diff --git a/.doctrees/assets/notes/algebra.doctree b/.doctrees/assets/notes/algebra.doctree
index 28bfb53f..d7029285 100644
Binary files a/.doctrees/assets/notes/algebra.doctree and b/.doctrees/assets/notes/algebra.doctree differ
diff --git a/.doctrees/assets/notes/algebra/algebra_2023.11.28.2023.doctree b/.doctrees/assets/notes/algebra/algebra_2023.11.28.2023.doctree
index f652e47c..983601b9 100644
Binary files a/.doctrees/assets/notes/algebra/algebra_2023.11.28.2023.doctree and b/.doctrees/assets/notes/algebra/algebra_2023.11.28.2023.doctree differ
diff --git a/.doctrees/assets/notes/algebra/algebra_2023.12.05.doctree b/.doctrees/assets/notes/algebra/algebra_2023.12.05.doctree
new file mode 100644
index 00000000..6ddd21f1
Binary files /dev/null and b/.doctrees/assets/notes/algebra/algebra_2023.12.05.doctree differ
diff --git a/.doctrees/environment.pickle b/.doctrees/environment.pickle
index 35c3b84a..22939d05 100644
Binary files a/.doctrees/environment.pickle and b/.doctrees/environment.pickle differ
diff --git a/assets/notes/algebra.html b/assets/notes/algebra.html
index fdda51c2..de88c2d2 100644
--- a/assets/notes/algebra.html
+++ b/assets/notes/algebra.html
@@ -809,6 +809,85 @@ <h3>Odwzorowania Liniowe<a class="headerlink" href="#odwzorowania-liniowe" title
 <p>Macierz której kolumny nsą <strong>obrazami</strong> wektorów bazowych nazywamy
 reprezentacją macierzową odwzoorowania liniowego</p>
 </div>
+<div class="admonition-jadro admonition">
+<p class="admonition-title">Jądro</p>
+<p>Przeciwobraz wszystkich elementów które przechodzą na 0.</p>
+<p>Obliczamy Je następująco: <span class="math notranslate nohighlight">\(\phi(x) = 0\)</span></p>
+<p>Przykładowo</p>
+<div class="math notranslate nohighlight">
+\[\begin{split}
+\text{dla v w postaci}~v=(x,y,z) \\
+\phi(v) = (2x, y, x+y) \\
+\phi(v) = 0 \\
+(2x, y, x+y) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \land y = 0 \Rightarrow z \in \mathbb{R} \\
+ker\phi = \left\{(0,0,z), z \in \mathbb{R}\right\} \\
+dimKer\phi = 1
+\end{split}\]</div>
+<p><strong>Przeciwobraz</strong> - elementy które “podajemy” do odwzorowania (jak dziedzina funkcji)</p>
+<div class="admonition tip">
+<p class="admonition-title">Wskazówka</p>
+<div class="math notranslate nohighlight">
+\[\begin{split}
+\begin{matrix}
+\text{przeciwobraz} &amp;=&amp; \text{Dziedzina} \\
+\text{Obraz} &amp;=&amp; \text{Zbiór Wartości}
+\end{matrix}
+\end{split}\]</div>
+</div>
+</div>
+<hr class="docutils" />
+<p><em>Notatki z pliku <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">notes/algebra/algebra_2023.12.05.md</span></code></em></p>
+</section>
+</section>
+<section id="endomorfizmy">
+<h2>Endomorfizmy<a class="headerlink" href="#endomorfizmy" title="Link to this heading">¶</a></h2>
+<div class="admonition-endomorfizm admonition">
+<p class="admonition-title">Endomorfizm</p>
+<p><strong>Odwzorowanie liniowe</strong> jednego zbioru na ten sam zbiór.</p>
+</div>
+<div class="admonition note">
+<p class="admonition-title">Informacja</p>
+<p>Zbiór wszystkich endomorfizmów ma strukturę przestrzeni wektorowej</p>
+</div>
+<div class="admonition-phi-niezmiennicza admonition">
+<p class="admonition-title"><span class="math notranslate nohighlight">\(\phi\)</span> niezmiennicza</p>
+<p>jeżeli <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">u</span></code> jest podzbiorem V, dla <span class="math notranslate nohighlight">\(x \in u\)</span> <span class="math notranslate nohighlight">\(\phi(x) \in u\)</span></p>
+</div>
+<div class="admonition-wartosc-wlasna admonition">
+<p class="admonition-title">wartość włąsna</p>
+<p>Liczba <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> jest wartością własną jężeli istnieje niezerowy wektor <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">v</span></code>, któ©y spełnia
+równość <span class="math notranslate nohighlight">\(\phi(v) = \lambda v\)</span></p>
+<div class="admonition note">
+<p class="admonition-title">Informacja</p>
+<p>Zbió© wszystkich wartości własnych nazywa się spektrum (lub widmem) operatora</p>
+</div>
+</div>
+<div class="admonition-operator-rzutowania admonition">
+<p class="admonition-title">Operator rzutowania</p>
+<p>Określea wszystkie wektory które po zrzutowaniu na oś OX nie zmieni kierunku (lub stanie się punktem)</p>
+<div class="math notranslate nohighlight">
+\[\begin{split}
+spec = ? \\
+\phi(0, V_y) = (0, v_y) \Rightarrow \lambda = 1 \\
+\phi(0, v_y) = (0, 0) \Rightarrow \lambda = 0 \\
+spec = \left \{0, 1\right\} \\
+\end{split}\]</div>
+</div>
+<section id="szukanie-wartosci-wlasnych">
+<h3>Szukanie wartości własnych<a class="headerlink" href="#szukanie-wartosci-wlasnych" title="Link to this heading">¶</a></h3>
+<div class="math notranslate nohighlight">
+\[
+x_\phi(t) = det(A-tI)
+\]</div>
+<div class="admonition important">
+<p class="admonition-title">Ważne</p>
+<p>Nie wszystkie pierwiastki ww. równania są pierwiastkami charakterystycznymi.
+Należy pamiętać, że <span class="math notranslate nohighlight">\(t = \lambda \in K\)</span>, gdzie <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">K</span></code> to ciało nad którym pracujemy</p>
+</div>
+<div class="admonition note">
+<p class="admonition-title">Informacja</p>
+<p>Wielomiany włąsne nie zależą od bazy</p>
+</div>
 </section>
 </section>
 </section>
@@ -877,6 +956,10 @@ <h3><a href="../../index.html">Spis treści:</a></h3>
 <li><a class="reference internal" href="#odwzorowania-liniowe">Odwzorowania Liniowe</a></li>
 </ul>
 </li>
+<li><a class="reference internal" href="#endomorfizmy">Endomorfizmy</a><ul>
+<li><a class="reference internal" href="#szukanie-wartosci-wlasnych">Szukanie wartości własnych</a></li>
+</ul>
+</li>
 </ul>
 </li>
 </ul>
diff --git a/assets/notes/algebra/algebra_2023.11.28.2023.html b/assets/notes/algebra/algebra_2023.11.28.2023.html
index e6d02ecd..30a56b4b 100644
--- a/assets/notes/algebra/algebra_2023.11.28.2023.html
+++ b/assets/notes/algebra/algebra_2023.11.28.2023.html
@@ -83,6 +83,32 @@ <h3>Nawigacja</h3>
 <p class="admonition-title">Reprezencacja macierzowa odwzorowań liniowych</p>
 <p>Macierz której kolumny nsą <strong>obrazami</strong> wektorów bazowych nazywamy
 reprezentacją macierzową odwzoorowania liniowego</p>
+</div>
+<div class="admonition-jadro admonition">
+<p class="admonition-title">Jądro</p>
+<p>Przeciwobraz wszystkich elementów które przechodzą na 0.</p>
+<p>Obliczamy Je następująco: <span class="math notranslate nohighlight">\(\phi(x) = 0\)</span></p>
+<p>Przykładowo</p>
+<div class="math notranslate nohighlight">
+\[\begin{split}
+\text{dla v w postaci}~v=(x,y,z) \\
+\phi(v) = (2x, y, x+y) \\
+\phi(v) = 0 \\
+(2x, y, x+y) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \land y = 0 \Rightarrow z \in \mathbb{R} \\
+ker\phi = \left\{(0,0,z), z \in \mathbb{R}\right\} \\
+dimKer\phi = 1
+\end{split}\]</div>
+<p><strong>Przeciwobraz</strong> - elementy które “podajemy” do odwzorowania (jak dziedzina funkcji)</p>
+<div class="admonition tip">
+<p class="admonition-title">Wskazówka</p>
+<div class="math notranslate nohighlight">
+\[\begin{split}
+\begin{matrix}
+\text{przeciwobraz} &amp;=&amp; \text{Dziedzina} \\
+\text{Obraz} &amp;=&amp; \text{Zbiór Wartości}
+\end{matrix}
+\end{split}\]</div>
+</div>
 </div>
 
 
diff --git a/assets/notes/algebra/algebra_2023.12.05.html b/assets/notes/algebra/algebra_2023.12.05.html
new file mode 100644
index 00000000..340ffb58
--- /dev/null
+++ b/assets/notes/algebra/algebra_2023.12.05.html
@@ -0,0 +1,188 @@
+
+
+<!DOCTYPE html>
+
+<html lang="pl" data-content_root="../../../">
+  <head>
+    <meta charset="utf-8" />
+    <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0" /><meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" />
+
+    <title>Endomorfizmy &#8212; Matematyka  - dokumentacja</title>
+    <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../../_static/pygments.css?v=fa44fd50" />
+    <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../../_static/cloud.css?v=f9ae72be" />
+    <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../../_static/sphinxcontrib-images/LightBox2/lightbox2/dist/css/lightbox.css?v=5c84f910" />
+    <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../../_static/css/custom.css?v=2c74f6a9" />
+    <link rel="stylesheet" href="https://fonts.googleapis.com/css?family=Noticia+Text:400,i,b,bi|Open+Sans:400,i,b,bi|Roboto+Mono:400,i,b,bi&amp;display=swap" type="text/css" />
+    
+    <script src="../../../_static/documentation_options.js?v=a28d12eb"></script>
+    <script src="../../../_static/doctools.js?v=888ff710"></script>
+    <script src="../../../_static/sphinx_highlight.js?v=dc90522c"></script>
+    <script src="../../../_static/translations.js?v=a186e9ce"></script>
+    <script src="../../../_static/sphinxcontrib-images/LightBox2/lightbox2/dist/js/lightbox-plus-jquery.min.js?v=ffc8af2d"></script>
+    <script src="../../../_static/sphinxcontrib-images/LightBox2/lightbox2-customize/jquery-noconflict.js?v=12818e64"></script>
+    <script>window.MathJax = {"options": {"processHtmlClass": "tex2jax_process|mathjax_process|math|output_area"}}</script>
+    <script defer="defer" src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js"></script>
+
+    
+    
+     
+        <script src="../../../_static/jquery.cookie.js"></script>
+    
+
+    
+     
+        <script src="../../../_static/cloud.base.js"></script>
+    
+
+    
+     
+        <script src="../../../_static/cloud.js"></script>
+    
+
+    <link rel="icon" href="../../../_static/icon.ico"/>
+    <link rel="index" title="Indeks" href="../../../genindex.html" />
+    <link rel="search" title="Szukaj" href="../../../search.html" /> 
+        <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1">
+  </head><body>
+    <div class="relbar-top">
+        
+    <div class="related" role="navigation" aria-label="related navigation">
+      <h3>Nawigacja</h3>
+      <ul>
+        <li class="right" style="margin-right: 10px">
+          <a href="../../../genindex.html" title="Indeks ogólny"
+             accesskey="I">indeks</a></li>
+    <li><a href="../../../index.html">Matematyka  - dokumentacja</a> &#187;</li>
+
+        <li class="nav-item nav-item-this"><a href="">Endomorfizmy</a></li> 
+      </ul>
+    </div>
+    </div>
+  
+
+    <div class="document">
+      <div class="documentwrapper">
+        <div class="bodywrapper">
+          <div class="body" role="main">
+            
+  <section id="endomorfizmy">
+<h1>Endomorfizmy<a class="headerlink" href="#endomorfizmy" title="Link to this heading">¶</a></h1>
+<div class="admonition-endomorfizm admonition">
+<p class="admonition-title">Endomorfizm</p>
+<p><strong>Odwzorowanie liniowe</strong> jednego zbioru na ten sam zbiór.</p>
+</div>
+<div class="admonition note">
+<p class="admonition-title">Informacja</p>
+<p>Zbiór wszystkich endomorfizmów ma strukturę przestrzeni wektorowej</p>
+</div>
+<div class="admonition-phi-niezmiennicza admonition">
+<p class="admonition-title"><span class="math notranslate nohighlight">\(\phi\)</span> niezmiennicza</p>
+<p>jeżeli <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">u</span></code> jest podzbiorem V, dla <span class="math notranslate nohighlight">\(x \in u\)</span> <span class="math notranslate nohighlight">\(\phi(x) \in u\)</span></p>
+</div>
+<div class="admonition-wartosc-wlasna admonition">
+<p class="admonition-title">wartość włąsna</p>
+<p>Liczba <span class="math notranslate nohighlight">\(\lambda\)</span> jest wartością własną jężeli istnieje niezerowy wektor <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">v</span></code>, któ©y spełnia
+równość <span class="math notranslate nohighlight">\(\phi(v) = \lambda v\)</span></p>
+<div class="admonition note">
+<p class="admonition-title">Informacja</p>
+<p>Zbió© wszystkich wartości własnych nazywa się spektrum (lub widmem) operatora</p>
+</div>
+</div>
+<div class="admonition-operator-rzutowania admonition">
+<p class="admonition-title">Operator rzutowania</p>
+<p>Określea wszystkie wektory które po zrzutowaniu na oś OX nie zmieni kierunku (lub stanie się punktem)</p>
+<div class="math notranslate nohighlight">
+\[\begin{split}
+spec = ? \\
+\phi(0, V_y) = (0, v_y) \Rightarrow \lambda = 1 \\
+\phi(0, v_y) = (0, 0) \Rightarrow \lambda = 0 \\
+spec = \left \{0, 1\right\} \\
+\end{split}\]</div>
+</div>
+<section id="szukanie-wartosci-wlasnych">
+<h2>Szukanie wartości własnych<a class="headerlink" href="#szukanie-wartosci-wlasnych" title="Link to this heading">¶</a></h2>
+<div class="math notranslate nohighlight">
+\[
+x_\phi(t) = det(A-tI)
+\]</div>
+<div class="admonition important">
+<p class="admonition-title">Ważne</p>
+<p>Nie wszystkie pierwiastki ww. równania są pierwiastkami charakterystycznymi.
+Należy pamiętać, że <span class="math notranslate nohighlight">\(t = \lambda \in K\)</span>, gdzie <code class="docutils literal notranslate"><span class="pre">K</span></code> to ciało nad którym pracujemy</p>
+</div>
+<div class="admonition note">
+<p class="admonition-title">Informacja</p>
+<p>Wielomiany włąsne nie zależą od bazy</p>
+</div>
+</section>
+</section>
+
+
+            <div class="clearer"></div>
+          </div>
+        </div>
+      </div>
+      <div class="sphinxsidebar" role="navigation" aria-label="main navigation">
+        <div class="sphinxsidebarwrapper"><div class="sphinx-toc sphinxlocaltoc">
+    <h3><a href="../../../index.html">Spis treści:</a></h3>
+    <ul>
+<li><a class="reference internal" href="#">Endomorfizmy</a><ul>
+<li><a class="reference internal" href="#szukanie-wartosci-wlasnych">Szukanie wartości własnych</a></li>
+</ul>
+</li>
+</ul>
+
+  </div>
+<div id="searchbox" style="display: none" role="search">
+  <h3 id="searchlabel">Szybkie wyszukiwanie</h3>
+    <div class="searchformwrapper">
+    <form class="search" action="../../../search.html" method="get">
+      <input type="text" name="q" aria-labelledby="searchlabel" autocomplete="off" autocorrect="off" autocapitalize="off" spellcheck="false"/>
+      <input type="submit" value="Szukaj" />
+    </form>
+    </div>
+</div>
+<script>document.getElementById('searchbox').style.display = "block"</script>
+        </div>
+      </div>
+    
+    
+        <div class="sidebar-toggle-group no-js">
+            
+            <button class="sidebar-toggle" id="sidebar-hide" title="Hide the sidebar menu">
+                 «
+                <span class="show-for-small">hide menu</span>
+                
+            </button>
+            <button class="sidebar-toggle" id="sidebar-show" title="Show the sidebar menu">
+                
+                <span class="show-for-small">menu</span>
+                <span class="hide-for-small">sidebar</span>
+                 »
+            </button>
+        </div>
+    
+      <div class="clearer"></div>
+    </div>
+    <div class="relbar-bottom">
+        
+    <div class="related" role="navigation" aria-label="related navigation">
+      <h3>Nawigacja</h3>
+      <ul>
+        <li class="right" style="margin-right: 10px">
+          <a href="../../../genindex.html" title="Indeks ogólny"
+             >indeks</a></li>
+    <li><a href="../../../index.html">Matematyka  - dokumentacja</a> &#187;</li>
+
+        <li class="nav-item nav-item-this"><a href="">Endomorfizmy</a></li> 
+      </ul>
+    </div>
+    </div>
+
+    <div class="footer" role="contentinfo">
+    &#169; Copyright 2023, Maciej Szeptuch.
+      Created using <a href="https://www.sphinx-doc.org/">Sphinx</a> 7.2.6.
