diff --git a/.doctrees/assets/index.doctree b/.doctrees/assets/index.doctree index 6b507ece..5c206d01 100644 Binary files a/.doctrees/assets/index.doctree and b/.doctrees/assets/index.doctree differ diff --git a/.doctrees/assets/notes/algebra/algebra_2023.11.14.doctree b/.doctrees/assets/notes/algebra/algebra_2023.11.14.doctree index a989bfa2..e7f6800b 100644 Binary files a/.doctrees/assets/notes/algebra/algebra_2023.11.14.doctree and b/.doctrees/assets/notes/algebra/algebra_2023.11.14.doctree differ diff --git a/.doctrees/environment.pickle b/.doctrees/environment.pickle index 4d06facf..f7fceffd 100644 Binary files a/.doctrees/environment.pickle and b/.doctrees/environment.pickle differ diff --git a/assets/index.html b/assets/index.html index df72efd1..05446484 100644 --- a/assets/index.html +++ b/assets/index.html @@ -626,31 +626,89 @@

Liniowa zależność wektorów +

Baza

+

Układ wektorów (generatorów) można nazwać bazą, jeżeli:

+ +
+

Baza

+

Podsumowując: układ n wektorów-generatorów liniowo niezależnych w przestrzeni n-wymiarowej jest bazą

+
+

Ważne

+

przestrzeń \(\left\{\bf{0}\right\}\) nie posiada bazy.

+

Wskazówka

-

Generatory

-

w przestrzei 2-wymiarowej generatorami są wersory \(\hat{i}\) i \(\hat{j}\), ponieważ każdy inny -wektor w tej przestrzeni można opisać w postaci kombinacji liniowej tych wektorów

+

Najprostszą bazą przestrzeni 3-wymiarowej jet układ wersorów \((\hat{j}, \hat{k}, \hat{l})\)

+
+
+

Reper Bazowy (aka Baza uporządkowana)

+

To uporządkowany ciąg wektorów bazowych.

-
-

Układ niezależny

-

jeżeli \(a_1 v_1+ ... + a_n v_n = 0 \rightarrow a_1...a_n = 0\)

-

Oznacza to, że wszystkie elementy są istotne i żadnego nie można przedstawić jako kombinacji pozostałych.

+
+

Wymiar przestrzeni wektorowej V

+

To liczba eleentów bazy i oznaczamy \(dimX\) gdzie X to przestrzeń.

Informacja

-

wektory generują przestrzeń \(\mathbb{R}^n \Leftrightarrow\) rząd macierzy złożonej -z tych wektorów jes trówny n

+

\(dim{0} = 0\)

+
+
+

Wskazówka

+

Wymiar podprzestrzeni jest mniejszy niż wymiar przestrzeni wyjściowej. +Jeżeli \(dimV = dimW \Rightarrow W = V\)

+
+
+
+

Wskazówka

+

Współrzędnymi wektora nazywamy skalary \(v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n\) +i zapisujemy jako \(v = [\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n]_B\)

-
-

Baza

-

Układ wektorów można nazwać bazą, jeżeli:

-
    -

  • są niezależne liniowo

    • -

  • generują przestrzeń wektorową

    • -

  • układ n wektorów liniowo niezależnych wprzestrzeni n-wymiarowej jest bazą

    • -
+
+

Macierz Przejścia

+
+

Informacja

+

Oznaczenie: \(P_{B \to B'}\)

+
+
+

Macierz przejścia

+

Wektor v należy do przestrzeni liniowej V.

+

W bazie B można zapisać go jako \(v = [x_1, x_2, ..., x_n]_B\) natomiast w bazie \(B'\): +\(v = [x_1', x_2', ..., x_n']_{B'}\)

+

W takim przypadku macierz przejścia można powiązać z wektorami w poszczególnych bazach jako: \(\bf{X = P_{B \to B'} X'}\).

+

X to wypisane w jdenej kolumnie współrzędne w bazie B a \(X'\) - w bazie \(B'\).

