+ +
+

Forma kwadratowa – przykłąd

+

niech \(X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}\), +\(A = \begin{bmatrix} a_{11} && a_{12} && a_{13} \\ a_{21} && a_{22} && a_{23} \\ a_{31} && a_{32} && a_{33} \end{bmatrix}\)

+
+\[ +f(x_1, x_2, x_3) = X^{T} * A * X = a_11 x_1^2 + a_22 x_2^2 + a_33 x_3^2 + 2 a_12 x_1 x_2 + 2 a_13 x_1 x_3 + 2 a_23 x_2 x_3 +\]
+

szukamy najmniejszej wartośći tej funkcji na sferze jednostkowej \(1-x_1^2 - x_2^2 - x_3^2 = 0\)

+
+\[ \begin{align}\begin{aligned} +\Phi(x_1, x_2, x_3) = f(x_1, x_2, x_3) + \lambda * g(x_1, x_2, x_3) = a_11 x_1^2 + a_22 x_2^2 + a_33 x_3^2 + 2 a_12 x_1 x_2 + 2 a_13 x_1 x_3 + 2 a_23 x_2 x_3 + \lambda (x_1, x_2, x_3)\\\begin{split}\left\{ \begin{matrix} +\frac{\partial \Phi}{\partial x_1} = 2 a_11 x_1 + 2 a_12 x_2 + 2 a_13 x_3 - 2 \lambda x_1 = 0 \\ +\frac{\partial \Phi}{\partial x_2} = 2 a_22 x_2 + 2 a_12 x_1 + 2 a_23 x_3 - 2 \lambda x_2 = 0 \\ +\frac{\partial \Phi}{\partial x_3} = 2 a_33 x_3 + 2 a_13 x_1 + 2 a_23 x_2 - 2 \lambda x_3 = 0 \\ +g(x_1, x_2, x_3) = 0 \\ +\end{matrix} \right. +\\ +\\ +\left\{ \begin{matrix} +2 * A * X - 2 \begin{bmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \end{bmatrix} \lambda X = 0 \\ +g(x_1, x_2, x_3) = 0 \\ +\end{matrix} \right. = \end{split}\\\begin{split}\left\{ \begin{matrix} +A * X - \lambda X = 0 \\ +g(x_1, x_2, x_3) = 0 \\ +\end{matrix} \right. = \end{split}\end{aligned}\end{align} \]
+
+

twierdzenie

+

Jeżeli szukamy najmniejszej i największej wartośći funkcji \(f(x_1, x_2, x_3) = X^T A X\) na sferze jednostkowej, to +punkty podejrzane to wektory własne macierzy \(A - Z* \lambda\)

+
+
+

Ważne

+

Podsumowanie wykłądu

+
    +

  • \(\Gamma\) euler’a

    • +

  • funkcje wielu zmiennych, różniczkowalność e.t.c. (analogicznie jak dla 1 zmiennej)

    • +

  • pojęcie ciąŋłości (tw. Darbou)

    • +

  • funkcje z \(\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) ciągłość, granice)

    • +

  • różniczkowanie fcji wielu zmiennych; pochodne cząstkowe; różniczka \(df = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} \\ \frac{\partial f}{\partial x_2} \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{bmatrix}\)

    • +

  • ekstrema fcji wielu zmiennych (forma kwadratowa, tw. La’grange’a)

    • +

  • całki (podwójne, potrójne, krzywoliniowe, powierzchniowe, objętościowe, zorientowane, niezorientowane, tw. Stokes’a, tw. Green’a, tw. Gauss’a-Ostrogradskiego, tw. o polu bezźródłowym)

    • +

  • zadania typu oblicz objętość/ppowierzchnię

    • +

  • Reguły GULDINA \(\leftarrow\) przypadkiem zawsze się pojawiają na egzaminie…

    • +
+
+
+ + +
+