+    </div>
+    <!-- cloud_sptheme 1.4 -->
+  </body>
+</html>
\ No newline at end of file
diff --git a/index.html b/index.html
index 8cb1238d..f325de2d 100644
--- a/index.html
+++ b/index.html
@@ -117,6 +117,10 @@ <h1>Wstęp<a class="headerlink" href="#wstep" title="Link to this heading">¶</a
 <li class="toctree-l3"><a class="reference internal" href="assets/notes/algebra.html#odwzorowania-liniowe">Odwzorowania Liniowe</a></li>
 </ul>
 </li>
+<li class="toctree-l2"><a class="reference internal" href="assets/notes/algebra.html#endomorfizmy">Endomorfizmy</a><ul>
+<li class="toctree-l3"><a class="reference internal" href="assets/notes/algebra.html#szukanie-wartosci-wlasnych">Szukanie wartości własnych</a></li>
+</ul>
+</li>
 </ul>
 </li>
 </ul>
diff --git a/objects.inv b/objects.inv
index b1e9dcf1..8f82317f 100644
Binary files a/objects.inv and b/objects.inv differ
diff --git a/searchindex.js b/searchindex.js
index 9cc66e92..bbf9ad76 100644
--- a/searchindex.js
+++ b/searchindex.js
@@ -1 +1 @@
-Search.setIndex({"docnames": ["assets/index", "assets/notes/algebra", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.09", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.10", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.11_zadanie", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.17", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.24", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.31", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.07", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.14", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.21.2023", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.28.2023", "assets/notes/matematyka", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.09", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.15", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.23", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.24", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.30", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.31", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.06", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.07", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.13", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.14", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.20", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.21", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.12.04", "assets/notes/matematyka_cw", "assets/notes/matematyka_cw/matematyka_cw_2023.10.19", "assets/notes/matematyka_cw/matematyka_cw_2023.11.30", "assets/notes/mechanika_cw", "assets/notes/mechanika_cw/mechanika_cw_24.11.2023", "index"], "filenames": ["assets/index.rst", "assets/notes/algebra.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.09.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.10.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.11_zadanie.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.17.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.24.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.31.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.07.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.14.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.21.2023.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.28.2023.md", "assets/notes/matematyka.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.09.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.15.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.23.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.24.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.30.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.31.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.06.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.07.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.13.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.14.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.20.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.21.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.12.04.md", "assets/notes/matematyka_cw.md", "assets/notes/matematyka_cw/matematyka_cw_2023.10.19.md", "assets/notes/matematyka_cw/matematyka_cw_2023.11.30.md", "assets/notes/mechanika_cw.md", "assets/notes/mechanika_cw/mechanika_cw_24.11.2023.md", "index.rst"], "titles": ["&lt;no title&gt;", "ALGEBRA", "ALGEBRA", "Cia\u0142o liczb zespolonych", "Zestaw 2 zadanie 4, przyk\u0142ad a", "Macierze", "Obliczanie macierzy odwrotnej", "Dzia\u0142ania elementarne, kt\u00f3re nie zmieniaj\u0105 rozwi\u0105za\u0144", "Przestrzenie wektorowe", "Baza", "Macierz Przej\u015bcia", "&lt;no title&gt;", "MATEMATYKA", "MATEMATYKA", "Ci\u0105gi", "Przyk\u0142ady funkcji ci\u0105g\u0142ych", "Interpretacja krzywej", "R\u00f3\u017cniczkowanie", "Pochodna logarytmiczna", "Zastosowanie pochodnych", "Wnioski Tw. Lagrange\u2019a", "Poj\u0119cie R\u00f3\u017cniczki", "Reszta Peano", "Zadania", "Sporz\u0105dzanie wykres\u00f3w funkcji", "Rachunek Ca\u0142kowy", "Matematyka - \u0107wiczenia", "Matematyka - \u0107wiczenia", "Przydatne w\u0142asno\u015bci", "Mechanika - \u0106wiczenia", "Mechanika - \u0106wiczenia", "Wst\u0119p"], "terms": {"notatki": [1, 12, 26, 29], "z": [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 21, 23, 25, 26, 28, 29, 30], "pliku": [1, 12, 26, 29], "note": [1, 12, 26, 29], "algebra_2023": 1, "10": [1, 12, 26], "09": [1, 12], "md": [1, 12, 26, 29], "korzystaj\u0105c": [1, 2, 6], "za": [1, 2, 8], "indukcji": [1, 2], "udowodnij": [1, 2], "\u017ce": [1, 2, 3, 5, 8, 9, 12, 14, 17, 21, 22], "dla": [1, 2, 5, 7, 8, 14, 17, 19, 21, 23, 26, 28], "dowolnego": [1, 2, 12, 14], "geq": [1, 2, 5, 8, 12, 19, 20, 26, 28], "liczba": [1, 2, 3, 5, 6, 9, 12, 22], "diagonalnych": [1, 2], "konci": [1, 2], "wypuk\u0142ym": [1, 2], "jest": [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 31], "niewi\u0119ksza": [1, 2], "ni\u017c": [1, 2, 8, 9, 12, 20], "frac": [1, 2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30], "utworzeni": [1, 2], "wzoru": [1, 2, 12, 21], "liczb\u0119": [1, 2, 5], "k\u0105tu": [1, 2], "6": [1, 2, 12, 21, 23, 26, 28], "tego": [1, 2, 31], "wniosek": [1, 2], "d": [1, 2, 12, 14, 15, 21], "sprawdzeni": [1, 2], "warunku": [1, 2, 10], "leq": [1, 2, 12, 19, 20, 21, 23], "krok": [1, 2], "indukcyjni": [1, 2], "za\u0142\u00f3\u017cmi": [1, 2, 9, 10], "2n": [1, 2], "3n": [1, 2], "5n": [1, 2], "0": [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30], "wtedi": [1, 2, 10, 12, 13, 15, 17, 18, 19], "begin": [1, 2, 5, 7, 9, 10, 12, 13, 16, 19], "matrix": [1, 2, 7, 10, 12, 13, 16, 19], "ind": [1, 2], "mat": [1, 2], "foral": [1, 2, 8, 12, 13, 14, 15, 17, 20], "geq0": [1, 2], "end": [1, 2, 5, 7, 9, 10, 12, 13, 16, 19], "przeciwie\u0144stwi": [1, 3], "do": [1, 3, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 15, 17, 21, 23, 25, 31], "rzeczywistych": [1, 3, 12, 22], "mo\u017cna": [1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14], "ich": [1, 3, 5], "przedstawi\u0107": [1, 3, 8, 10, 12, 14], "linearnej": [1, 3], "dlatego": [1, 3], "te\u017c": [1, 3, 12, 18, 25], "powiedzie\u0107": [1, 3], "dana": [1, 3], "ujemna": [1, 3], "dodatnia": [1, 3], "zespolona": [1, 3], "para": [1, 3], "przy": [1, 3, 10, 12, 17, 26, 28], "dzieleniu": [1, 3], "nale\u017ci": [1, 3, 6, 9, 10], "pomno\u017cy\u0107": [1, 3], "przez": [1, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 17, 31], "czynnik": [1, 3], "sprz\u0119\u017coni": [1, 3], "tak": [1, 3, 6, 8, 12, 13], "jak": [1, 3, 8], "usuwani": [1, 3], "niewymierno\u015bci": [1, 3], "mianownika": [1, 3], "okre\u015blami": [1, 3, 5], "jako": [1, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14], "bar": [1, 3, 4], "niech": [1, 3, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 25], "c": [1, 3, 5, 8, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25], "x": [1, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30], "y": [1, 3, 7, 8, 12, 13, 16, 17, 21, 23, 29, 30], "uto\u017csamiani": [1, 3], "d\u0142ugo\u015bci\u0105": [1, 3], "wektora": [1, 3, 7, 8, 9], "b\u0119d\u0105cego": [1, 3], "interpretacj\u0105": [1, 3], "urojonej": [1, 3], "yi": [1, 3], "sqrt": [1, 3, 4, 12, 14, 16, 17, 20, 23, 25, 26, 27, 28], "r\u00f3wnie\u017c": [1, 3, 12, 15, 22], "exist": [1, 3, 5, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 23], "phi": [1, 3, 4, 10], "co": [1, 3, 5, 7, 12, 16, 17, 18, 20, 21, 23, 25], "land": [1, 3, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 23], "sin": [1, 3, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 20, 21, 23, 25], "arg": [1, 3], "tzw": [1, 3, 5, 6, 8], "argument": [1, 3], "g\u0142\u00f3wny": [1, 3], "gdzie": [1, 3, 5, 8, 9, 12, 15], "argz": [1, 3], "pi": [1, 3, 4, 7, 12, 13, 14, 23, 26, 27], "wz\u00f3r": [1, 3], "de": [1, 3, 26, 28], "moivr": [1, 3], "z_1": [1, 3], "z_2": [1, 3], "alpha": [1, 3, 6, 7, 8, 10, 12, 17, 21, 23, 25], "beta": [1, 3, 8, 10], "e": [1, 3, 4, 8, 12, 14, 16, 17, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28], "leftrightarrow": [1, 3, 8, 12, 13, 15, 18, 19, 23], "z_k": [1, 3], "root": [1, 3, 12, 15, 26, 28], "2k": [1, 3, 4], "k": [1, 3, 4, 5, 8, 9, 12, 21], "pierwiastek": [1, 3], "stopnia": [1, 3], "ma": [1, 3, 12, 13, 15, 19, 21, 25], "ka\u017cdi": [1, 3, 5], "wielomian": [1, 3, 12, 14], "dodatniego": [1, 3], "rozwi\u0105zania": [1, 3], "11_zadani": 1, "r\u00f3wnani": [1, 4, 7, 12, 13, 17, 21], "spelnion": [1, 4], "dlz": [1, 4], "2i": [1, 4], "3i": [1, 4], "cap": [1, 4], "lor": [1, 4, 12, 23], "17": 1, "oznaczeni": [1, 5, 9], "m_": [1, 5, 6], "time": [1, 5, 12, 13], "wymiari": [1, 5, 8], "kt\u00f3rym": [1, 5], "dwie": [1, 5, 10], "s\u0105": [1, 5, 6, 8, 9, 12, 15, 17, 18, 19, 20], "r\u00f3wne": [1, 5], "gdy": [1, 5, 6, 8, 12, 20], "oraz": [1, 5, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 25], "wszystki": [1, 5], "warto\u015bci": [1, 5, 13], "macierz\u0105": [1, 5, 6], "kwadratow\u0105": [1, 5], "nazywami": [1, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 17, 21, 25], "kt\u00f3rej": [1, 5, 11], "taka": [1, 5, 8, 12, 15], "0_": [1, 5], "elementi": [1, 5, 8], "niezerow": [1, 5], "le\u017c\u0105": [1, 5], "jedyni": [1, 5], "dodawani": [1, 5, 11], "odejmowani": [1, 5], "kt\u00f3rych": [1, 5, 6, 12, 22, 23], "wyrazi": [1, 5], "wykonujemi": [1, 5], "poprzez": [1, 5], "odpowiednich": [1, 5], "wyraz\u00f3w": [1, 5, 8], "mno\u017ceni": [1, 5, 7, 8, 11], "wyraz": [1, 5], "mno\u017cymi": [1, 5, 6], "transponowani": [1, 5], "wiersz": [1, 5], "si\u0119": [1, 5, 6, 8, 22, 23], "kolumni": [1, 5, 8, 9, 11], "A": [1, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 20, 29, 30], "musi": [1, 5, 8, 11, 12, 13, 22], "mie\u0107": [1, 5], "tyle": [1, 5], "samo": [1, 5], "kolumn": [1, 5, 7], "wierszi": [1, 5, 7], "dziedziczon": [1, 5], "ze": [1, 5, 10, 12, 13], "zbioru": [1, 5, 8, 12, 13], "sk\u0142adani": [1, 5, 11], "\u0142\u0105czne": [1, 5, 8], "al": [1, 5], "przemienn": [1, 5], "jednostkowa": [1, 5], "elementem": [1, 5], "neutralnym": [1, 5], "bmatrix": [1, 5, 9, 12, 13], "t": [1, 5, 6, 7, 8, 12, 16], "ab": [1, 5, 6], "b": [1, 5, 6, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 23], "tr": [1, 5], "vmatrix": [1, 5], "bf": [1, 5, 9, 12, 13, 14, 20], "7": [1, 5, 12, 21], "\u015blad": [1, 5], "przek\u0105tnej": [1, 5], "ka\u017cd\u0105": [1, 5], "rozbi\u0107": [1, 5], "jedna": [1, 5], "symetryczna": [1, 5], "druga": [1, 5, 6, 12, 22], "antysymetryczna": [1, 5], "deta": [1, 5, 6], "a_11": [1, 5], "sum_": [1, 5], "j": [1, 5, 6, 8, 9], "a_ij": [1, 5, 6], "deta_ij": [1, 5], "minor": [1, 5], "powsta\u0142ej": [1, 5], "po": [1, 5], "skre\u015bleniu": [1, 5], "ego": [1, 5], "wiersza": [1, 5, 7], "tej": [1, 5, 31], "trujk\u0105tnych": [1, 5], "g\u00f3rnych": [1, 5], "dolnych": [1, 5], "iloczyn": [1, 5, 7, 26, 28, 31], "je\u017ce": [1, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25], "jednej": [1, 5], "same": [1, 5], "det": [1, 5], "detb": [1, 5], "detc": [1, 5], "miejscami": [1, 5], "zmieni": [1, 5], "znak": [1, 5, 12, 22], "proporcjonaln": [1, 5], "kolumna": [1, 5], "kombinacj\u0105": [1, 5], "liniow\u0105": [1, 5, 6, 12, 17], "pozosta\u0142ych": [1, 5, 8], "doda\u0107": [1, 5], "kombinacj\u0119": [1, 5], "kwadraow": [1, 5], "osobliwa": [1, 5], "odwracalna": [1, 5], "niosobliwa": [1, 5], "24": [1, 12, 21], "odwracaln": [1, 6], "tworz\u0105": [1, 6], "grup\u0119": [1, 6], "metoda": [1, 6], "dope\u0142nie\u0144": [1, 6], "algebaicznych": [1, 6], "mo\u017cemi": [1, 6, 7, 26, 28], "j\u0105": [1, 6], "obliczy\u0107": [1, 6], "tylko": [1, 6, 26, 28], "ij": [1, 6], "powsta\u0142\u0105": [1, 6], "transponujemi": [1, 6], "k\u0105\u017cdy": [1, 6], "element": [1, 6, 8, 12, 13], "operacji": [1, 6], "elementarnych": [1, 6], "bezwyznacznikiowa": [1, 6], "zestawieni": [1, 6], "blokowej": [1, 6], "jednostkowej": [1, 6], "uda": [1, 6], "sprowadzi\u0107": [1, 6], "cz\u0119\u015b\u0107": [1, 6], "bloku": [1, 6], "b\u0119dzie": [1, 6, 12, 15, 21], "odwrotn\u0105": [1, 6, 10, 12, 15], "uzyska\u0107": [1, 6], "trujk\u0105tn\u0105": [1, 6], "g\u00f3rn\u0105": [1, 6], "przemieszczaj\u0105c": [1, 6], "od": [1, 6, 7], "lewego": [1, 6], "g\u00f3rnego": [1, 6], "rogu": [1, 6], "zerowani": [1, 6], "prawej": [1, 6], "lew\u0105": [1, 6], "stron\u0119": [1, 6], "zapisa\u0107": [1, 6, 9, 26, 28], "taki": [1, 6, 12, 14, 21], "niewiadomych": [1, 6, 7], "r\u00f3wna": [1, 6, 12, 22, 29, 30], "kwadratowa": [1, 6], "w_x": [1, 6], "je\u015bli": [1, 6, 12, 14, 15, 22, 23, 25, 31], "oznaczoni": [1, 6], "wykorzysta\u0107": [1, 6], "rz\u0105d": [1, 6, 7, 8], "najwi\u0119kszi": [1, 6], "stopie\u0144": [1, 6], "niezerowego": [1, 6], "minora": [1, 6], "sprowadzani": [1, 6], "schodkowej": [1, 6], "ilo\u015b\u0107": [1, 6], "schod\u00f3w": [1, 6], "sprzeczni": [1, 6], "je\u017cei": [1, 6], "ro\u017cni": [1, 6], "uzupe\u0142nionej": [1, 6], "31": [1, 12], "skre\u015bleni": [1, 7], "samych": [1, 7], "zer": [1, 7], "jednego": [1, 7], "proporcjonalnych": [1, 