+ +
+

Ciało liczb zespolonych

+
    +

  • w przeciwieństwie do liczb rzeczywistych nie można ich przedstawić +w postaci linearnej

    • +

  • dlatego też nie można powiedzieć że dana liczba jest ujemna/dodatnia

    • +

  • liczba zespolona to para

    • +

  • \(i^2 = -1\)

    • +
+
+

Dzielenie

+

Przy dzieleniu liczb zespolonych należy pomnożyć przez czynnik sprzężony +(tak jak usuwanie niewymierności z mianownika)

+
+
+

moduł liczby zespolonej

+

Utożsamiany z długością wektora będącego interpretacją liczby urojonej. +niech \(z = (x, yi)\)

+
+\[ +|z| = \sqrt{x^2 + y^2} +\]
+
+
+

Postać trygonometryczna liczyb zespolonej

+
+\[\begin{split} +niech~z = x + yi \neq 0 \\ +z = |z|(\frac{x}{|z|}+\frac{y}{|z|})\\ +\exists \phi ~ cos \phi = \frac{x}{|z|} \land sin \phi = \frac{y}{|z|} +z = |z|(cos \phi + i * sin \phi) +\end{split}\]
+

\(arg z\) to tzw. argument główny gdzie \(argz \in [0, 2 \pi]\)

+
+

potęgowanie liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej

+

Wzór de Moivre’a +$\( +\frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1|}{|z_2|} (cos(\alpha - \beta) + i sin(\alpha - \beta)) \\ +z^n = |z|^n (cos n \phi + i * sin n \phi) +\)$

+
+
+
+

postać wykładnicza

+
+\[ +e^{i \phi} = cos \phi + i sin \phi +$\]
+
+\[ +z_k = \nroot{n}{r}(cos \frac{\phi + 2k \pi}{n} + i sin{\phi + 2k \pi}{n}) ~~ k = 0 , 1 ... n +\]
+
+

Ważne

+

Pierwiastek n stopnia ma n rozwiązań

+
+
+
+

zasadnicze twierdzenie algebry``

+

Każdy wielomian dodatniego stopnia ma rozwiązania w \(\mathbb{C}\)

+
+
+ + +
+