+ +
+

Całka Oznaczona (Rimana)

+

Podzielmy przedział \((a, b)\) na n części, w taki sposób.

+
+\[\begin{split} +\Delta x_i = |X_i - X_{i-1}| \\ +\delta_n = max(\Delta x) \\ +\\ +s_n = \Sigma_{i} n_i * \Delta x_i \\ +c_n = \Sigma_i \psi(i) \Delta x_i \\ +S_n = \Sigma_i M \Delta x_i \\ +\end{split}\]
+
    +

  • \(n_i\) to infinum funkcji w danym przedziale (najmniejsza wartość)

    • +

  • \(M\) to supremum funckji w danym przedziale (czyli mnożenie przez największą wartość funkcji w przedziale)

    • +
+
+

Wskazówka

+

\(s_n\) reprezentuje sumę wszystkich prostokątów w zaokrągleniu pod wykresem, natomiast \(S_n\) - wszystkich +kawałkóœ zaokrąglonych do maksymalnej wartości

+
+
+

definicja całki oznaczonej

+

Jeżeli suma \(\sigma_n\) przy dowolnym coraz róœniejszym podziale +(tzn. przy \(\sigma_n \to 0\)) dąży do tej samej granicy niezależnie +od wyboru punktóœ podziału ani od wyboru od wyboru punktów \(\psi_i\) to +granicę tę nazywamy Całką Oznaczoną z funkcji f w przedziale \(\left<a, b\right>\) +(tzw. całka Rimmana)

+

Oznaczenia:

+
+\[ +\int_a^b f(x)dx = \int_{\left<a, b\right>} f +\]
+
+

Całka nie zawsze istnieje.

+

Całka \(\exists \int_a^b \Leftrightarrow s_n = S_n\)

+
+

Wskazówka

+

f jest jednostajnie ciągła, \(\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0\) +że jeżeli \(|x-x'| < \delta \Rightarrow f(x) - f(x') < \epsilon\)

+
+

\(\epsilon > 0\) i f jednostajnie ciągła, \(x-x' < \epsilon \Rightarrow f(x)-f(x')<\delta\)

+
+\[ +S_n - s_n = \Sigma_i x_i (M-m ) <= \epsilon \Sigma_i x_i = \epsilon (a-b) +\]
+
+
+
+

Własności całki Rimmana

+
    +

  • spełnia zasadę liniowości (rozdzielność względem dodawania oraz mnożenia przez skalar)

    • +

  • addytywność względem przedziału - jeżeli \(c \in \left<a,b\right>\) to +\(\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f\)

    • +

  • \(m(b-a)\leq \int_a^b \leq M(b-a)\)

    • +

  • twierdzenie o wartośći średniej dla całęk (jeżeli f ciągła) \(\exists \psi \in \left<a,b\right> ~ \frac{1}{b-a} \int_a^b f = f(\psi)\)

    • +
+
+
+ + +
+