7], "dowoln\u0105": [1, 7], "sta\u0142\u0105": [1, 7, 12, 25], "niezerow\u0105": [1, 7], "przestawieni": [1, 7], "uk\u0142adu": [1, 7], "informuj": [1, 7], "il": [1, 7, 12, 17], "danego": [1, 7], "wyliczy\u0107": [1, 7], "wektor": [1, 7, 8, 9, 10], "oznaczac": [1, 7], "\u0142ugo\u015bci": [1, 7], "wersorem": [1, 7], "k\u0105ty": [1, 7], "kierunkow": [1, 7], "k\u0105t": [1, 7], "mi\u0119dzi": [1, 7], "osi\u0105": [1, 7], "wektorem": [1, 7], "cosinu": [1, 7], "kierunkowi": [1, 7], "stosunek": [1, 7], "u_x": [1, 7], "vec": [1, 7, 29, 30], "u": [1, 7, 8], "wersor\u00f3w": [1, 7, 9], "cosinusi": [1, 7], "wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne": [1, 7, 8, 9], "odniesieni": [1, 7], "skalarni": [1, 7], "rozdzielni": [1, 7], "wzgl\u0119dem": [1, 7, 8, 12, 13], "dodawania": [1, 7, 8], "mieszani": [1, 7], "v_1": [1, 7, 8, 9], "v_2": [1, 7, 8, 9], "v_3": [1, 7, 8], "left": [1, 7, 8, 9, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 23, 26, 27, 28, 29, 30], "x_0": [1, 7, 12, 14, 17, 19, 21, 22, 23], "a_x": [1, 7], "": [1, 7], "b_x": [1, 7], "y_0": [1, 7, 12, 17], "a_i": [1, 7], "b_y": [1, 7], "z_0": [1, 7], "a_z": [1, 7], "b_z": [1, 7], "right": [1, 7, 8, 9, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 23, 26, 27, 28, 29, 30], "11": [1, 12, 26, 29], "07": [1, 12], "grup\u0105": [1, 8], "abelow\u0105": [1, 8], "natomiast": [1, 8, 9, 11, 12, 25], "zbiorem": [1, 8], "emptyset": [1, 8], "quad": [1, 8, 9, 12, 17, 19, 20, 21], "wyst\u0119puj": [1, 8, 10], "rozdzielno\u015b\u0107": [1, 8], "mno\u017cenia": [1, 8], "mno\u017ceniu": [1, 8], "sumi": [1, 8, 12, 17], "skalar": [1, 8], "skalar\u00f3w": [1, 8], "neutralni": [1, 8], "mo\u017cliw": [1, 8, 12, 18], "wektorami": [1, 8, 9], "skalarami": [1, 8], "zbi\u00f3r": [1, 8, 10, 12, 13], "tradycyjni": [1, 8], "p\u0142aszczy\u017ani": [1, 8], "dwuwymiarowej": [1, 8], "okre\u015bla": [1, 8], "dwa": [1, 8, 12, 17], "palszczyzni": [1, 8], "podprzestrzeni\u0105": [1, 8, 9], "zadeklarowan": [1, 8], "te": [1, 8], "niej": [1, 8], "wewn\u0119trzn": [1, 8], "innymi": [1, 8], "s\u0142owi": [1, 8], "abi": [1, 8, 10, 11], "sprawdzi\u0107": [1, 8, 10], "czy": [1, 8, 10, 12, 22], "dani": [1, 8, 12, 22], "dwuch": [1, 8], "skalara": [1, 8], "nale\u017ce\u0107": [1, 8, 12, 13], "definicji": [1, 8], "translacja": [1, 8, 10, 12, 25], "dodani": [1, 8, 10], "sta\u0142ej": [1, 8], "ta": [1, 8, 12, 13, 21], "x_1": [1, 8, 9, 10, 12, 15, 17], "x_2": [1, 8, 9, 10, 12, 15, 17], "2x": [1, 8, 12, 17, 23, 25], "2x_1": [1, 8], "2x_2": [1, 8], "analogiczni": [1, 8], "post\u0119powa\u0107": [1, 8], "innych": [1, 8], "liniowo": [1, 8, 9, 10, 11], "niezale\u017cn": [1, 8, 9], "\u017cadnego": [1, 8], "nich": [1, 8, 12, 21], "formi": [1, 8], "kombinacji": [1, 8], "liniowej": [1, 8, 9], "przyk\u0142adowo": [1, 8, 26, 28], "gamma": [1, 8], "niezale\u017cni": [1, 8, 11], "bior\u0105c": [1, 8], "pod": [1, 8], "uwag\u0119": [1, 8], "inni": [1, 8], "18": [1, 8], "hat": [1, 8, 9], "To": [1, 8, 9], "jeden": [1, 8, 12, 13], "rz\u0119d\u00f3w": [1, 8], "wyzerowa\u0107": [1, 8], "pomoc\u0105": [1, 8], "budujemi": [1, 8], "wpisanymi": [1, 8], "por\u00f3\u0153nywa\u0107": [1, 8], "ow": [1, 8], "przyr\u00f3wnujemi": [1, 8], "obliczami": [1, 8], "jej": [1, 8, 12, 22], "generator\u00f3w": [1, 8, 9], "pozwalaj\u0105cych": [1, 8], "zapisani": [1, 8], "ka\u017cdego": [1, 8], "innego": [1, 8], "danej": [1, 8, 12, 23], "w_1": [1, 8], "w_2": [1, 8], "theta": [1, 8, 12, 21, 22], "w_n": [1, 8], "oznaczami": [1, 8, 9, 10, 12, 25], "generowan\u0105": [1, 8], "podprzestrze\u0144": [1, 8], "limw": [1, 8], "v_k": [1, 8, 9], "generuj\u0105": [1, 8, 9], "wymiarach": [1, 8], "rowa": [1, 8], "r\u00f3wny": [1, 8], "kt\u00f3ra": [1, 8], "sk\u0142ada": [1, 8], "kolejno": [1, 8], "wpisanych": [1, 8], "wierszach": [1, 8], "tzn": [1, 8], "mo\u017ce": [1, 8, 10], "by\u0107": [1, 8, 10, 11], "wi\u0119cej": [1, 8, 12, 17], "wymiar\u00f3w": [1, 8], "jednak": [1, 8], "oznacza": [1, 8, 12, 22], "kilka": [1, 8], "zale\u017cnych": [1, 8], "14": [1, 12], "podzbiorami": [1, 9], "wektorowych": [1, 9], "prost": [1, 9, 12, 23], "a_1": [1, 9, 12, 13], "a_2": [1, 9, 12, 13], "a_n": [1, 9, 12, 14], "v_n": [1, 9], "a_k": [1, 9], "nazwa\u0107": [1, 9], "baz\u0105": [1, 9], "wektorow\u0105": [1, 9], "podsumowuj\u0105c": [1, 9], "niezale\u017cnych": [1, 9, 10, 11], "wymiarowej": [1, 9], "posiada": [1, 9, 12, 22], "bazi": [1, 9, 10], "najprostsz\u0105": [1, 9], "jet": [1, 9], "l": [1, 9, 26, 28], "uporz\u0105dkowani": [1, 9], "ci\u0105g": [1, 9], "bazowych": [1, 9, 11], "eleent\u00f3w": [1, 9], "dimx": [1, 9], "dim": [1, 9], "mniejszi": [1, 9], "wyj\u015bciowej": [1, 9], "dimv": [1, 9], "dimw": [1, 9], "rightarrow": [1, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 22, 23], "wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnymi": [1, 9], "skalari": [1, 9], "alpha_1": [1, 9], "alpha_2": [1, 9], "alpha_n": [1, 9], "zapisujemi": [1, 9], "_b": [1, 9], "p_": [1, 9, 10], "go": [1, 9], "x_n": [1, 9], "_": [1, 9], "takim": [1, 9], "przypadku": [1, 9], "powi\u0105za\u0107": [1, 9], "poszczeg\u00f3lnych": [1, 9], "wypisan": [1, 9], "jdenej": [1, 9], "obraz": [1, 9, 11], "azi": [1, 9], "b_": [1, 9, 10], "1_1": [1, 9], "1_2": [1, 9], "1_n": [1, 9], "2_1": [1, 9], "2_2": [1, 9], "2_n": [1, 9], "n_1": [1, 9], "n_2": [1, 9], "n_n": [1, 9], "przestrzenii": [1, 9], "21": [1, 12], "2023": [1, 29], "wekor\u00f3w": [1, 10], "generuj\u0105cych": [1, 10], "liczno\u015b\u0107": [1, 10], "kanonicznej": [1, 10], "innej": [1, 10], "rozwi\u0105za\u0107": [1, 10], "b_1": [1, 10], "b_2": [1, 10], "stara": [1, 10], "nowa": [1, 10], "starej": [1, 10], "kombinacj": [1, 10], "wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych": [1, 10], "nowej": [1, 10], "wypisac": [1, 10], "kolumnach": [1, 10], "nast\u0119pni": [1, 10], "znale\u017a\u0107": [1, 10, 12, 17], "p": [1, 10, 12, 14, 22], "nad": [1, 10], "tym": [1, 10, 12, 25], "samym": [1, 10, 12, 25], "cia\u0142em": [1, 10], "morfizm": [1, 10], "odwzorowani": [1, 10, 11, 12, 21], "zachodzi": [1, 10], "tych": [1, 10], "przestrzeniach": [1, 10], "sta\u0142\u0119j": [1, 10], "spe\u0142nia": [1, 10], "addytywno\u015bci": [1, 10], "oper": [1, 10], "r\u00f3\u017cniczkowania": [1, 10], "dy": [1, 10, 12, 18], "dx": [1, 10, 12, 17, 18, 21, 25], "odwzorowaniem": [1, 10, 12, 13], "liniowym": [1, 10], "odwzorowaniu": [1, 10], "surjekcj\u0105": [1, 10, 12, 13], "to\u017csamo\u015b\u0107": [1, 10], "obu": [1, 10], "zbior\u00f3w": [1, 10], "epimorfizm": [1, 10], "injekcj\u0105": [1, 10, 12, 13], "wszystkich": [1, 10], "hom_k": [1, 10], "jeze": [1, 10], "ono": [1, 10], "ax": [1, 10, 12, 17, 23], "3a": [1, 10], "2a": [1, 10], "2b": [1, 10], "28": 1, "by\u0142": [1, 11], "injektywn": [1, 11], "rzutowani": [1, 11], "p\u0142aszczyzn\u0119": [1, 11, 12, 13], "oi": [1, 11], "reprezentuj": [1, 11], "ns\u0105": [1, 11], "obrazami": [1, 11], "reprezentacj\u0105": [1, 11], "macierzow\u0105": [1, 11], "odwzoorowania": [1, 11], "liniowego": [1, 11], "n": [2, 3, 5, 12, 14, 15, 17, 21, 22, 26, 27, 31], "mathbb": [2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 31], "4": [2, 8, 21, 23, 25, 26, 28, 31], "w": [2, 5, 6, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 17, 21, 22, 23, 24, 26, 28, 31], "2": [2, 3, 5, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 31], "3": [2, 4, 5, 8, 9, 11, 12, 21, 22, 23, 25, 26, 28, 31], "na": [2, 6, 8, 11, 13, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 31], "nie": [3, 6, 8, 9, 10, 13, 14, 22, 25, 31], "i": [3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 24, 25, 31], "1": [3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 28, 31], "r": [3, 5, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 31], "neq": [3, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 25, 31], "rozwi\u0105za\u0144": [3, 31], "m": [5, 12, 14, 15, 31], "cia\u0142o": [5, 8, 31], "zmieniaj\u0105": [5, 31], "odwzorowa\u0144": [5, 10], "przyk\u0142ad": [5, 8, 11, 26, 28, 31], "macierz": [6, 8, 11, 31], "liczbi": [6, 31], "postaci": [6, 12, 22, 26, 28], "macierzi": [7, 8, 10, 11, 31], "r\u00f3wna\u0144": [7, 10, 31], "v": [8, 10, 12, 23], "dzia\u0142ania": [8, 31], "wektori": [8, 10, 31], "5": [8, 12, 21, 26, 28, 31], "macierzach": [8, 31], "wektorach": [8, 31], "p\u0142aszczyzni": [9, 31], "uk\u0142ad": [9, 10, 31], "wektor\u00f3w": [9, 11, 31], "przestrze\u0144": [9, 10], "podprzestrzeni": [9, 31], "baza": [10, 31], "wymiar": 10, "przestrzeni": [10, 31], "liniowych": [10, 31], "dzia\u0142a\u0144": [10, 31], "liniow": [11, 12, 21, 31], "matematyka_2023": 12, "przedstawiami": [12, 13], "pojedyncz\u0105": [12, 13], "pare": [12, 13], "punkt": [12, 13, 22], "f": [12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30], "ka\u017cdemu": [12, 13], "elementowi": [12, 13], "zbiour": [12, 13], "przyporz\u0105dkowani": [12, 13], "dok\u0142adni": [12, 13], "dziedzina": [12, 13, 24], "funkcj\u0119": [12, 13, 15, 21, 25], "iniekcj\u0105": [12, 13], "r\u00f3\u017cnowarto\u015bciowym": [12, 13], "bijekcj\u0105": [12, 13], "surjekcja": [12, 13], "rozwi\u0105zani": [12, 13], "injekcja": [12, 13], "jedno": [12, 13], "istniej": [12, 13, 14, 15, 17, 22], "odwrotna": [12, 13, 15, 31], "prosta": [12, 13, 17, 23], "r\u00f3wnoleg\u0142a": [12, 13], "ox": [12, 13], "przecina": [12, 13], "wykr": [12, 13, 17, 23], "lub": [12, 13, 17, 25], "wi\u0119cj": [12, 13], "punktach": [12, 13, 22], "dok\u0142\u0105dni": [12, 13], "zw": [12, 13], "symetryczni": [12, 13], "wykresu": [12, 13, 17, 23, 24], "prostej": [12, 13], "zdefiniowana": [12, 13], "arcsin": [12, 13, 25], "g": [12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 24, 25], "h": [12, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23], "cdot": [12, 13], "15": 12, "zbierzno\u015b\u0107": [12, 14], "asymptotyczna": [12, 14], "b_n": [12, 14], "lim_": [12, 14, 17, 20, 23, 26, 28], "logn": [12, 14, 16, 17], "ci\u0105g\u0142a": [12, 14, 15, 17, 19, 21], "punkci": [12, 14, 17, 19, 21, 22, 23], "mimo": [12, 14], "granica": [12, 14], "poniewa\u017c": [12, 14, 17, 19, 25, 26, 28], "notin": [12, 14], "punktu": [12, 14], "epsilon": [12, 14], "x_a": [12, 14], "pierwiastkiem": [12, 14, 22], "wielomianu": [12, 14], "w\u0142asnno\u015b\u0107": [12, 14], "przyjmowaniu": [12, 14], "warto\u015bcipo\u015brednich": [12, 14], "23": 12, "ograniczona": [12, 15], "kre": [12, 15], "dolni": [12, 15], "g\u00f3rny": [12, 15], "\u015bci\u015bl": [12, 15], "rosn\u0105ca": [12, 15], "ona": [12, 15], "kt\u00f3rje": [12, 15], "prawdziw": [12, 15], "niec": [12, 15], "dot": [12, 15], "ponadto": [12, 15], "equiv": [12, 15, 20], "const": [12, 15, 20, 25], "c_1": [12, 15], "c_2": [12, 15], "wielomiani": [12, 15], "funkcjami": [12, 15], "ci\u0105g\u0142ymi": [12, 15], "cosh": [12, 16, 25], "sinh": [12, 16, 25], "tgh": [12, 16], "opi": [12, 16], "parametryczni": [12, 16], "okr\u0105g": [12, 16], "elipsa": [12, 16], "hiperbola": [12, 16], "arsinh": [12, 16], "30": [12, 26], "tg": [12, 17, 18, 23, 25], "podej\u015bci": [12, 17], "geometryczn": [12, 17], "spr\u00f3bujmi": [12, 17], "stycznej": [12, 17, 23], "sieczna": [12, 17], "przechodz\u0105ca": [12, 17], "dowoln": [12, 17], "punkti": [12, 17, 22, 24], "nale\u017c\u0105c": [12, 17], "siecznej": [12, 17], "przechodz\u0105cej": [12, 17], "granic\u0119": [12, 17], "pochodn\u0105": [12, 17, 25], "oznaczymi": [12, 17], "df": [12, 17, 21], "geometryczna": [12, 17], "k\u0105ta": [12, 17], "nachylenia": [12, 17], "fykresu": [12, 17], "to0": [12, 17], "arctg": [12, 17, 18, 23, 25], "zaawansowani": [12, 17], "kalkul": [12, 17, 25], "r\u00f3\u017cnniczkowalna": [12, 17], "sa": [12, 17], "r\u00f3\u017cniczkowaln": [12, 17, 18, 19, 20], "zachodz\u0105": [12, 17], "nast\u0119puj\u0105c": [12, 17], "wzori": [12, 17], "prawd\u0105": [12, 17], "stwierdzeni": [12, 17], "suma": [12, 17, 31], "stosownych": [12, 17], "za\u0142o\u017ceniach": [12, 17], "operacj\u0105": [12, 17], "ax_1": [12, 17], "ax_2": [12, 17], "2sin": [12, 17, 23], "fg": [12, 18], "ctg": [12, 18, 25], "log_a": [12, 18], "ln": [12, 18, 21, 25], "z\u0142o\u017ceni": [12, 18], "r\u00f3\u017cniczkowalna": [12, 18, 19, 20, 21], "dh": [12, 18], "dz": [12, 18], "06": 12, "q": [12, 19, 22], "setminu": [12, 19], "delta": [12, 19, 21], "niemalej\u0105ca": [12, 20], "nierosn\u0105ca": [12, 20], "color": [12, 20], "red": [12, 20], "white": [12, 20], "green": [12, 20], "black": [12, 20], "ni\u017cszego": [12, 20], "rz\u0119du": [12, 20, 21, 31], "r\u00f3wnego": [12, 20], "asymptotyczni": [12, 20], "r\u00f3wnowa\u017cn": [12, 20], "13": 12, "r\u00f3\u017cniczk\u0105": [12, 21], "funkcj\u0105": [12, 21, 25], "klasi": [12, 21, 23], "text": [12, 21, 22, 23], "przedzia\u0142u": [12, 21], "psi": [12, 21], "ostatni": [12, 21], "r\u00f3wnaniem": [12, 21], "reszt\u0105": [12, 21], "rozwini\u0119ci": [12, 21], "r_n": [12, 21], "sigma_": [12, 21], "choos": [12, 21], "oblicze\u0144": [12, 21], "przybli\u017conych": [12, 21], "120": [12, 21], "720": [12, 21], "approx": [12, 21], "liczb\u0105": [12, 22], "wymiern\u0105": [12, 22], "przypu\u015b\u0107mi": [12, 22], "przest\u0119pn\u0105": [12, 22], "wiielomianu": [12, 22], "wsp\u00f3\u0142czynnikah": [12, 22], "osi\u0105ga": [12, 22], "extremum": [12, 22], "ot": [12, 22], "spe\u0142nion": [12, 22], "odwrotn": [12, 22], "zeruj": [12, 22], "punktem": [12, 22], "podejrzanym": [12, 22], "oe": [12, 22], "ekstremum": [12, 22], "podejrzan": [12, 22], "ekstrenum": [12, 22], "znajduj\u0105": [12, 22], "szukani": [12, 22], "ekstrem\u00f3w": [12, 22], "zmienia\u0107": [12, 22], "minimum": [12, 22], "wskazuj": [12, 22], "20": 12, "kwadratoweo": [12, 23], "arkusza": [12, 23], "blachi": [12, 23], "wycinami": [12, 23], "kwadratow": [12, 23], "kawa\u0142ki": [12, 23], "rogach": [12, 23], "czego": [12, 23], "powstaj": [12, 23], "nam": [12, 23], "pude\u0142ko": [12, 23], "jaka": [12, 23], "najwi\u0119ksza": [12, 23], "obj\u0119to\u015b\u0107": [12, 23], "szukami": [12, 23], "najwi\u0119ksz\u0105": [12, 23], "warto\u015b\u0107": [12, 