+
+\[\begin{split} +X = \begin{Bmatrix} +x_1 \\ +x_2 \\ +... \\ +x_n +\end{Bmatrix} +\quad +X' = \begin{Bmatrix} +x_1' \\ +x_2' \\ +... \\ +x_n' +\end{Bmatrix} +\end{split}\]
+

\(P_{B \to B'}\) to obraz azy \(B'\) w bazie \(B\)

+
+\[\begin{split} +P_{B \to B'} = \begin{Bmatrix} +b_{1_1} & b_{1_2} & ... & b_{1_n} \\ +b_{2_1} & b_{2_2} & ... & b_{2_n} \\ +... & ... & ... & ... \\ +b_{n_1} & b_{n_2} & ... & b_{n_n} \\ +\end{Bmatrix} +\end{split}\]
+

Notatki z pliku notes/algebra/algebra_2023.11.21.2023.md

Jest podprzestrzenią

+
+

Baza

+

Układ wektorów (generatorów) można nazwać bazą, jeżeli:

+ +
+

Baza

+

Podsumowując: układ n wektorów-generatorów liniowo niezależnych w przestrzeni n-wymiarowej jest bazą

+
+

Ważne

+

przestrzeń \(\left\{\bf{0}\right\}\) nie posiada bazy.

+

Wskazówka

-

Generatory

-

w przestrzei 2-wymiarowej generatorami są wersory \(\hat{i}\) i \(\hat{j}\), ponieważ każdy inny -wektor w tej przestrzeni można opisać w postaci kombinacji liniowej tych wektorów

+

Najprostszą bazą przestrzeni 3-wymiarowej jet układ wersorów \((\hat{j}, \hat{k}, \hat{l})\)

+
+
+

Reper Bazowy (aka Baza uporządkowana)

+

To uporządkowany ciąg wektorów bazowych.

-
-

Układ niezależny

-

jeżeli \(a_1 v_1+ ... + a_n v_n = 0 \rightarrow a_1...a_n = 0\)

-

Oznacza to, że wszystkie elementy są istotne i żadnego nie można przedstawić jako kombinacji pozostałych.

+
+

Wymiar przestrzeni wektorowej V

+

To liczba eleentów bazy i oznaczamy \(dimX\) gdzie X to przestrzeń.

Informacja

-

wektory generują przestrzeń \(\mathbb{R}^n \Leftrightarrow\) rząd macierzy złożonej -z tych wektorów jes trówny n

+

\(dim{0} = 0\)

+
+
+

Wskazówka

+

Wymiar podprzestrzeni jest mniejszy niż wymiar przestrzeni wyjściowej. +Jeżeli \(dimV = dimW \Rightarrow W = V\)

+
+
+
+

Wskazówka

+

Współrzędnymi wektora nazywamy skalary \(v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n\) +i zapisujemy jako \(v = [\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n]_B\)

+
+
+
+

Macierz Przejścia

+
+

Informacja

+

Oznaczenie: \(P_{B \to B'}\)

+
+
+

Macierz przejścia

+

Wektor v należy do przestrzeni liniowej V.

+

W bazie B można zapisać go jako \(v = [x_1, x_2, ..., x_n]_B\) natomiast w bazie \(B'\): +\(v = [x_1', x_2', ..., x_n']_{B'}\)

+

W takim przypadku macierz przejścia można powiązać z wektorami w poszczególnych bazach jako: \(\bf{X = P_{B \to B'} X'}\).

+

X to wypisane w jdenej kolumnie współrzędne w bazie B a \(X'\) - w bazie \(B'\).

+
+\[\begin{split} +X = \begin{Bmatrix} +x_1 \\ +x_2 \\ +... \\ +x_n +\end{Bmatrix} +\quad +X' = \begin{Bmatrix} +x_1' \\ +x_2' \\ +... \\ +x_n' +\end{Bmatrix} +\end{split}\]
+

\(P_{B \to B'}\) to obraz azy \(B'\) w bazie \(B\)

+
+\[\begin{split} +P_{B \to B'} = \begin{Bmatrix} +b_{1_1} & b_{1_2} & ... & b_{1_n} \\ +b_{2_1} & b_{2_2} & ... & b_{2_n} \\ +... & ... & ... & ... \\ +b_{n_1} & b_{n_2} & ... & b_{n_n} \\ +\end{Bmatrix} +\end{split}\]
-
-

Baza

-

Układ wektorów można nazwać bazą, jeżeli:

-
    -

  • są niezależne liniowo

    • -

  • generują przestrzeń wektorową

    • -

  • układ n wektorów liniowo niezależnych wprzestrzeni n-wymiarowej jest bazą

    • -
@@ -116,7 +174,14 @@

Baza