important} +To wszystko nie ma sensu dopuki togo nie zobaczysz, więc polecam + +``` + +```{tip} +W przypadku ww. zależnośći warto rozważyć dwa skrajne przypadki: +- jeżeli wektory są współliniowe, to długość rzutu `u` na `v` ma długość całego `u`, więc $$\frac{\cancel{||u|| * ||v||}}{\cancel{||u||*||v||}} = 1 \Rightarrow cos \angle(u, v) = 0^o$ +- jeżeli wektory są prostopadelk, długość rzutu `u` na `v` ma długość `0` z czego wynika, że $\frac{0 * ||v||}{||u||*||v||} = 0 \Rightarrow cos\angle(u,v) = 90^o$ +``` + +```{admonition} Wektory ortogonalne +To inaczej wektory prostopadłe (aka $u \perp w$). Z tego również wynika, że +$u \dot w = 0$ (ofc w drugą stronę też to działa) +:::{important} +w tym przypadku jednak inna nazwa ma sens, ponieważ pojęcie wektoróœ ortogonalnych ma również +sens w większej liczbie wymiarów (np. 4) +::: +```` diff --git a/assets/notes/matematyka_cw/matematyka_cw_2024.01.04.md b/assets/notes/matematyka_cw/matematyka_cw_2024.01.04.md index f923e75a..88d7be47 100644 --- a/assets/notes/matematyka_cw/matematyka_cw_2024.01.04.md +++ b/assets/notes/matematyka_cw/matematyka_cw_2024.01.04.md @@ -18,3 +18,13 @@ cosh~2x = sinh^2 x + cosh^2x \\ 1 = cosh~x - sinh~1 $$ ``` + +- Podstawienia uniwersalne dla funkcji trygonometrycznych: + +| $tg \frac{x}{2}$ | $cos~x$ | $sin~x$ | $dx$ | +|------------------|-----------------------|--------------------|----------------------| +| $t$ | $\frac{1-t^2}{1+t^2}$ | $\frac{2t}{1+t^2}$ | $\frac{2}{1+t^2} dt$ | + +| $tg~x$ | $cos^2x$ | $sin^2 x$ | $dx$ | +|--------|-------------------|---------------------|-------------------| +| $t$ | $\frac{1}{1+t^2}$ | $\frac{t^2}{1+t^2}$ | $\frac{1}{1+t^2}$ |