23], "przedzial": [12, 23, 25], "4x": [12, 23], "6x": [12, 23], "wypuk\u0142\u0105": [12, 23], "ku": [12, 23], "g\u00f3rze": [12, 23], "pewnym": [12, 23], "otoczeniu": [12, 23], "poni\u017cej": [12, 23, 31], "wypuk\u0142a": [12, 23], "do\u0142owi": [12, 23], "tm": [12, 23], "powy\u017cej": [12, 23], "zbli\u017ca": [12, 23], "dowolni": [12, 23], "blisko": [12, 23], "r\u00f3wnaniu": [12, 23], "asymptot\u0105": [12, 23], "uko\u015bn\u0105": [12, 23], "infti": [12, 23, 24, 26, 28], "faza": [12, 24], "kra\u0144cach": [12, 24], "charakterystyczn": [12, 24], "typu": [12, 24, 26, 28], "szczeg\u00f3ln": [12, 24], "np": [12, 24], "parzysta": [12, 24], "okresowo\u015b\u0107": [12, 24], "szkic": [12, 24], "poprawki": [12, 24], "wykresi": [12, 24], "obliczani": [12, 24], "przegi\u0119cia": [12, 24], "monotoniczno\u015b\u0107": [12, 24], "drugiej": [12, 24], "uko\u015bn": [12, 24], "12": 12, "04": 12, "okre\u015blona": [12, 25], "otwartym": [12, 25], "pierwotn\u0105": [12, 25], "ca\u0142k\u0105": [12, 25], "nieoznaczon\u0105": [12, 25], "int": [12, 25], "r\u00f3\u0153nie\u017c": [12, 25], "rodzina": [12, 25], "pierwotna": [12, 25], "dok\u0142adno\u015bci\u0105": [12, 25], "pierwotn": [12, 25], "operacja": [12, 25], "liniowa": [12, 25, 31], "wyst\u0119\u00feuj": [12, 25], "cancel": [12, 25], "egzamin": [12, 25], "analizi": [12, 25, 31], "cza": [12, 25], "trwania": [12, 25], "90": [12, 25], "min": [12, 25, 26, 28], "termin": [12, 25], "pocz\u0105tku": [12, 25], "sesji": [12, 25], "teoria": [12, 25], "klasyczn": [12, 25], "funkcja": [14, 15, 19, 20, 22, 23, 25, 31], "ci\u0105g\u0142": [15, 19, 31], "interpretacja": [17, 31], "funkcj": [17, 20, 25, 31], "o": [21, 22, 31], "funkcji": [21, 22, 25, 31], "pochodna": [21, 22, 31], "pochodn": [21, 31], "tw": 21, "lagrang": 21, "zastosowani": [21, 31], "maksimum": 22, "granic": [24, 31], "w\u0142asno\u015bci": [24, 31], "pochodnej": 24, "ekstrema": 24, "badani": 24, "wypuk\u0142o\u015bci": 24, "asymptoti": 24, "maj\u0105": [25, 31], "zadania": 25, "matematyka_cw": 26, "matematyka_cw_2023": 26, "19": 26, "wist\u0119powaniu": [26, 28], "nioznacono\u015bci": [26, 28], "wystarczi": [26, 28], "ilorazu": [26, 28], "ten": [26, 28], "spos\u00f3b": [26, 28], "otrzymami": [26, 28], "nieoznaczono\u015b\u0107": [26, 28], "wi\u0119c": [26, 28], "skorzysta\u0107": [26, 28], "regu\u0142i": [26, 28], "hospit": [26, 28], "ro\u015bni": [26, 28], "max": [26, 28], "malej": [26, 28], "pp": [26, 28], "8": [26, 28], "r\u00f3wno\u015b\u0107": [26, 28], "prawdziwa": [26, 28], "mechanika_cw": 29, "mechanika_cw_24": 29, "si\u0142\u0105": [29, 30], "zachowawcza": [29, 30], "praca": [29, 30], "si\u0142i": [29, 30], "dowolnym": [29, 30], "zamkni\u0119tym": [29, 30], "torz": [29, 30], "grad": [29, 30], "partial": [29, 30], "niniejsza": 31, "strona": 31, "po\u015bwi\u0119cona": 31, "matematyc": 31, "studiach": 31, "wy\u017cszych": 31, "szczeg\u00f3lno\u015bci": 31, "nast\u0119puj\u0105cym": 31, "przedmiotom": 31, "matematyka": 31, "metodi": 31, "algebraicznej": 31, "fizyc": 31, "algebra": 31, "zestaw": 31, "zadani": 31, "liczb": 31, "zespolonych": 31, "dzieleni": 31, "sprz\u0119\u017ceni": 31, "modu\u0142": 31, "zespolonej": 31, "posta\u0107": 31, "trygonometryczna": 31, "liczyb": 31, "wyk\u0142adnicza": 31, "zasadnicz": 31, "twierdzeni": 31, "algebri": 31, "element\u00f3w": 31, "przek\u0105tnych": 31, "symetryczn": 31, "antysymetryczn": 31, "wyznacznik": 31, "uk\u0142adi": 31, "wyznaczani": 31, "rozwi\u0105zywani": 31, "uk\u0142ad\u00f3w": 31, "elementarn": 31, "kt\u00f3re": 31, "geometria": 31, "analityczna": 31, "wektorow": 31, "zale\u017cno\u015b\u0107": 31, "przej\u015bcia": 31, "odwzorowania": 31, "kartezja\u0144ski": 31, "ci\u0105gi": 31, "wa\u017cn": 31, "ci\u0105g\u0142ych": 31, "przyk\u0142adi": 31, "krzywej": 31, "r\u00f3\u017cniczkowani": 31, "pochodnych": 31, "trygonometrycznych": 31, "wyk\u0142adniczej": 31, "logarytmiczna": 31, "rachunek": 31, "ca\u0142kowi": 31, "obliczania": 31, "ca\u0142ek": 31, "\u0107wiczenia": 31, "przydatn": 31, "przyk\u0142adowa": 31, "tabela": 31, "przebiegu": 31, "zmienno\u015bci": 31, "triksi": 31, "mechanika": 31, "kolejno\u015b\u0107": 31, "tre\u015bci": 31, "stroni": 31, "generowana": 31, "automatyczni": 31, "skrypt": 31, "co\u015b": 31, "u\u0142o\u017con": 31, "z\u0142ej": 31, "kolejno\u015bci": 31, "bardzo": 31, "prosz\u0119": 31, "zg\u0142oszeni": 31, "faktu": 31, "naszym": 31, "githubi": 31, "link": 31, "zapraszam": 31, "przegl\u0105dania": 31, "kodu": 31, "\u017ar\u00f3d\u0142owego": 31, "repozytorium": 31, "github": 31}, "objects": {}, "objtypes": {}, "objnames": {}, "titleterms": {"algebra": [1, 2], "zestaw": [1, 2, 4], "1": [1, 2], "zadani": [1, 2, 4], "5": [1, 2], "cia\u0142o": [1, 3], "liczb": [1, 3], "zespolonych": [1, 3], "dzieleni": [1, 3], "sprz\u0119\u017ceni": [1, 3], "modu\u0142": [1, 3], "liczbi": [1, 3], "zespolonej": [1, 3], "posta\u0107": [1, 3], "trygonometryczna": [1, 3], "liczyb": [1, 3], "pot\u0119gowani": [1, 3], "w": [1, 3, 7, 12, 19], "postaci": [1, 3], "trygonometrycznej": [1, 3], "wyk\u0142adnicza": [1, 3], "wyk\u0142adniczej": [1, 3, 12, 17], "zasadnicz": [1, 3], "twierdzeni": [1, 3, 5, 8, 9, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 25], "algebri": [1, 3], "2": [1, 4], "4": [1, 4, 12, 15], "przyk\u0142ad": [1, 4], "macierz": [1, 5, 9, 10], "zerowa": [1, 5, 9], "diagonalna": [1, 5], "dzia\u0142ania": [1, 5, 7, 12, 17], "na": [1, 5, 7, 12, 17], "macierzach": [1, 5], "w\u0142asno\u015bci": [1, 5, 6, 12, 13, 14, 26, 28], "dzia\u0142a\u0144": [1, 5], "suma": [1, 5], "element\u00f3w": [1, 5], "przek\u0105tnych": [1, 5], "symetryczn": [1, 5], "i": [1, 5], "antysymetryczn": [1, 5], "wyznacznik": [1, 5], "macierzi": [1, 5, 6], "definicja": [1, 5, 12, 17, 21, 25], "zmiani": [1, 5], "nie": [1, 5, 7, 12, 17], "zmieniaj\u0105c": [1, 5], "wyznacznika": [1, 5], "odwrotna": [1, 5], "obliczani": [1, 6], "odwrotnej": [1, 6, 12, 15], "algorytm": [1, 6], "gausa": [1, 6], "uk\u0142adi": [1, 6], "r\u00f3wna\u0144": [1, 6], "liniowych": [1, 6, 11], "uk\u0142ad": [1, 6], "crammerowski": [1, 6], "wyznaczani": [1, 6], "rz\u0119du": [1, 6], "rozwi\u0105zywani": [1, 6], "uk\u0142ad\u00f3w": [1, 6], "m": [1, 6], "neq": [1, 6], "n": [1, 6, 8, 9], "elementarn": [1, 7], "kt\u00f3re": [1, 7, 12, 17], "zmieniaj\u0105": [1, 7], "rozwi\u0105za\u0144": [1, 7], "geometria": [1, 7], "analityczna": [1, 7], "wektori": [1, 7], "wektorach": [1, 7], "p\u0142aszczyzni": [1, 7], "przestrzeni": [1, 7, 8, 9], "mathbb": [1, 7, 8], "r": [1, 7, 8], "3": [1, 7], "wektorow": [1, 8], "przestrze\u0144": [1, 8], "wektorowa": [1, 8], "podprzestrzeni": [1, 8], "liniow": [1, 8, 10], "liniowa": [1, 8, 9], "zale\u017cno\u015b\u0107": [1, 8], "wektor\u00f3w": [1, 8], "generatori": [1, 8], "o": [1, 8, 9, 12, 14, 15, 17, 19, 23, 25], "geneowaniu": [1, 8], "kombinacja": [1, 9], "pow\u0142oka": [1, 9], "baza": [1, 9], "reper": [1, 9], "bazowi": [1, 9], "aka": [1, 9], "uporz\u0105dkowana": [1, 9], "wymiar": [1, 9], "wektorowej": [1, 9], "v": [1, 9], "przej\u015bcia": [1, 9, 10], "bazach": [1, 9], "odwzorowania": [1, 10], "reprezencacja": [1, 11], "macierzowa": [1, 11], "odwzorowa\u0144": [1, 11], "matematyka": [12, 13, 26, 27], "iloczyn": [12, 13], "kartezja\u0144ski": [12, 13], "funkcja": [12, 13], "funkcji": [12, 13, 14, 15, 17, 18, 23, 24, 26, 28], "badani": [12, 13], "fnkcji": [12, 13], "sk\u0142adani": [12, 13], "ci\u0105gi": [12, 14], "wz\u00f3r": [12, 14, 21, 26, 27], "sterlinga": [12, 14, 26, 27], "wa\u017cn": [12, 14], "granic": [12, 14], "funkcj": [12, 14], "ci\u0105g\u0142": [12, 14], "ci\u0105g\u0142ych": [12, 14, 15], "lokalnym": [12, 14, 19], "zachowaniu": [12, 14], "znaku": [12, 14], "bezuta": [12, 14], "w\u0142asono\u015b\u0107": [12, 14], "garbouta": [12, 14], "osi\u0105ganiu": [12, 15], "kres\u00f3w": [12, 15], "ci\u0105g\u0142o\u015bci": [12, 15, 17], "z\u0142o\u017conej": [12, 15], "dzia\u0142aniach": [12, 15], "dla": [12, 15], "przyk\u0142adi": [12, 15, 17], "interpretacja": [12, 16], "krzywej": [12, 16], "r\u00f3\u017cniczkowani": [12, 17], "pochodnej": [12, 17], "pochodnych": [12, 17, 19], "maj\u0105": [12, 17], "r\u00f3\u017cniczkowalnej": [12, 17], "r\u00f3\u017cniczkowalno\u015bci": [12, 17], "z\u0142o\u017ce\u0144": [12, 17], "r\u00f3\u017cniczkowalnych": [12, 17], "pochodn": [12, 17], "trygonometrycznych": [12, 17], "pochodna": [12, 17, 18], "iloczynu": [12, 18], "ilorazu": [12, 18], "z\u0142o\u017cenia": [12, 18], "logarytmiczna": [12, 18], "zastosowani": [12, 19], "maksimum": [12, 19], "lokaln": [12, 19, 22], "zerowaniu": [12, 19], "si\u0119": [12, 19], "lagrang": [12, 19, 20], "warto\u015bci": [12, 19], "\u015bredniej": [12, 19], "coushi": [12, 19], "ego": [12, 19], "wnioski": [12, 20], "tw": [12, 20], "agh": [12, 20], "regu\u0142a": [12, 20], "de": [12, 20], "l": [12, 20], "hospitala": [12, 20], "poj\u0119ci": [12, 21], "r\u00f3\u017cniczki": [12, 21], "oznaczenia": [12, 21], "taylora": [12, 21], "maclaurina": [12, 21], "reszta": [12, 22], "peano": [12, 22], "ekstrema": [12, 22], "zadania": [12, 23], "wypuk\u0142o\u015b\u0107": [12, 23], "wypuk\u0142o\u015bci": [12, 23], "asymptoti": [12, 23], "sporz\u0105dzani": [12, 24], "wykres\u00f3w": [12, 24], "rachunek": [12, 25], "ca\u0142kowi": [12, 25], "ca\u0142ki": [12, 25], "sta\u0142ej": [12, 25], "ca\u0142kowania": [12, 25], "metodi": [12, 25], "obliczania": [12, 25], "ca\u0142ek": [12, 25], "zgadywani": [12, 25], "liniowo\u015b\u0107": [12, 25], "przez": [12, 25], "cz\u0119\u015bci": [12, 25], "\u0107wiczenia": [26, 27, 29, 30], "przydatn": [26, 28], "przyk\u0142adowa": [26, 28], "tabela": [26, 28], "przebiegu": [26, 28], "zmienno\u015bci": [26, 28], "triksi": [26, 28], "mechanika": [29, 30], "gradient": [29, 30], "wst\u0119p": 31}, "envversion": {"sphinx.domains.c": 3, "sphinx.domains.changeset": 1, "sphinx.domains.citation": 1, "sphinx.domains.cpp": 9, "sphinx.domains.index": 1, "sphinx.domains.javascript": 3, "sphinx.domains.math": 2, "sphinx.domains.python": 4, "sphinx.domains.rst": 2, "sphinx.domains.std": 2, "sphinx": 60}, "alltitles": {"ALGEBRA": [[1, "algebra"], [2, "algebra"]], "Zestaw 1 zadanie 5": [[1, "zestaw-1-zadanie-5"], [2, "zestaw-1-zadanie-5"]], "Cia\u0142o liczb zespolonych": [[1, "cialo-liczb-zespolonych"], [3, "cialo-liczb-zespolonych"]], "Dzielenie": [[1, "dzielenie"], [3, "dzielenie"]], "Sprz\u0119\u017cenie": [[1, "sprzezenie"], [3, "sprzezenie"]], "modu\u0142 liczby zespolonej": [[1, "modul-liczby-zespolonej"], [3, "modul-liczby-zespolonej"]], "Posta\u0107 trygonometryczna liczyb zespolonej": [[1, "postac-trygonometryczna-liczyb-zespolonej"], [3, "postac-trygonometryczna-liczyb-zespolonej"]], "pot\u0119gowanie liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej": [[1, "potegowanie-liczby-zespolonej-w-postaci-trygonometrycznej"], [3, "potegowanie-liczby-zespolonej-w-postaci-trygonometrycznej"]], "posta\u0107 wyk\u0142adnicza": [[1, "postac-wykladnicza"], [3, "postac-wykladnicza"]], "Sprz\u0119\u017cenie w postaci wyk\u0142adniczej": [[1, null], [3, null]], "zasadnicze twierdzenie algebry": [[1, "zasadnicze-twierdzenie-algebry"], [3, "zasadnicze-twierdzenie-algebry"]], "Zestaw 2 zadanie 4, przyk\u0142ad a": [[1, "zestaw-2-zadanie-4-przyklad-a"], [4, "zestaw-2-zadanie-4-przyklad-a"]], "Macierze": [[1, "macierze"], [5, "macierze"]], "Macierz zerowa": [[1, null], [5, null]], "Macierz diagonalna": [[1, null], [5, null]], "Dzia\u0142ania na macierzach": [[1, "dzialania-na-macierzach"], [5, "dzialania-na-macierzach"]], "W\u0142asno\u015bci dzia\u0142a\u0144": [[1, "wlasnosci-dzialan"], [5, "wlasnosci-dzialan"]], "Suma element\u00f3w na przek\u0105tnych": [[1, "suma-elementow-na-przekatnych"], [5, "suma-elementow-na-przekatnych"]], "Macierze symetryczne i antysymetryczne": [[1, "macierze-symetryczne-i-antysymetryczne"], [5, "macierze-symetryczne-i-antysymetryczne"]], "Twierdzenie": [[1, null], [5, null], [12, null], [22, null]], "Wyznacznik macierzy": [[1, "wyznacznik-macierzy"], [5, "wyznacznik-macierzy"]], "Definicja": [[1, null], [5, null], [12, null], [21, null]], "zmiany na macierzy nie zmieniaj\u0105ce wyznacznika": [[1, "zmiany-na-macierzy-nie-zmieniajace-wyznacznika"], [5, "zmiany-na-macierzy-nie-zmieniajace-wyznacznika"]], "Macierz odwrotna": [[1, "macierz-odwrotna"], [5, "macierz-odwrotna"]], "Obliczanie macierzy odwrotnej": [[1, "obliczanie-macierzy-odwrotnej"], [6, "obliczanie-macierzy-odwrotnej"]], "Algorytm gausa": [[1, null], [6, null]], "W\u0142asno\u015bci macierzy odwrotnej": [[1, "wlasnosci-macierzy-odwrotnej"], [6, "wlasnosci-macierzy-odwrotnej"]], "Uk\u0142ady r\u00f3wna\u0144 liniowych": [[1, "uklady-rownan-liniowych"], [6, "uklady-rownan-liniowych"]], "Uk\u0142ad r\u00f3wna\u0144": [[1, "uklad-rownan"], [6, "uklad-rownan"]], "uk\u0142ady crammerowskie": [[1, null], [6, null]], "Wyznaczanie rz\u0119du": [[1, "wyznaczanie-rzedu"], [6, "wyznaczanie-rzedu"]], "Rozwi\u0105zywanie uk\u0142ad\u00f3w r\u00f3wna\u0144 m \\neq n": [[1, "rozwiazywanie-ukladow-rownan-m-neq-n"], [6, "rozwiazywanie-ukladow-rownan-m-neq-n"]], "Dzia\u0142ania elementarne, kt\u00f3re nie zmieniaj\u0105 rozwi\u0105za\u0144": [[1, "dzialania-elementarne-ktore-nie-zmieniaja-rozwiazan"], [7, "dzialania-elementarne-ktore-nie-zmieniaja-rozwiazan"]], "Geometria Analityczna": [[1, "geometria-analityczna"], [7, "geometria-analityczna"]], "Wektory": [[1, "wektory"], [7, "wektory"]], "Dzia\u0142ania na wektorach": [[1, "dzialania-na-wektorach"], [7, "dzialania-na-wektorach"]], "P\u0142aszczyzny w przestrzeni \\mathbb{R}^3": [[1, "plaszczyzny-w-przestrzeni-mathbb-r-3"], [7, "plaszczyzny-w-przestrzeni-mathbb-r-3"]], "Przestrzenie wektorowe": [[1, "przestrzenie-wektorowe"], [8, "przestrzenie-wektorowe"]], "Przestrze\u0144 Wektorowa": [[1, null], [8, null]], "Podprzestrzenie liniowe": [[1, "podprzestrzenie-liniowe"], [8, "podprzestrzenie-liniowe"]], "Liniowa zale\u017cno\u015b\u0107 wektor\u00f3w": [[1, "liniowa-zaleznosc-wektorow"], [8, "liniowa-zaleznosc-wektorow"]], "liniowa zale\u017cno\u015b\u0107 wektor\u00f3w": [[1, null], [8, null]], "Generatory": [[1, null], [8, null]], "Twierdzenie o geneowaniu podprzestrzeni \\mathbb{R}^n": [[1, null], [8, null]], "kombinacja zerowa": [[1, null], [9, null]], "Pow\u0142oka liniowa": [[1, null], [9, null]], "Baza": [[1, "baza"], [1, null], [9, "baza"], [9, null]], "Reper Bazowy (aka Baza uporz\u0105dkowana)": [[1, null], [9, null]], "Wymiar przestrzeni wektorowej V": [[1, null], [9, null]], "Macierz Przej\u015bcia": [[1, "macierz-przejscia"], [1, "id1"], [9, "macierz-przejscia"], [10, "macierz-przejscia"]], "Macierz przej\u015bcia": [[1, null], [9, null]], "Twierdzenie o N-Bazach": [[1, null], [9, null]], "Odwzorowania Liniowe": [[1, "odwzorowania-liniowe"], [10, "odwzorowania-liniowe"]], "Reprezencacja macierzowa odwzorowa\u0144 liniowych": [[1, null], [11, null]], "MATEMATYKA": [[12, "matematyka"], [13, "matematyka"]], "Iloczyn kartezja\u0144ski:": [[12, "iloczyn-kartezjanski"], [13, "iloczyn-kartezjanski"]], "Funkcja": [[12, "funkcja"], [13, "funkcja"]], "w\u0142asno\u015bci funkcji": [[12, "wlasnosci-funkcji"], [13, "wlasnosci-funkcji"]], "badanie w\u0142asno\u015bci fnkcji": [[12, "badanie-wlasnosci-fnkcji"], [13, "badanie-wlasnosci-fnkcji"]], "sk\u0142adanie funkcji": [[12, "skladanie-funkcji"], [13, "skladanie-funkcji"]], "Ci\u0105gi": [[12, "ciagi"], [14, "ciagi"]], "wz\u00f3r Sterlinga": [[12, null], [14, null]], "wa\u017cne granice": [[12, "wazne-granice"], [14, "wazne-granice"]], "Funkcje ci\u0105g\u0142e": [[12, "funkcje-ciagle"], [14, "funkcje-ciagle"]], "W\u0142asno\u015bci funkcji ci\u0105g\u0142ych": [[12, "wlasnosci-funkcji-ciaglych"], [14, "wlasnosci-funkcji-ciaglych"]], "Twierdzenie o lokalnym zachowaniu znaku": [[12, null], [14, null]], "Twierdzenie Bezuta": [[12, null], [14, null]], "w\u0142asono\u015b\u0107 Garbouta": [[12, null], [14, null]], "Twierdzenie o osi\u0105ganiu kres\u00f3w": [[12, null], [15, null]], "Twierdzenie o ci\u0105g\u0142o\u015bci funkcji odwrotnej": [[12, null], [15, null]], "Twierdzenie o ci\u0105g\u0142o\u015bci funkcji z\u0142o\u017conej": [[12, null], [15, null]], "Twierdzenie o 4 dzia\u0142aniach dla funkcji ci\u0105g\u0142ych": [[12, null], [15, null]], "Przyk\u0142ady funkcji ci\u0105g\u0142ych": [[12, "przyklady-funkcji-ciaglych"], [15, "przyklady-funkcji-ciaglych"]], "Interpretacja krzywej": [[12, "interpretacja-krzywej"], [16, "interpretacja-krzywej"]], "R\u00f3\u017cniczkowanie": [[12, "rozniczkowanie"], [17, "rozniczkowanie"]], "Definicja pochodnej": [[12, null], [17, null]], "Przyk\u0142ady funkcji pochodnych": [[12, "przyklady-funkcji-pochodnych"], [17, "przyklady-funkcji-pochodnych"]], "Przyk\u0142ady funkcji, kt\u00f3re nie maj\u0105 pochodnych": [[12, "przyklady-funkcji-ktore-nie-maja-pochodnych"], [17, "przyklady-funkcji-ktore-nie-maja-pochodnych"]], "Twierdzenie o ci\u0105g\u0142o\u015bci funkcji r\u00f3\u017cniczkowalnej": [[12, null], [17, null]], "Dzia\u0142ania na pochodnych": [[12, "dzialania-na-pochodnych"], [17, "dzialania-na-pochodnych"]], "Twierdzenie o r\u00f3\u017cniczkowalno\u015bci z\u0142o\u017ce\u0144 funkcji r\u00f3\u017cniczkowalnych": [[12, null], [17, null]], "Pochodne funkcji trygonometrycznych": [[12, "pochodne-funkcji-trygonometrycznych"], [17, "pochodne-funkcji-trygonometrycznych"]], "Pochodna funkcji wyk\u0142adniczej": [[12, "pochodna-funkcji-wykladniczej"], [17, "pochodna-funkcji-wykladniczej"]], "pochodna iloczynu": [[12, null], [18, null]], "pochodna ilorazu": [[12, null], [18, null]], "twierdzenie": [[12, null], [18, null]], "pochodna z\u0142o\u017cenia funkcji": [[12, null], [18, null]], "Pochodna logarytmiczna": [[12, "pochodna-logarytmiczna"], [18, "pochodna-logarytmiczna"]], "Zastosowanie pochodnych": [[12, "zastosowanie-pochodnych"], [19, "zastosowanie-pochodnych"]], "Maksimum lokalne": [[12, null], [19, null]], "Twierdzenie o zerowaniu si\u0119 pochodnych w maksimum lokalnym": [[12, null], [19, null]], "Twierdzenie Lagrange\u2019a o warto\u015bci \u015bredniej": [[12, null], [19, null]], "Twierdzenie Coushy\u2019ego": [[12, null], [19, null]], "Wnioski Tw. Lagrange\u2019a": [[12, "wnioski-tw-lagrangea"], [20, "wnioski-tw-lagrangea"]], "Twierdzenie AGH": [[12, null], [20, null]], "Regu\u0142a de l\u2019Hospitala": [[12, "regula-de-lhospitala"], [12, null], [20, "regula-de-lhospitala"], [20, null]], "Poj\u0119cie R\u00f3\u017cniczki": [[12, "pojecie-rozniczki"], [21, "pojecie-rozniczki"]], "Oznaczenia": [[12, "oznaczenia"], [21, "oznaczenia"]], "Wz\u00f3r Taylora": [[12, "wzor-taylora"], [21, "wzor-taylora"]], "Wz\u00f3r Maclaurina": [[12, null], [21, null]], "Reszta Peano": [[12, "reszta-peano"], [22, "reszta-peano"]], "Ekstrema lokalne": [[12, "ekstrema-lokalne"], [22, "ekstrema-lokalne"]], "Zadania": [[12, "zadania"], [23, "zadania"]], "Wypuk\u0142o\u015b\u0107 funkcji": [[12, "wypuklosc-funkcji"], [23, "wypuklosc-funkcji"]], "Twierdzenie o wypuk\u0142o\u015bci": [[12, null], [23, null]], "Asymptoty": [[12, "asymptoty"], [23, "asymptoty"]], "Sporz\u0105dzanie wykres\u00f3w funkcji": [[12, "sporzadzanie-wykresow-funkcji"], [24, "sporzadzanie-wykresow-funkcji"]], "Rachunek Ca\u0142kowy": [[12, "rachunek-calkowy"], [25, "rachunek-calkowy"]], "definicja ca\u0142ki": [[12, null], [25, null]], "Twierdzenie o sta\u0142ej ca\u0142kowania": [[12, null], [25, null]], "Metody obliczania ca\u0142ek": [[12, "metody-obliczania-calek"], [25, "metody-obliczania-calek"]], "Zgadywanie": [[12, "zgadywanie"], [25, "zgadywanie"]], "Liniowo\u015b\u0107*": [[12, null], [25, null]], "przez cz\u0119\u015bci": [[12, "przez-czesci"], [25, "przez-czesci"]], "Matematyka - \u0107wiczenia": [[26, "matematyka-cwiczenia"], [27, "matematyka-cwiczenia"]], "Wz\u00f3r sterlinga": [[26, null], [27, null]], "Przydatne w\u0142asno\u015bci": [[26, "przydatne-wlasnosci"], [28, "przydatne-wlasnosci"]], "Przyk\u0142adowa tabela przebiegu zmienno\u015bci funkcji:": [[26, "przykladowa-tabela-przebiegu-zmiennosci-funkcji"], [28, "przykladowa-tabela-przebiegu-zmiennosci-funkcji"]], "Triksy": [[26, "triksy"], [28, "triksy"]], "Mechanika - \u0106wiczenia": [[29, "mechanika-cwiczenia"], [30, "mechanika-cwiczenia"]], "Gradient": [[29, null], [30, null]], "Wst\u0119p": [[31, "wstep"]]}, "indexentries": {}})
\ No newline at end of file
+Search.setIndex({"docnames": ["assets/index", "assets/notes/algebra", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.09", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.10", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.11_zadanie", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.17", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.24", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.31", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.07", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.14", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.21.2023", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.28.2023", "assets/notes/algebra/algebra_2023.12.05", "assets/notes/matematyka", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.09", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.15", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.23", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.24", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.30", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.31", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.06", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.07", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.13", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.14", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.20", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.21", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.12.04", "assets/notes/matematyka_cw", "assets/notes/matematyka_cw/matematyka_cw_2023.10.19", "assets/notes/matematyka_cw/matematyka_cw_2023.11.30", "assets/notes/mechanika_cw", "assets/notes/mechanika_cw/mechanika_cw_24.11.2023", "index"], "filenames": ["assets/index.rst", "assets/notes/algebra.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.09.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.10.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.11_zadanie.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.17.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.24.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.10.31.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.07.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.14.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.21.2023.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.11.28.2023.md", "assets/notes/algebra/algebra_2023.12.05.md", "assets/notes/matematyka.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.09.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.15.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.23.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.24.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.30.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.10.31.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.06.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.07.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.13.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.14.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.20.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.11.21.md", "assets/notes/matematyka/matematyka_2023.12.04.md", "assets/notes/matematyka_cw.md", "assets/notes/matematyka_cw/matematyka_cw_2023.10.19.md", "assets/notes/matematyka_cw/matematyka_cw_2023.11.30.md", "assets/notes/mechanika_cw.md", "assets/notes/mechanika_cw/mechanika_cw_24.11.2023.md", "index.rst"], "titles": ["&lt;no title&gt;", "ALGEBRA", "ALGEBRA", "Cia\u0142o liczb zespolonych", "Zestaw 2 zadanie 4, przyk\u0142ad a", "Macierze", "Obliczanie macierzy odwrotnej", "Dzia\u0142ania elementarne, kt\u00f3re nie zmieniaj\u0105 rozwi\u0105za\u0144", "Przestrzenie wektorowe", "Baza", "Macierz Przej\u015bcia", "&lt;no title&gt;", "Endomorfizmy", "MATEMATYKA", "MATEMATYKA", "Ci\u0105gi", "Przyk\u0142ady funkcji ci\u0105g\u0142ych", "Interpretacja krzywej", "R\u00f3\u017cniczkowanie", "Pochodna logarytmiczna", "Zastosowanie pochodnych", "Wnioski Tw. Lagrange\u2019a", "Poj\u0119cie R\u00f3\u017cniczki", "Reszta Peano", "Zadania", "Sporz\u0105dzanie wykres\u00f3w funkcji", "Rachunek Ca\u0142kowy", "Matematyka - \u0107wiczenia", "Matematyka - \u0107wiczenia", "Przydatne w\u0142asno\u015bci", "Mechanika - \u0106wiczenia", "Mechanika - \u0106wiczenia", "Wst\u0119p"], "terms": {"notatki": [1, 13, 27, 30], "z": [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 22, 24, 26, 27, 29, 30, 31], "pliku": [1, 13, 27, 30], "note": [1, 13, 27, 30], "algebra_2023": 1, "10": [1, 13, 27], "09": [1, 13], "md": [1, 13, 27, 30], "korzystaj\u0105c": [1, 2, 6], "za": [1, 2, 8], "indukcji": [1, 2], "udowodnij": [1, 2], "\u017ce": [1, 2, 3, 5, 8, 9, 12, 13, 15, 18, 22, 23], "dla": [1, 2, 5, 7, 8, 11, 12, 15, 18, 20, 22, 24, 27, 29], "dowolnego": [1, 2, 13, 15], "geq": [1, 2, 5, 8, 13, 20, 21, 27, 29], "liczba": [1, 2, 3, 5, 6, 9, 12, 13, 23], "diagonalnych": [1, 2], "konci": [1, 2], "wypuk\u0142ym": [1, 2], "jest": [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 30, 31, 32], "niewi\u0119ksza": [1, 2], "ni\u017c": [1, 2, 8, 9, 13, 21], "frac": [1, 2, 3, 4, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 30, 31], "utworzeni": [1, 2], "wzoru": [1, 2, 13, 22], "liczb\u0119": [1, 2, 5], "k\u0105tu": [1, 2], "6": [1, 2, 13, 22, 24, 27, 29], "tego": [1, 2, 32], "wniosek": [1, 2], "d": [1, 2, 13, 15, 16, 22], "sprawdzeni": [1, 2], "warunku": [1, 2, 10], "leq": [1, 2, 13, 20, 21, 22, 24], "krok": [1, 2], "indukcyjni": [1, 2], "za\u0142\u00f3\u017cmi": [1, 2, 9, 10], "2n": [1, 2], "3n": [1, 2], "5n": [1, 2], "0": [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 30, 31], "wtedi": [1, 2, 10, 13, 14, 16, 18, 19, 20], "begin": [1, 2, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 20], "matrix": [1, 2, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 20], "ind": [1, 2], "mat": [1, 2], "foral": [1, 2, 8, 13, 14, 15, 16, 18, 21], "geq0": [1, 2], "end": [1, 2, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 20], "przeciwie\u0144stwi": [1, 3], "do": [1, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 32], "rzeczywistych": [1, 3, 13, 23], "mo\u017cna": [1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 15], "ich": [1, 3, 5], "przedstawi\u0107": [1, 3, 8, 10, 13, 15], "linearnej": [1, 3], "dlatego": [1, 3], "te\u017c": [1, 3, 13, 19, 26], "powiedzie\u0107": [1, 3], "dana": [1, 3], "ujemna": [1, 3], "dodatnia": [1, 3], "zespolona": [1, 3], "para": [1, 3], "przy": [1, 3, 10, 13, 18, 27, 29], "dzieleniu": [1, 3], "nale\u017ci": [1, 3, 6, 9, 10, 12], "pomno\u017cy\u0107": [1, 3], "przez": [1, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 18, 32], "czynnik": [1, 3], "sprz\u0119\u017coni": [1, 3], "tak": [1, 3, 6, 8, 13, 14], "jak": [1, 3, 8, 11], "usuwani": [1, 3], "niewymierno\u015bci": [1, 3], "mianownika": [1, 3], "okre\u015blami": [1, 3, 5], "jako": [1, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 15], "bar": [1, 3, 4], "niech": [1, 3, 8, 10, 13, 14, 15, 16, 18, 26], "c": [1, 3, 5, 8, 13, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26], "x": [1, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 30, 31], "y": [1, 3, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 22, 24, 30, 31], "uto\u017csamiani": [1, 3], "d\u0142ugo\u015bci\u0105": [1, 3], "wektora": [1, 3, 7, 8, 9], "b\u0119d\u0105cego": [1, 3], "interpretacj\u0105": [1, 3], "urojonej": [1, 3], "yi": [1, 3], "sqrt": [1, 3, 4, 13, 15, 17, 18, 21, 24, 26, 27, 28, 29], "r\u00f3wnie\u017c": [1, 3, 13, 16, 23], "exist": [1, 3, 5, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 24], "co": [1, 3, 5, 7, 13, 17, 18, 19, 21, 22, 24, 26], "land": [1, 3, 8, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 22, 23, 24], "sin": [1, 3, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 24, 26], "arg": [1, 3], "tzw": [1, 3, 5, 6, 8], "argument": [1, 3], "g\u0142\u00f3wny": [1, 3], "gdzie": [1, 3, 5, 8, 9, 12, 13, 16], "argz": [1, 3], "pi": [1, 3, 4, 7, 13, 14, 15, 24, 27, 28], "wz\u00f3r": [1, 3], "de": [1, 3, 27, 29], "moivr": [1, 3], "z_1": [1, 3], "z_2": [1, 3], "alpha": [1, 3, 6, 7, 8, 10, 13, 18, 22, 24, 26], "beta": [1, 3, 8, 10], "e": [1, 3, 4, 8, 13, 15, 17, 18, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29], "leftrightarrow": [1, 3, 8, 11, 13, 14, 16, 19, 20, 24], "z_k": [1, 3], "root": [1, 3, 13, 16, 27, 29], "2k": [1, 3, 4], "k": [1, 3, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 22], "pierwiastek": [1, 3], "stopnia": [1, 3], "ma": [1, 3, 12, 13, 14, 16, 20, 22, 26], "ka\u017cdi": [1, 3, 5], "wielomian": [1, 3, 13, 15], "dodatniego": [1, 3], "rozwi\u0105zania": [1, 3], "11_zadani": 1, "r\u00f3wnani": [1, 4, 7, 13, 14, 18, 22], "spelnion": [1, 4], "dlz": [1, 4], "2i": [1, 4], "3i": [1, 4], "cap": [1, 4], "lor": [1, 4, 13, 24], "17": 1, "oznaczeni": [1, 5, 9], "m_": [1, 5, 6], "time": [1, 5, 13, 14], "wymiari": [1, 5, 8], "kt\u00f3rym": [1, 5, 12], "dwie": [1, 5, 10], "s\u0105": [1, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 18, 19, 20, 21], "r\u00f3wne": [1, 5], "gdy": [1, 5, 6, 8, 13, 21], "oraz": [1, 5, 8, 10, 13, 14, 15, 16, 18, 26], "wszystki": [1, 5, 12], "macierz\u0105": [1, 5, 6], "kwadratow\u0105": [1, 5], "nazywami": [1, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 18, 22, 26], "kt\u00f3rej": [1, 5, 11], "taka": [1, 5, 8, 13, 16], "0_": [1, 5], "elementi": [1, 5, 8, 11], "niezerow": [1, 5], "le\u017c\u0105": [1, 5], "jedyni": [1, 5], "dodawani": [1, 5, 11], "odejmowani": [1, 5], "kt\u00f3rych": [1, 5, 6, 13, 23, 24], "wyrazi": [1, 5], "wykonujemi": [1, 5], "poprzez": [1, 5], "odpowiednich": [1, 5], "wyraz\u00f3w": [1, 5, 8], "mno\u017ceni": [1, 5, 7, 8, 11], "wyraz": [1, 5], "mno\u017cymi": [1, 5, 6], "transponowani": [1, 5], "wiersz": [1, 5], "si\u0119": [1, 5, 6, 8, 12, 23, 24], "kolumni": [1, 5, 8, 9, 11], "A": [1, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 14, 21, 30, 31], "musi": [1, 5, 8, 11, 13, 14, 23], "mie\u0107": [1, 5], "tyle": [1, 5], "samo": [1, 5], "kolumn": [1, 5, 7], "wierszi": [1, 5, 7], "dziedziczon": [1, 5], "ze": [1, 5, 10, 13, 14], "zbioru": [1, 5, 8, 12, 13, 14], "sk\u0142adani": [1, 5, 11], "\u0142\u0105czne": [1, 5, 8], "al": [1, 5], "przemienn": [1, 5], "jednostkowa": [1, 5], "elementem": [1, 5], "neutralnym": [1, 5], "bmatrix": [1, 5, 9, 13, 14], "t": [1, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 17], "ab": [1, 5, 6], "b": [1, 5, 6, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 24], "tr": [1, 5], "vmatrix": [1, 5], "bf": [1, 5, 9, 13, 14, 15, 21], "7": [1, 5, 13, 22], "\u015blad": [1, 5], "przek\u0105tnej": [1, 5], "ka\u017cd\u0105": [1, 5], "rozbi\u0107": [1, 5], "jedna": [1, 5], "symetryczna": [1, 5], "druga": [1, 5, 6, 13, 23], "antysymetryczna": [1, 5], "deta": [1, 5, 6], "a_11": [1, 5], "sum_": [1, 5], "j": [1, 5, 6, 8, 9], "a_ij": [1, 5, 6], "deta_ij": [1, 5], "minor": [1, 5], "powsta\u0142ej": [1, 5], "po": [1, 5, 12], "skre\u015bleniu": [1, 5], "ego": [1, 5], "wiersza": [1, 5, 7], "tej": [1, 5, 32], "trujk\u0105tnych": [1, 5], "g\u00f3rnych": [1, 5], "dolnych": [1, 5], "iloczyn": [1, 5, 7, 27, 29, 32], "je\u017ce": [1, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26], "jednej": [1, 5], "same": [1, 5], "det": [1, 5, 12], "detb": [1, 5], "detc": [1, 5], "miejscami": [1, 5], "zmieni": [1, 5, 12], "znak": [1, 5, 13, 23], "proporcjonaln": [1, 5], "kolumna": [1, 5], "kombinacj\u0105": [1, 5], "liniow\u0105": [1, 5, 6, 13, 18], "pozosta\u0142ych": [1, 5, 8], "doda\u0107": [1, 5], "kombinacj\u0119": [1, 5], "kwadraow": [1, 5], "osobliwa": [1, 5], "odwracalna": [1, 5], "niosobliwa": [1, 5], "24": [1, 13, 22], "odwracaln": [1, 6], "tworz\u0105": [1, 6], "grup\u0119": [1, 6], "metoda": [1, 6], "dope\u0142nie\u0144": [1, 6], "algebaicznych": [1, 6], "mo\u017cemi": [1, 6, 7, 27, 29], "j\u0105": [1, 6], "obliczy\u0107": [1, 6], "tylko": [1, 6, 27, 29], "ij": [1, 6], "powsta\u0142\u0105": [1, 6], "transponujemi": [1, 6], "k\u0105\u017cdy": [1, 6], "element": [1, 6, 8, 13, 14], "operacji": [1, 6], "elementarnych": [1, 6], "bezwyznacznikiowa": [1, 6], "zestawieni": [1, 6], "blokowej": [1, 6], "jednostkowej": [1, 6], "uda": [1, 6], "sprowadzi\u0107": [1, 6], "cz\u0119\u015b\u0107": [1, 6], "bloku": [1, 6], "b\u0119dzie": [1, 6, 13, 16, 22], "odwrotn\u0105": [1, 6, 10, 13, 16], "uzyska\u0107": [1, 6], "trujk\u0105tn\u0105": [1, 6], "g\u00f3rn\u0105": [1, 6], "przemieszczaj\u0105c": [1, 6], "od": [1, 6, 7, 12], "lewego": [1, 6], "g\u00f3rnego": [1, 6], "rogu": [1, 6], "zerowani": [1, 6], "prawej": [1, 6], "lew\u0105": [1, 6], "stron\u0119": [1, 6], "zapisa\u0107": [1, 6, 9, 27, 29], "taki": [1, 6, 13, 15, 22], "niewiadomych": [1, 6, 7], "r\u00f3wna": [1, 6, 13, 23, 30, 31], "kwadratowa": [1, 6], "w_x": [1, 6], "je\u015bli": [1, 6, 13, 15, 16, 23, 24, 26, 32], "oznaczoni": [1, 6], "wykorzysta\u0107": [1, 6], "rz\u0105d": [1, 6, 7, 8], "najwi\u0119kszi": [1, 6], "stopie\u0144": [1, 6], "niezerowego": [1, 6], "minora": [1, 6], "sprowadzani": [1, 6], "schodkowej": [1, 6], "ilo\u015b\u0107": [1, 6], "schod\u00f3w": [1, 6], "sprzeczni": [1, 6], "je\u017cei": [1, 6], "ro\u017cni": [1, 6], "uzupe\u0142nionej": [1, 6], "31": [1, 13], "skre\u015bleni": [1, 7], "samych": [1, 7], "zer": [1, 7], "jednego": [1, 7, 12], "proporcjonalnych": [1, 7], "dowoln\u0105": [1, 7], "sta\u0142\u0105": [1, 7, 13, 26], "niezerow\u0105": [1, 7], "przestawieni": [1, 7], "uk\u0142adu": [1, 7], "informuj": [1, 7], "il": [1, 7, 13, 18], "danego": [1, 7], "wyliczy\u0107": [1, 7], "wektor": [1, 7, 8, 9, 10, 12], "oznaczac": [1, 7], "\u0142ugo\u015bci": [1, 7], "wersorem": [1, 7], "k\u0105ty": [1, 7], "kierunkow": [1, 7], "k\u0105t": [1, 7], "mi\u0119dzi": [1, 7], "osi\u0105": [1, 7], "wektorem": [1, 7], "cosinu": [1, 7], "kierunkowi": [1, 7], "stosunek": [1, 7], "u_x": [1, 7], "vec": [1, 7, 30, 31], "u": [1, 7, 8, 12], "wersor\u00f3w": [1, 7, 9], "cosinusi": [1, 7], "wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne": [1, 7, 8, 9], "odniesieni": [1, 7], "skalarni": [1, 7], "rozdzielni": [1, 7], "wzgl\u0119dem": [1, 7, 8, 13, 14], "dodawania": [1, 7, 8], "mieszani": [1, 7], "v_1": [1, 7, 8, 9], "v_2": [1, 7, 8, 9], "v_3": [1, 7, 8], "left": [1, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22, 24, 27, 28, 29, 30, 31], "x_0": [1, 7, 13, 15, 18, 20, 22, 23, 24], "a_x": [1, 7], "": [1, 7], "b_x": [1, 7], "y_0": [1, 7, 13, 18], "a_i": [1, 7], "b_y": [1, 7], "z_0": [1, 7], "a_z": [1, 7], "b_z": [1, 7], "right": [1, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22, 24, 27, 28, 29, 30, 31], "11": [1, 13, 27, 30], "07": [1, 13], "grup\u0105": [1, 8], "abelow\u0105": [1, 8], "natomiast": [1, 8, 9, 11, 13, 26], "zbiorem": [1, 8], "emptyset": [1, 8], "quad": [1, 8, 9, 13, 18, 20, 21, 22], "wyst\u0119puj": [1, 8, 10], "rozdzielno\u015b\u0107": [1, 8], "mno\u017cenia": [1, 8], "mno\u017ceniu": [1, 8], "sumi": [1, 8, 13, 18], "skalar": [1, 8], "skalar\u00f3w": [1, 8], "neutralni": [1, 8], "mo\u017cliw": [1, 8, 13, 19], "wektorami": [1, 8, 9], "skalarami": [1, 8], "zbi\u00f3r": [1, 8, 10, 11, 12, 13, 14], "tradycyjni": [1, 8], "p\u0142aszczy\u017ani": [1, 8], "dwuwymiarowej": [1, 8], "okre\u015bla": [1, 8], "dwa": [1, 8, 13, 18], "palszczyzni": [1, 8], "podprzestrzeni\u0105": [1, 8, 9], "zadeklarowan": [1, 8], "te": [1, 8], "niej": [1, 8], "wewn\u0119trzn": [1, 8], "innymi": [1, 8], "s\u0142owi": [1, 8], "abi": [1, 8, 10, 11], "sprawdzi\u0107": [1, 8, 10], "czy": [1, 8, 10, 13, 23], "dani": [1, 8, 13, 23], "dwuch": [1, 8], "skalara": [1, 8], "nale\u017ce\u0107": [1, 8, 13, 14], "definicji": [1, 8], "translacja": [1, 8, 10, 13, 26], "dodani": [1, 8, 10], "sta\u0142ej": [1, 8], "ta": [1, 8, 13, 14, 22], "x_1": [1, 8, 9, 10, 13, 16, 18], "x_2": [1, 8, 9, 10, 13, 16, 18], "2x": [1, 8, 11, 13, 18, 24, 26], "2x_1": [1, 8], "2x_2": [1, 8], "analogiczni": [1, 8], "post\u0119powa\u0107": [1, 8], "innych": [1, 8], "liniowo": [1, 8, 9, 10, 11], "niezale\u017cn": [1, 8, 9], "\u017cadnego": [1, 8], "nich": [1, 8, 13, 22], "formi": [1, 8], "kombinacji": [1, 8], "liniowej": [1, 8, 9], "przyk\u0142adowo": [1, 8, 11, 27, 29], "gamma": [1, 8], "niezale\u017cni": [1, 8, 11], "bior\u0105c": [1, 8], "pod": [1, 8], "uwag\u0119": [1, 8], "inni": [1, 8], "18": [1, 8], "hat": [1, 8, 9], "To": [1, 8, 9], "jeden": [1, 8, 13, 14], "rz\u0119d\u00f3w": [1, 8], "wyzerowa\u0107": [1, 8], "pomoc\u0105": [1, 8], "budujemi": [1, 8], "wpisanymi": [1, 8], "por\u00f3\u0153nywa\u0107": [1, 8], "ow": [1, 8], "przyr\u00f3wnujemi": [1, 8], "obliczami": [1, 8, 11], "jej": [1, 8, 13, 23], "generator\u00f3w": [1, 8, 9], "pozwalaj\u0105cych": [1, 8], "zapisani": [1, 8], "ka\u017cdego": [1, 8], "innego": [1, 8], "danej": [1, 8, 13, 24], "w_1": [1, 8], "w_2": [1, 8], "theta": [1, 8, 13, 22, 23], "w_n": [1, 8], "oznaczami": [1, 8, 9, 10, 13, 26], "generowan\u0105": [1, 8], "podprzestrze\u0144": [1, 8], "limw": [1, 8], "v_k": [1, 8, 9], "generuj\u0105": [1, 8, 9], "wymiarach": [1, 8], "rowa": [1, 8], "r\u00f3wny": [1, 8], "kt\u00f3ra": [1, 8], "sk\u0142ada": [1, 8], "kolejno": [1, 8], "wpisanych": [1, 8], "wierszach": [1, 8], "tzn": [1, 8], "mo\u017ce": [1, 8, 10], "by\u0107": [1, 8, 10, 11], "wi\u0119cej": [1, 8, 13, 18], "wymiar\u00f3w": [1, 8], "jednak": [1, 8], "oznacza": [1, 8, 13, 23], "kilka": [1, 8], "zale\u017cnych": [1, 8], "14": [1, 13], "podzbiorami": [1, 9], "wektorowych": [1, 9], "prost": [1, 9, 13, 24], "a_1": [1, 9, 13, 14], "a_2": [1, 9, 13, 14], "a_n": [1, 9, 13, 15], "v_n": [1, 9], "a_k": [1, 9], "nazwa\u0107": [1, 9], "baz\u0105": [1, 9], "wektorow\u0105": [1, 9], "podsumowuj\u0105c": [1, 9], "niezale\u017cnych": [1, 9, 10, 11], "wymiarowej": [1, 9], "posiada": [1, 9, 13, 23], "bazi": [1, 9, 10, 12], "najprostsz\u0105": [1, 9], "jet": [1, 9], "l": [1, 9, 27, 29], "uporz\u0105dkowani": [1, 9], "ci\u0105g": [1, 9], "bazowych": [1, 9, 11], "eleent\u00f3w": [1, 9], "dimx": [1, 9], "dim": [1, 9], "mniejszi": [1, 9], "wyj\u015bciowej": [1, 9], "dimv": [1, 9], "dimw": [1, 9], "rightarrow": [1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 23, 24], "wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnymi": [1, 9], "skalari": [1, 9], "alpha_1": [1, 9], "alpha_2": [1, 9], "alpha_n": [1, 9], "zapisujemi": [1, 9], "_b": [1, 9], "p_": [1, 9, 10], "go": [1, 9], "x_n": [1, 9], "_": [1, 9], "takim": [1, 9], "przypadku": [1, 9], "powi\u0105za\u0107": [1, 9], "poszczeg\u00f3lnych": [1, 9], "wypisan": [1, 9], "jdenej": [1, 9], "obraz": [1, 9, 11], "azi": [1, 9], "b_": [1, 9, 10], "1_1": [1, 9], "1_2": [1, 9], "1_n": [1, 9], "2_1": [1, 9], "2_2": [1, 9], "2_n": [1, 9], "n_1": [1, 9], "n_2": [1, 9], "n_n": [1, 9], "przestrzenii": [1, 9], "21": [1, 13], "2023": [1, 30], "wekor\u00f3w": [1, 10], "generuj\u0105cych": [1, 10], "liczno\u015b\u0107": [1, 10], "kanonicznej": [1, 10], "innej": [1, 10], "rozwi\u0105za\u0107": [1, 10], "b_1": [1, 10], "b_2": [1, 10], "stara": [1, 10], "nowa": [1, 10], "starej": [1, 10], "kombinacj": [1, 10], "wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych": [1, 10], "nowej": [1, 10], "wypisac": [1, 10], "kolumnach": [1, 10], "nast\u0119pni": [1, 10], "znale\u017a\u0107": [1, 10, 13, 18], "p": [1, 10, 13, 15, 23], "nad": [1, 10, 12], "tym": [1, 10, 13, 26], "samym": [1, 10, 13, 26], "cia\u0142em": [1, 10], "morfizm": [1, 10], "odwzorowani": [1, 10, 11, 12, 13, 22], "zachodzi": [1, 10], "tych": [1, 10], "przestrzeniach": [1, 10], "sta\u0142\u0119j": [1, 10], "spe\u0142nia": [1, 10, 12], "addytywno\u015bci": [1, 10], "r\u00f3\u017cniczkowania": [1, 10], "dy": [1, 10, 13, 19], "dx": [1, 10, 13, 18, 19, 22, 26], "odwzorowaniem": [1, 10, 13, 14], "liniowym": [1, 10], "odwzorowaniu": [1, 10], "surjekcj\u0105": [1, 10, 13, 14], "to\u017csamo\u015b\u0107": [1, 10], "obu": [1, 10], "zbior\u00f3w": [1, 10], "epimorfizm": [1, 10], "injekcj\u0105": [1, 10, 13, 14], "wszystkich": [1, 10, 11, 12], "hom_k": [1, 10], "jeze": [1, 10], "ono": [1, 10], "ax": [1, 10, 13, 18, 24], "3a": [1, 10], "2a": [1, 10], "2b": [1, 10], "28": 1, "by\u0142": [1, 11], "injektywn": [1, 11], "rzutowani": [1, 11], "p\u0142aszczyzn\u0119": [1, 11, 13, 14], "oi": [1, 11], "reprezentuj": [1, 11], "ns\u0105": [1, 11], "obrazami": [1, 11], "reprezentacj\u0105": [1, 11], "macierzow\u0105": [1, 11], "odwzoorowania": [1, 11], "liniowego": [1, 11], "przeciwobraz": [1, 11], "przechodz\u0105": [1, 11], "je": [1, 11], "nast\u0119puj\u0105co": [1, 11], "text": [1, 11, 13, 22, 23, 24], "ker": [1, 11], "dimker": [1, 11], "podajemi": [1, 11], "dziedzina": [1, 11, 13, 14, 25], "funkcji": [1, 11, 22, 23, 26, 32], "12": [1, 13], "05": 1, "ten": [1, 12, 27, 29], "sam": [1, 12], "endomorfizm\u00f3w": [1, 12], "struktur\u0119": [1, 12], "podzbiorem": [1, 12], "lambda": [1, 12], "warto\u015bci\u0105": [1, 12], "w\u0142asn\u0105": [1, 12], "j\u0119\u017celi": [1, 12], "istniej": [1, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 23], "niezerowi": [1, 12], "kt\u00f3": [1, 12], "r\u00f3wno\u015b\u0107": [1, 12, 27, 29], "zbi\u00f3": [1, 12], "nazywa": [1, 12], "spektrum": [1, 12], "lub": [1, 12, 13, 14, 18, 26], "widmem": [1, 12], "operatora": [1, 12], "okre\u015blea": [1, 12], "zrzutowaniu": [1, 12], "o\u015b": [1, 12], "ox": [1, 12, 13, 14], "kierunku": [1, 12], "stani": [1, 12], "punktem": [1, 12, 13, 23], "spec": [1, 12], "v_y": [1, 12], "x_": [1, 12], "ti": [1, 12], "pierwiastki": [1, 12], "ww": [1, 12], "r\u00f3wnania": [1, 12], "pierwiastkami": [1, 12], "charakterystycznymi": [1, 12], "pami\u0119ta\u0107": [1, 12], "pracujemi": [1, 12], "wielomiani": [1, 12, 13, 16], "w\u0142\u0105sne": [1, 12], "zale\u017c\u0105": [1, 12], "n": [2, 3, 5, 13, 15, 16, 18, 22, 23, 27, 28, 32], "mathbb": [2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 23, 32], "4": [2, 8, 22, 24, 26, 27, 29, 32], "w": [2, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 14, 15, 16, 18, 22, 23, 24, 25, 27, 29, 32], "2": [2, 3, 5, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 29, 32], "3": [2, 4, 5, 8, 9, 11, 13, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 32], "na": [2, 6, 8, 11, 12, 14, 24, 25, 26, 27, 29, 30, 31, 32], "nie": [3, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 23, 26, 32], "i": [3, 4, 6, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 25, 26, 32], "1": [3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 32], "r": [3, 5, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 24, 32], "neq": [3, 8, 10, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 26, 32], "phi": [3, 4, 10, 11], "rozwi\u0105za\u0144": [3, 32], "m": [5, 13, 15, 16, 32], "cia\u0142o": [5, 8, 12, 32], "warto\u015bci": [5, 11, 14, 32], "zmieniaj\u0105": [5, 32], "odwzorowa\u0144": [5, 10], "przyk\u0142ad": [5, 8, 11, 27, 29, 32], "macierz": [6, 8, 11, 32], "liczbi": [6, 32], "postaci": [6, 11, 13, 23, 27, 29], "macierzi": [7, 8, 10, 11, 32], "r\u00f3wna\u0144": [7, 10, 32], "v": [8, 10, 11, 12, 13, 24], "dzia\u0142ania": [8, 32], "wektori": [8, 10, 12, 32], "5": [8, 13, 22, 27, 29, 32], "macierzach": [8, 32], "wektorach": [8, 32], "p\u0142aszczyzni": [9, 32], "uk\u0142ad": [9, 10, 32], "wektor\u00f3w": [9, 11, 32], "przestrze\u0144": [9, 10], "podprzestrzeni": [9, 32], "baza": [10, 32], "wymiar": 10, "przestrzeni": [10, 12, 32], "liniowych": [10, 32], "dzia\u0142a\u0144": [10, 32], "oper": 10, "liniow": [11, 12, 13, 22, 32], "element\u00f3w": [11, 32], "kt\u00f3re": [11, 12, 32], "odwzorowania": [11, 32], "wektorowej": 12, "matematyka_2023": 13, "przedstawiami": [13, 14], "pojedyncz\u0105": [13, 14], "pare": [13, 14], "punkt": [13, 14, 23], "f": [13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 30, 31], "ka\u017cdemu": [13, 14], "elementowi": [13, 14], "zbiour": [13, 14], "przyporz\u0105dkowani": [13, 14], "dok\u0142adni": [13, 14], "funkcj\u0119": [13, 14, 16, 22, 26], "iniekcj\u0105": [13, 14], "r\u00f3\u017cnowarto\u015bciowym": [13, 14], "bijekcj\u0105": [13, 14], "surjekcja": [13, 14], "rozwi\u0105zani": [13, 14], "injekcja": [13, 14], "jedno": [13, 14], "odwrotna": [13, 14, 16, 32], "prosta": [13, 14, 18, 24], "r\u00f3wnoleg\u0142a": [13, 14], "przecina": [13, 14], "wykr": [13, 14, 18, 24], "wi\u0119cj": [13, 14], "punktach": [13, 14, 23], "dok\u0142\u0105dni": [13, 14], "zw": [13, 14], "symetryczni": [13, 14], "wykresu": [13, 14, 18, 24, 25], "prostej": [13, 14], "zdefiniowana": [13, 14], "arcsin": [13, 14, 26], "g": [13, 14, 16, 18, 19, 20, 21, 25, 26], "h": [13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 23, 24], "cdot": [13, 14], "15": 13, "zbierzno\u015b\u0107": [13, 15], "asymptotyczna": [13, 15], "b_n": [13, 15], "lim_": [13, 15, 18, 21, 24, 27, 29], "logn": [13, 15, 17, 18], "ci\u0105g\u0142a": [13, 15, 16, 18, 20, 22], "punkci": [13, 15, 18, 20, 22, 23, 24], "mimo": [13, 15], "granica": [13, 15], "poniewa\u017c": [13, 15, 18, 20, 26, 27, 29], "notin": [13, 15], "punktu": [13, 15], "epsilon": [13, 15], "x_a": [13, 15], "pierwiastkiem": [13, 15, 23], "wielomianu": [13, 15], "w\u0142asnno\u015b\u0107": [13, 15], "przyjmowaniu": [13, 15], "warto\u015bcipo\u015brednich": [13, 15], "23": 13, "ograniczona": [13, 16], "kre": [13, 16], "dolni": [13, 16], "g\u00f3rny": [13, 16], "\u015bci\u015bl": [13, 16], "rosn\u0105ca": [13, 16], "ona": [13, 16], "kt\u00f3rje": [13, 16], "prawdziw": [13, 16], "niec": [13, 16], "dot": [13, 16], "ponadto": [13, 16], "equiv": [13, 16, 21], "const": [13, 16, 21, 26], "c_1": [13, 16], "c_2": [13, 16], "funkcjami": [13, 16], "ci\u0105g\u0142ymi": [13, 16], "cosh": [13, 17, 26], "sinh": [13, 17, 26], "tgh": [13, 17], "opi": [13, 17], "parametryczni": [13, 17], "okr\u0105g": [13, 17], "elipsa": [13, 17], "hiperbola": [13, 17], "arsinh": [13, 17], "30": [13, 27], "tg": [13, 18, 19, 24, 26], "podej\u015bci": [13, 18], "geometryczn": [13, 18], "spr\u00f3bujmi": [13, 18], "stycznej": [13, 18, 24], "sieczna": [13, 18], "przechodz\u0105ca": [13, 18], "dowoln": [13, 18], "punkti": [13, 18, 23, 25], "nale\u017c\u0105c": [13, 18], "siecznej": [13, 18], "przechodz\u0105cej": [13, 18], "granic\u0119": [13, 18], "pochodn\u0105": [13, 18, 26], "oznaczymi": [13, 18], "df": [13, 18, 22], "geometryczna": [13, 18], "k\u0105ta": [13, 18], "nachylenia": [13, 18], "fykresu": [13, 18], "to0": [13, 18], "arctg": [13, 18, 19, 24, 26], "zaawansowani": [13, 18], "kalkul": [13, 18, 26], "r\u00f3\u017cnniczkowalna": [13, 18], "sa": [13, 18], "r\u00f3\u017cniczkowaln": [13, 18, 19, 20, 21], "zachodz\u0105": [13, 18], "nast\u0119puj\u0105c": [13, 18], "wzori": [13, 18], "prawd\u0105": [13, 18], "stwierdzeni": [13, 18], "suma": [13, 18, 32], "stosownych": [13, 18], "za\u0142o\u017ceniach": [13, 18], "operacj\u0105": [13, 18], "ax_1": [13, 18], "ax_2": [13, 18], "2sin": [13, 18, 24], "fg": [13, 19], "ctg": [13, 19, 26], "log_a": [13, 19], "ln": [13, 19, 22, 26], "z\u0142o\u017ceni": [13, 19], "r\u00f3\u017cniczkowalna": [13, 19, 20, 21, 22], "dh": [13, 19], "dz": [13, 19], "06": 13, "q": [13, 20, 23], "setminu": [13, 20], "delta": [13, 20, 22], "niemalej\u0105ca": [13, 21], "nierosn\u0105ca": [13, 21], "color": [13, 21], "red": [13, 21], "white": [13, 21], "green": [13, 21], "black": [13, 21], "ni\u017cszego": [13, 21], "rz\u0119du": [13, 21, 22, 32], "r\u00f3wnego": [13, 21], "asymptotyczni": [13, 21], "r\u00f3wnowa\u017cn": [13, 21], "13": 13, "r\u00f3\u017cniczk\u0105": [13, 22], "funkcj\u0105": [13, 22, 26], "klasi": [13, 22, 24], "przedzia\u0142u": [13, 22], "psi": [13, 22], "ostatni": [13, 22], "r\u00f3wnaniem": [13, 22], "reszt\u0105": [13, 22], "rozwini\u0119ci": [13, 22], "r_n": [13, 22], "sigma_": [13, 22], "choos": [13, 22], "oblicze\u0144": [13, 22], "przybli\u017conych": [13, 22], "120": [13, 22], "720": [13, 22], "approx": [13, 22], "liczb\u0105": [13, 23], "wymiern\u0105": [13, 23], "przypu\u015b\u0107mi": [13, 23], "przest\u0119pn\u0105": [13, 23], "wiielomianu": [13, 23], "wsp\u00f3\u0142czynnikah": [13, 23], "osi\u0105ga": [13, 23], "extremum": [13, 23], "ot": [13, 23], "spe\u0142nion": [13, 23], "odwrotn": [13, 23], "zeruj": [13, 23], "podejrzanym": [13, 23], "oe": [13, 23], "ekstremum": [13, 23], "podejrzan": [13, 23], "ekstrenum": [13, 23], "znajduj\u0105": [13, 23], "szukani": [13, 23, 32], "ekstrem\u00f3w": [13, 23], "zmienia\u0107": [13, 23], "minimum": [13, 23], "wskazuj": [13, 23], "20": 13, "kwadratoweo": [13, 24], "arkusza": [13, 24], "blachi": [13, 24], "wycinami": [13, 24], "kwadratow": [13, 24], "kawa\u0142ki": [13, 24], "rogach": [13, 24], "czego": [13, 24], "powstaj": [13, 24], "nam": [13, 24], "pude\u0142ko": [13, 24], "jaka": [13, 24], "najwi\u0119ksza": [13, 24], "obj\u0119to\u015b\u0107": [13, 24], "szukami": [13, 24], "najwi\u0119ksz\u0105": [13, 24], "warto\u015b\u0107": [13, 24], "przedzial": [13, 24, 26], "4x": [13, 24], "6x": [13, 24], "wypuk\u0142\u0105": [13, 24], "ku": [13, 24], "g\u00f3rze": [13, 24], "pewnym": [13, 24], "otoczeniu": [13, 24], "poni\u017cej": [13, 24, 32], "wypuk\u0142a": [13, 24], "do\u0142owi": [13, 24], "tm": [13, 24], "powy\u017cej": [13, 24], "zbli\u017ca": [13, 24], "dowolni": [13, 24], "blisko": [13, 24], "r\u00f3wnaniu": [13, 24], "asymptot\u0105": [13, 24], "uko\u015bn\u0105": [13, 24], "infti": [13, 24, 25, 27, 29], "faza": [13, 25], "kra\u0144cach": [13, 25], "charakterystyczn": [13, 25], "typu": [13, 25, 27, 29], "szczeg\u00f3ln": [13, 25], "np": [13, 25], "parzysta": [13, 25], "okresowo\u015b\u0107": [13, 25], "szkic": [13, 25], "poprawki": [13, 25], "wykresi": [13, 25], "obliczani": [13, 25], "przegi\u0119cia": [13, 25], "monotoniczno\u015b\u0107": [13, 25], "drugiej": [13, 25], "uko\u015bn": [13, 25], "04": 13, "okre\u015blona": [13, 26], "otwartym": [13, 26], "pierwotn\u0105": [13, 26], "ca\u0142k\u0105": [13, 26], "nieoznaczon\u0105": [13, 26], "int": [13, 26], "r\u00f3\u0153nie\u017c": [13, 26], "rodzina": [13, 26], "pierwotna": [13, 26], "dok\u0142adno\u015bci\u0105": [13, 26], "pierwotn": [13, 26], "operacja": [13, 26], "liniowa": [13, 26, 32], "wyst\u0119\u00feuj": [13, 26], "cancel": [13, 26], "egzamin": [13, 26], "analizi": [13, 26, 32], "cza": [13, 26], "trwania": [13, 26], "90": [13, 26], "min": [13, 26, 27, 29], "termin": [13, 26], "pocz\u0105tku": [13, 26], "sesji": [13, 26], "teoria": [13, 26], "klasyczn": [13, 26], "funkcja": [15, 16, 20, 21, 23, 24, 26, 32], "ci\u0105g\u0142": [16, 20, 32], "interpretacja": [18, 32], "funkcj": [18, 21, 26, 32], "o": [22, 23, 32], "pochodna": [22, 23, 32], "pochodn": [22, 32], "tw": 22, "lagrang": 22, "zastosowani": [22, 32], "maksimum": 23, "granic": [25, 32], "w\u0142asno\u015bci": [25, 32], "pochodnej": 25, "ekstrema": 25, "badani": 25, "wypuk\u0142o\u015bci": 25, "asymptoti": 25, "maj\u0105": [26, 32], "zadania": 26, "matematyka_cw": 27, "matematyka_cw_2023": 27, "19": 27, "wist\u0119powaniu": [27, 29], "nioznacono\u015bci": [27, 29], "wystarczi": [27, 29], "ilorazu": [27, 29], "spos\u00f3b": [27, 29], "otrzymami": [27, 29], "nieoznaczono\u015b\u0107": [27, 29], "wi\u0119c": [27, 29], "skorzysta\u0107": [27, 29], "regu\u0142i": [27, 29], "hospit": [27, 29], "ro\u015bni": [27, 29], "max": [27, 29], "malej": [27, 29], "pp": [27, 29], "8": [27, 29], "prawdziwa": [27, 29], "mechanika_cw": 30, "mechanika_cw_24": 30, "si\u0142\u0105": [30, 31], "zachowawcza": [30, 31], "praca": [30, 31], "si\u0142i": [30, 31], "dowolnym": [30, 31], "zamkni\u0119tym": [30, 31], "torz": [30, 31], "grad": [30, 31], "partial": [30, 31], "niniejsza": 32, "strona": 32, "po\u015bwi\u0119cona": 32, "matematyc": 32, "studiach": 32, "wy\u017cszych": 32, "szczeg\u00f3lno\u015bci": 32, "nast\u0119puj\u0105cym": 32, "przedmiotom": 32, "matematyka": 32, "metodi": 32, "algebraicznej": 32, "fizyc": 32, "algebra": 32, "zestaw": 32, "zadani": 32, "liczb": 32, "zespolonych": 32, "dzieleni": 32, "sprz\u0119\u017ceni": 32, "modu\u0142": 32, "zespolonej": 32, "posta\u0107": 32, "trygonometryczna": 32, "liczyb": 32, "wyk\u0142adnicza": 32, "zasadnicz": 32, "twierdzeni": 32, "algebri": 32, "przek\u0105tnych": 32, "symetryczn": 32, "antysymetryczn": 32, "wyznacznik": 32, "uk\u0142adi": 32, "wyznaczani": 32, "rozwi\u0105zywani": 32, "uk\u0142ad\u00f3w": 32, "elementarn": 32, "geometria": 32, "analityczna": 32, "wektorow": 32, "zale\u017cno\u015b\u0107": 32, "przej\u015bcia": 32, "endomorfizmi": 32, "w\u0142asnych": 32, "kartezja\u0144ski": 32, "ci\u0105gi": 32, "wa\u017cn": 32, "ci\u0105g\u0142ych": 32, "przyk\u0142adi": 32, "krzywej": 32, "r\u00f3\u017cniczkowani": 32, "pochodnych": 32, "trygonometrycznych": 32, "wyk\u0142adniczej": 32, "logarytmiczna": 32, "rachunek": 32, "ca\u0142kowi": 32, "obliczania": 32, "ca\u0142ek": 32, "\u0107wiczenia": 32, "przydatn": 32, "przyk\u0142adowa": 32, "tabela": 32, "przebiegu": 32, "zmienno\u015bci": 32, "triksi": 32, "mechanika": 32, "kolejno\u015b\u0107": 32, "tre\u015bci": 32, "stroni": 32, "generowana": 32, "automatyczni": 32, "skrypt": 32, "co\u015b": 32, "u\u0142o\u017con": 32, "z\u0142ej": 32, "kolejno\u015bci": 32, "bardzo": 32, "prosz\u0119": 32, "zg\u0142oszeni": 32, "faktu": 32, "naszym": 32, "githubi": 32, "link": 32, "zapraszam": 32, "przegl\u0105dania": 32, "kodu": 32, "\u017ar\u00f3d\u0142owego": 32, "repozytorium": 32, "github": 32}, "objects": {}, "objtypes": {}, "objnames": {}, "titleterms": {"algebra": [1, 2], "zestaw": [1, 2, 4], "1": [1, 2], "zadani": [1, 2, 4], "5": [1, 2], "cia\u0142o": [1, 3], "liczb": [1, 3], "zespolonych": [1, 3], "dzieleni": [1, 3], "sprz\u0119\u017ceni": [1, 3], "modu\u0142": [1, 3], "liczbi": [1, 3], "zespolonej": [1, 3], "posta\u0107": [1, 3], "trygonometryczna": [1, 3], "liczyb": [1, 3], "pot\u0119gowani": [1, 3], "w": [1, 3, 7, 13, 20], "postaci": [1, 3], "trygonometrycznej": [1, 3], "wyk\u0142adnicza": [1, 3], "wyk\u0142adniczej": [1, 3, 13, 18], "zasadnicz": [1, 3], "twierdzeni": [1, 3, 5, 8, 9, 13, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 26], "algebri": [1, 3], "2": [1, 4], "4": [1, 4, 13, 16], "przyk\u0142ad": [1, 4], "macierz": [1, 5, 9, 10], "zerowa": [1, 5, 9], "diagonalna": [1, 5], "dzia\u0142ania": [1, 5, 7, 13, 18], "na": [1, 5, 7, 13, 18], "macierzach": [1, 5], "w\u0142asno\u015bci": [1, 5, 6, 13, 14, 15, 27, 29], "dzia\u0142a\u0144": [1, 5], "suma": [1, 5], "element\u00f3w": [1, 5], "przek\u0105tnych": [1, 5], "symetryczn": [1, 5], "i": [1, 5], "antysymetryczn": [1, 5], "wyznacznik": [1, 5], "macierzi": [1, 5, 6], "definicja": [1, 5, 13, 18, 22, 26], "zmiani": [1, 5], "nie": [1, 5, 7, 13, 18], "zmieniaj\u0105c": [1, 5], "wyznacznika": [1, 5], "odwrotna": [1, 5], "obliczani": [1, 6], "odwrotnej": [1, 6, 13, 16], "algorytm": [1, 6], "gausa": [1, 6], "uk\u0142adi": [1, 6], "r\u00f3wna\u0144": [1, 6], "liniowych": [1, 6, 11], "uk\u0142ad": [1, 6], "crammerowski": [1, 6], "wyznaczani": [1, 6], "rz\u0119du": [1, 6], "rozwi\u0105zywani": [1, 6], "uk\u0142ad\u00f3w": [1, 6], "m": [1, 6], "neq": [1, 6], "n": [1, 6, 8, 9], "elementarn": [1, 7], "kt\u00f3re": [1, 7, 13, 18], "zmieniaj\u0105": [1, 7], "rozwi\u0105za\u0144": [1, 7], "geometria": [1, 7], "analityczna": [1, 7], "wektori": [1, 7], "wektorach": [1, 7], "p\u0142aszczyzni": [1, 7], "przestrzeni": [1, 7, 8, 9], "mathbb": [1, 7, 8], "r": [1, 7, 8], "3": [1, 7], "wektorow": [1, 8], "przestrze\u0144": [1, 8], "wektorowa": [1, 8], "podprzestrzeni": [1, 8], "liniow": [1, 8, 10], "liniowa": [1, 8, 9], "zale\u017cno\u015b\u0107": [1, 8], "wektor\u00f3w": [1, 8], "generatori": [1, 8], "o": [1, 8, 9, 13, 15, 16, 18, 20, 24, 26], "geneowaniu": [1, 8], "kombinacja": [1, 9], "pow\u0142oka": [1, 9], "baza": [1, 9], "reper": [1, 9], "bazowi": [1, 9], "aka": [1, 9], "uporz\u0105dkowana": [1, 9], "wymiar": [1, 9], "wektorowej": [1, 9], "v": [1, 9], "przej\u015bcia": [1, 9, 10], "bazach": [1, 9], "odwzorowania": [1, 10], "reprezencacja": [1, 11], "macierzowa": [1, 11], "odwzorowa\u0144": [1, 11], "j\u0105dro": [1, 11], "endomorfizmi": [1, 12], "endomorfizm": [1, 12], "phi": [1, 12], "niezmiennicza": [1, 12], "warto\u015b\u0107": [1, 12], "w\u0142\u0105sna": [1, 12], "oper": [1, 12], "rzutowania": [1, 12], "szukani": [1, 12], "warto\u015bci": [1, 12, 13, 20], "w\u0142asnych": [1, 12], "matematyka": [13, 14, 27, 28], "iloczyn": [13, 14], "kartezja\u0144ski": [13, 14], "funkcja": [13, 14], "funkcji": [13, 14, 15, 16, 18, 19, 24, 25, 27, 29], "badani": [13, 14], "fnkcji": [13, 14], "sk\u0142adani": [13, 14], "ci\u0105gi": [13, 15], "wz\u00f3r": [13, 15, 22, 27, 28], "sterlinga": [13, 15, 27, 28], "wa\u017cn": [13, 15], "granic": [13, 15], "funkcj": [13, 15], "ci\u0105g\u0142": [13, 15], "ci\u0105g\u0142ych": [13, 15, 16], "lokalnym": [13, 15, 20], "zachowaniu": [13, 15], "znaku": [13, 15], "bezuta": [13, 15], "w\u0142asono\u015b\u0107": [13, 15], "garbouta": [13, 15], "osi\u0105ganiu": [13, 16], "kres\u00f3w": [13, 16], "ci\u0105g\u0142o\u015bci": [13, 16, 18], "z\u0142o\u017conej": [13, 16], "dzia\u0142aniach": [13, 16], "dla": [13, 16], "przyk\u0142adi": [13, 16, 18], "interpretacja": [13, 17], "krzywej": [13, 17], "r\u00f3\u017cniczkowani": [13, 18], "pochodnej": [13, 18], "pochodnych": [13, 18, 20], "maj\u0105": [13, 18], "r\u00f3\u017cniczkowalnej": [13, 18], "r\u00f3\u017cniczkowalno\u015bci": [13, 18], "z\u0142o\u017ce\u0144": [13, 18], "r\u00f3\u017cniczkowalnych": [13, 18], "pochodn": [13, 18], "trygonometrycznych": [13, 18], "pochodna": [13, 18, 19], "iloczynu": [13, 19], "ilorazu": [13, 19], "z\u0142o\u017cenia": [13, 19], "logarytmiczna": [13, 19], "zastosowani": [13, 20], "maksimum": [13, 20], "lokaln": [13, 20, 23], "zerowaniu": [13, 20], "si\u0119": [13, 20], "lagrang": [13, 20, 21], "\u015bredniej": [13, 20], "coushi": [13, 20], "ego": [13, 20], "wnioski": [13, 21], "tw": [13, 21], "agh": [13, 21], "regu\u0142a": [13, 21], "de": [13, 21], "l": [13, 21], "hospitala": [13, 21], "poj\u0119ci": [13, 22], "r\u00f3\u017cniczki": [13, 22], "oznaczenia": [13, 22], "taylora": [13, 22], "maclaurina": [13, 22], "reszta": [13, 23], "peano": [13, 23], "ekstrema": [13, 23], "zadania": [13, 24], "wypuk\u0142o\u015b\u0107": [13, 24], "wypuk\u0142o\u015bci": [13, 24], "asymptoti": [13, 24], "sporz\u0105dzani": [13, 25], "wykres\u00f3w": [13, 25], "rachunek": [13, 26], "ca\u0142kowi": [13, 26], "ca\u0142ki": [13, 26], "sta\u0142ej": [13, 26], "ca\u0142kowania": [13, 26], "metodi": [13, 26], "obliczania": [13, 26], "ca\u0142ek": [13, 26], "zgadywani": [13, 26], "liniowo\u015b\u0107": [13, 26], "przez": [13, 26], "cz\u0119\u015bci": [13, 26], "\u0107wiczenia": [27, 28, 30, 31], "przydatn": [27, 29], "przyk\u0142adowa": [27, 29], "tabela": [27, 29], "przebiegu": [27, 29], "zmienno\u015bci": [27, 29], "triksi": [27, 29], "mechanika": [30, 31], "gradient": [30, 31], "wst\u0119p": 32}, "envversion": {"sphinx.domains.c": 3, "sphinx.domains.changeset": 1, "sphinx.domains.citation": 1, "sphinx.domains.cpp": 9, "sphinx.domains.index": 1, "sphinx.domains.javascript": 3, "sphinx.domains.math": 2, "sphinx.domains.python": 4, "sphinx.domains.rst": 2, "sphinx.domains.std": 2, "sphinx": 60}, "alltitles": {"ALGEBRA": [[1, "algebra"], [2, "algebra"]], "Zestaw 1 zadanie 5": [[1, "zestaw-1-zadanie-5"], [2, "zestaw-1-zadanie-5"]], "Cia\u0142o liczb zespolonych": [[1, "cialo-liczb-zespolonych"], [3, "cialo-liczb-zespolonych"]], "Dzielenie": [[1, "dzielenie"], [3, "dzielenie"]], "Sprz\u0119\u017cenie": [[1, "sprzezenie"], [3, "sprzezenie"]], "modu\u0142 liczby zespolonej": [[1, "modul-liczby-zespolonej"], [3, "modul-liczby-zespolonej"]], "Posta\u0107 trygonometryczna liczyb zespolonej": [[1, "postac-trygonometryczna-liczyb-zespolonej"], [3, "postac-trygonometryczna-liczyb-zespolonej"]], "pot\u0119gowanie liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej": [[1, "potegowanie-liczby-zespolonej-w-postaci-trygonometrycznej"], [3, "potegowanie-liczby-zespolonej-w-postaci-trygonometrycznej"]], "posta\u0107 wyk\u0142adnicza": [[1, "postac-wykladnicza"], [3, "postac-wykladnicza"]], "Sprz\u0119\u017cenie w postaci wyk\u0142adniczej": [[1, null], [3, null]], "zasadnicze twierdzenie algebry": [[1, "zasadnicze-twierdzenie-algebry"], [3, "zasadnicze-twierdzenie-algebry"]], "Zestaw 2 zadanie 4, przyk\u0142ad a": [[1, "zestaw-2-zadanie-4-przyklad-a"], [4, "zestaw-2-zadanie-4-przyklad-a"]], "Macierze": [[1, "macierze"], [5, "macierze"]], "Macierz zerowa": [[1, null], [5, null]], "Macierz diagonalna": [[1, null], [5, null]], "Dzia\u0142ania na macierzach": [[1, "dzialania-na-macierzach"], [5, "dzialania-na-macierzach"]], "W\u0142asno\u015bci dzia\u0142a\u0144": [[1, "wlasnosci-dzialan"], [5, "wlasnosci-dzialan"]], "Suma element\u00f3w na przek\u0105tnych": [[1, "suma-elementow-na-przekatnych"], [5, "suma-elementow-na-przekatnych"]], "Macierze symetryczne i antysymetryczne": [[1, "macierze-symetryczne-i-antysymetryczne"], [5, "macierze-symetryczne-i-antysymetryczne"]], "Twierdzenie": [[1, null], [5, null], [13, null], [23, null]], "Wyznacznik macierzy": [[1, "wyznacznik-macierzy"], [5, "wyznacznik-macierzy"]], "Definicja": [[1, null], [5, null], [13, null], [22, null]], "zmiany na macierzy nie zmieniaj\u0105ce wyznacznika": [[1, "zmiany-na-macierzy-nie-zmieniajace-wyznacznika"], [5, "zmiany-na-macierzy-nie-zmieniajace-wyznacznika"]], "Macierz odwrotna": [[1, "macierz-odwrotna"], [5, "macierz-odwrotna"]], "Obliczanie macierzy odwrotnej": [[1, "obliczanie-macierzy-odwrotnej"], [6, "obliczanie-macierzy-odwrotnej"]], "Algorytm gausa": [[1, null], [6, null]], "W\u0142asno\u015bci macierzy odwrotnej": [[1, "wlasnosci-macierzy-odwrotnej"], [6, "wlasnosci-macierzy-odwrotnej"]], "Uk\u0142ady r\u00f3wna\u0144 liniowych": [[1, "uklady-rownan-liniowych"], [6, "uklady-rownan-liniowych"]], "Uk\u0142ad r\u00f3wna\u0144": [[1, "uklad-rownan"], [6, "uklad-rownan"]], "uk\u0142ady crammerowskie": [[1, null], [6, null]], "Wyznaczanie rz\u0119du": [[1, "wyznaczanie-rzedu"], [6, "wyznaczanie-rzedu"]], "Rozwi\u0105zywanie uk\u0142ad\u00f3w r\u00f3wna\u0144 m \\neq n": [[1, "rozwiazywanie-ukladow-rownan-m-neq-n"], [6, "rozwiazywanie-ukladow-rownan-m-neq-n"]], "Dzia\u0142ania elementarne, kt\u00f3re nie zmieniaj\u0105 rozwi\u0105za\u0144": [[1, "dzialania-elementarne-ktore-nie-zmieniaja-rozwiazan"], [7, "dzialania-elementarne-ktore-nie-zmieniaja-rozwiazan"]], "Geometria Analityczna": [[1, "geometria-analityczna"], [7, "geometria-analityczna"]], "Wektory": [[1, "wektory"], [7, "wektory"]], "Dzia\u0142ania na wektorach": [[1, "dzialania-na-wektorach"], [7, "dzialania-na-wektorach"]], "P\u0142aszczyzny w przestrzeni \\mathbb{R}^3": [[1, "plaszczyzny-w-przestrzeni-mathbb-r-3"], [7, "plaszczyzny-w-przestrzeni-mathbb-r-3"]], "Przestrzenie wektorowe": [[1, "przestrzenie-wektorowe"], [8, "przestrzenie-wektorowe"]], "Przestrze\u0144 Wektorowa": [[1, null], [8, null]], "Podprzestrzenie liniowe": [[1, "podprzestrzenie-liniowe"], [8, "podprzestrzenie-liniowe"]], "Liniowa zale\u017cno\u015b\u0107 wektor\u00f3w": [[1, "liniowa-zaleznosc-wektorow"], [8, "liniowa-zaleznosc-wektorow"]], "liniowa zale\u017cno\u015b\u0107 wektor\u00f3w": [[1, null], [8, null]], "Generatory": [[1, null], [8, null]], "Twierdzenie o geneowaniu podprzestrzeni \\mathbb{R}^n": [[1, null], [8, null]], "kombinacja zerowa": [[1, null], [9, null]], "Pow\u0142oka liniowa": [[1, null], [9, null]], "Baza": [[1, "baza"], [1, null], [9, "baza"], [9, null]], "Reper Bazowy (aka Baza uporz\u0105dkowana)": [[1, null], [9, null]], "Wymiar przestrzeni wektorowej V": [[1, null], [9, null]], "Macierz Przej\u015bcia": [[1, "macierz-przejscia"], [1, "id1"], [9, "macierz-przejscia"], [10, "macierz-przejscia"]], "Macierz przej\u015bcia": [[1, null], [9, null]], "Twierdzenie o N-Bazach": [[1, null], [9, null]], "Odwzorowania Liniowe": [[1, "odwzorowania-liniowe"], [10, "odwzorowania-liniowe"]], "Reprezencacja macierzowa odwzorowa\u0144 liniowych": [[1, null], [11, null]], "J\u0105dro": [[1, null], [11, null]], "Endomorfizmy": [[1, "endomorfizmy"], [12, "endomorfizmy"]], "Endomorfizm": [[1, null], [12, null]], "\\phi niezmiennicza": [[1, null], [12, null]], "warto\u015b\u0107 w\u0142\u0105sna": [[1, null], [12, null]], "Operator rzutowania": [[1, null], [12, null]], "Szukanie warto\u015bci w\u0142asnych": [[1, "szukanie-wartosci-wlasnych"], [12, "szukanie-wartosci-wlasnych"]], "MATEMATYKA": [[13, "matematyka"], [14, "matematyka"]], "Iloczyn kartezja\u0144ski:": [[13, "iloczyn-kartezjanski"], [14, "iloczyn-kartezjanski"]], "Funkcja": [[13, "funkcja"], [14, "funkcja"]], "w\u0142asno\u015bci funkcji": [[13, "wlasnosci-funkcji"], [14, "wlasnosci-funkcji"]], "badanie w\u0142asno\u015bci fnkcji": [[13, "badanie-wlasnosci-fnkcji"], [14, "badanie-wlasnosci-fnkcji"]], "sk\u0142adanie funkcji": [[13, "skladanie-funkcji"], [14, "skladanie-funkcji"]], "Ci\u0105gi": [[13, "ciagi"], [15, "ciagi"]], "wz\u00f3r Sterlinga": [[13, null], [15, null]], "wa\u017cne granice": [[13, "wazne-granice"], [15, "wazne-granice"]], "Funkcje ci\u0105g\u0142e": [[13, "funkcje-ciagle"], [15, "funkcje-ciagle"]], "W\u0142asno\u015bci funkcji ci\u0105g\u0142ych": [[13, "wlasnosci-funkcji-ciaglych"], [15, "wlasnosci-funkcji-ciaglych"]], "Twierdzenie o lokalnym zachowaniu znaku": [[13, null], [15, null]], "Twierdzenie Bezuta": [[13, null], [15, null]], "w\u0142asono\u015b\u0107 Garbouta": [[13, null], [15, null]], "Twierdzenie o osi\u0105ganiu kres\u00f3w": [[13, null], [16, null]], "Twierdzenie o ci\u0105g\u0142o\u015bci funkcji odwrotnej": [[13, null], [16, null]], "Twierdzenie o ci\u0105g\u0142o\u015bci funkcji z\u0142o\u017conej": [[13, null], [16, null]], "Twierdzenie o 4 dzia\u0142aniach dla funkcji ci\u0105g\u0142ych": [[13, null], [16, null]], "Przyk\u0142ady funkcji ci\u0105g\u0142ych": [[13, "przyklady-funkcji-ciaglych"], [16, "przyklady-funkcji-ciaglych"]], "Interpretacja krzywej": [[13, "interpretacja-krzywej"], [17, "interpretacja-krzywej"]], "R\u00f3\u017cniczkowanie": [[13, "rozniczkowanie"], [18, "rozniczkowanie"]], "Definicja pochodnej": [[13, null], [18, null]], "Przyk\u0142ady funkcji pochodnych": [[13, "przyklady-funkcji-pochodnych"], [18, "przyklady-funkcji-pochodnych"]], "Przyk\u0142ady funkcji, kt\u00f3re nie maj\u0105 pochodnych": [[13, "przyklady-funkcji-ktore-nie-maja-pochodnych"], [18, "przyklady-funkcji-ktore-nie-maja-pochodnych"]], "Twierdzenie o ci\u0105g\u0142o\u015bci funkcji r\u00f3\u017cniczkowalnej": [[13, null], [18, null]], "Dzia\u0142ania na pochodnych": [[13, "dzialania-na-pochodnych"], [18, "dzialania-na-pochodnych"]], "Twierdzenie o r\u00f3\u017cniczkowalno\u015bci z\u0142o\u017ce\u0144 funkcji r\u00f3\u017cniczkowalnych": [[13, null], [18, null]], "Pochodne funkcji trygonometrycznych": [[13, "pochodne-funkcji-trygonometrycznych"], [18, "pochodne-funkcji-trygonometrycznych"]], "Pochodna funkcji wyk\u0142adniczej": [[13, "pochodna-funkcji-wykladniczej"], [18, "pochodna-funkcji-wykladniczej"]], "pochodna iloczynu": [[13, null], [19, null]], "pochodna ilorazu": [[13, null], [19, null]], "twierdzenie": [[13, null], [19, null]], "pochodna z\u0142o\u017cenia funkcji": [[13, null], [19, null]], "Pochodna logarytmiczna": [[13, "pochodna-logarytmiczna"], [19, "pochodna-logarytmiczna"]], "Zastosowanie pochodnych": [[13, "zastosowanie-pochodnych"], [20, "zastosowanie-pochodnych"]], "Maksimum lokalne": [[13, null], [20, null]], "Twierdzenie o zerowaniu si\u0119 pochodnych w maksimum lokalnym": [[13, null], [20, null]], "Twierdzenie Lagrange\u2019a o warto\u015bci \u015bredniej": [[13, null], [20, null]], "Twierdzenie Coushy\u2019ego": [[13, null], [20, null]], "Wnioski Tw. Lagrange\u2019a": [[13, "wnioski-tw-lagrangea"], [21, "wnioski-tw-lagrangea"]], "Twierdzenie AGH": [[13, null], [21, null]], "Regu\u0142a de l\u2019Hospitala": [[13, "regula-de-lhospitala"], [13, null], [21, "regula-de-lhospitala"], [21, null]], "Poj\u0119cie R\u00f3\u017cniczki": [[13, "pojecie-rozniczki"], [22, "pojecie-rozniczki"]], "Oznaczenia": [[13, "oznaczenia"], [22, "oznaczenia"]], "Wz\u00f3r Taylora": [[13, "wzor-taylora"], [22, "wzor-taylora"]], "Wz\u00f3r Maclaurina": [[13, null], [22, null]], "Reszta Peano": [[13, "reszta-peano"], [23, "reszta-peano"]], "Ekstrema lokalne": [[13, "ekstrema-lokalne"], [23, "ekstrema-lokalne"]], "Zadania": [[13, "zadania"], [24, "zadania"]], "Wypuk\u0142o\u015b\u0107 funkcji": [[13, "wypuklosc-funkcji"], [24, "wypuklosc-funkcji"]], "Twierdzenie o wypuk\u0142o\u015bci": [[13, null], [24, null]], "Asymptoty": [[13, "asymptoty"], [24, "asymptoty"]], "Sporz\u0105dzanie wykres\u00f3w funkcji": [[13, "sporzadzanie-wykresow-funkcji"], [25, "sporzadzanie-wykresow-funkcji"]], "Rachunek Ca\u0142kowy": [[13, "rachunek-calkowy"], [26, "rachunek-calkowy"]], "definicja ca\u0142ki": [[13, null], [26, null]], "Twierdzenie o sta\u0142ej ca\u0142kowania": [[13, null], [26, null]], "Metody obliczania ca\u0142ek": [[13, "metody-obliczania-calek"], [26, "metody-obliczania-calek"]], "Zgadywanie": [[13, "zgadywanie"], [26, "zgadywanie"]], "Liniowo\u015b\u0107*": [[13, null], [26, null]], "przez cz\u0119\u015bci": [[13, "przez-czesci"], [26, "przez-czesci"]], "Matematyka - \u0107wiczenia": [[27, "matematyka-cwiczenia"], [28, "matematyka-cwiczenia"]], "Wz\u00f3r sterlinga": [[27, null], [28, null]], "Przydatne w\u0142asno\u015bci": [[27, "przydatne-wlasnosci"], [29, "przydatne-wlasnosci"]], "Przyk\u0142adowa tabela przebiegu zmienno\u015bci funkcji:": [[27, "przykladowa-tabela-przebiegu-zmiennosci-funkcji"], [29, "przykladowa-tabela-przebiegu-zmiennosci-funkcji"]], "Triksy": [[27, "triksy"], [29, "triksy"]], "Mechanika - \u0106wiczenia": [[30, "mechanika-cwiczenia"], [31, "mechanika-cwiczenia"]], "Gradient": [[30, null], [31, null]], "Wst\u0119p": [[32, "wstep"]]}, "indexentries": {}})
\ No newline at end of file