From bd375b10f1eb5b3b19ee86057259933768d4b4bc Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: cmgzn Date: Thu, 26 Dec 2024 17:53:43 +0800 Subject: [PATCH] vault backup: 2024-12-26 17:53:43 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Affected files: .obsidian/workspace.json _posts/pool/2024-12-26-小case.md _posts/pool/2024-12-26-微积分.md --- .obsidian/workspace.json | 21 ++- "_posts/pool/2024-12-26-\345\260\217case.md" | 12 ++ ...6-\345\276\256\347\247\257\345\210\206.md" | 125 ++++++++++++++++++ 3 files changed, 147 insertions(+), 11 deletions(-) create mode 100644 "_posts/pool/2024-12-26-\345\260\217case.md" create mode 100644 "_posts/pool/2024-12-26-\345\276\256\347\247\257\345\210\206.md" diff --git a/.obsidian/workspace.json b/.obsidian/workspace.json index cbef22b..599b960 100644 --- a/.obsidian/workspace.json +++ b/.obsidian/workspace.json @@ -4,21 +4,20 @@ "type": "split", "children": [ { - "id": "b4a0049808dcf451", + "id": "ca996f8cbd3ffab9", "type": "tabs", "children": [ { - 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"_posts/coding/2024-08-13-chatglm-PPO训练路径探索.md", "Clippings", "_posts/language", "assets/img/mrj9tyfxgpwc4ohkdhkq3uu3azxww8g.png", diff --git "a/_posts/pool/2024-12-26-\345\260\217case.md" "b/_posts/pool/2024-12-26-\345\260\217case.md" new file mode 100644 index 0000000..8870768 --- /dev/null +++ "b/_posts/pool/2024-12-26-\345\260\217case.md" @@ -0,0 +1,12 @@ +--- +title: +author: X +date: 2024-12-26 13:59:58 +0800 +categories: + - coding +tags: +--- + +- `os.sep` 是操作系统的路径分隔符，在 Windows 上是反斜杠 (`\`)，在 Unix/Linux/MacOS 系统上是正斜杠 (`/`)。 + +所以可以用`.split(os.sep)`的方式来分割路径，这种方式会比较通用。 \ No newline at end of file diff --git "a/_posts/pool/2024-12-26-\345\276\256\347\247\257\345\210\206.md" "b/_posts/pool/2024-12-26-\345\276\256\347\247\257\345\210\206.md" new file mode 100644 index 0000000..ca3ddbb --- /dev/null +++ "b/_posts/pool/2024-12-26-\345\276\256\347\247\257\345\210\206.md" @@ -0,0 +1,125 @@ +--- +title: 微积分 +author: X +date: 2024-12-26 14:24:02 +0800 +categories: + - math +tags: + - 自然哲学的数学原理 +--- +参考视频： +[三分钟弄懂微积分](https://www.bilibili.com/video/BV1mb411r7bd/?vd_source=84405b9467efb94cfe7797c37e3fba56) +参考笔记： +[机器学习笔记 -- 数学×微积分入门](https://sunocean.life/blog/blog/2020/09/02/deep-learning-math-calculus) + +- 微分 + - 主要研究两个无穷小量的比值 +- 积分 + - 主要研究无限多的无穷小量之和 + +## 微积分符号定义 +符号定义： $d+var$ 表示某个变量的极小的一点变化。 + +$d$ 和 $∫$ 是可以互相抵消的，因为求导和求积分互为逆运算，这就好比平方和平方根可以抵消一样。 + +积分符号“$∫$” 和 $Σ$ 有相同的意义。 + +例如 $\int_{1}^{2} f(x) \, dx$， 意为 $f(x)$ 与 $dx$ 相乘，这将在坐标系中得到一个极小量（可以看作 $f(x)$ 与 $x$ 轴间的一根细条），将1~2间无数个极小量求和，即为1~2下 $f(x)$ 与 $x$ 轴围成的面积。 + +## 与导数的关系 + +### 导数定义 +对任意函数 $f(x)$ ，它的导数 $f'(x)$ 为 $\displaystyle \frac{df(x)}{dx}\,=\,\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}$ +更精确的表示为，当 $dx$ 无限逼近 $0$ 时， $f'(x)$ 才是真正的导数，也就是说： +$$ +\frac{df(x)}{dx}\,=\,\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} +$$ +在数学上，导数的含义是：经过图像上某一点的切线。 + +### 关系桥梁推导 +微积分基本定理是微积分学中最核心的定理之一，它建立了微分和积分之间的联系。 + +#### 微积分基本定理的第一部分 + +**定理陈述**：设 $f$ 是区间 $[a, b]$ 上的连续函数，定义函数 $F$ 为 +$$ +F(x) = \int_a^x f(t) \, dt +$$ +则 $F$ 在 $[a, b]$ 上可导，并且 +$$ F'(x) = f(x) $$ +即：第一部分定理指明了 $\int_a^x f(t) \, dt$ 为 $f(x)$ 的原函数。 + +**详细证明**： + +1. **定义差商**： + $$ + \frac{F(x + h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h} \left( \int_a^{x+h} f(t) \, dt - \int_a^x f(t) \, dt \right) + $$ +2. **利用积分的性质**： + $$ + \int_a^{x+h} f(t) \, dt = \int_a^x f(t) \, dt + \int_x^{x+h} f(t) \, dt + $$ + 这里其实也可以直接看作是$\displaystyle \int_a^{x+h} - \int_a^x = \int_x^{x+h}$ + 因此， + $$ + \frac{F(x + h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t) \, dt + $$ +3. **均值定理**： + 由于 $f$ 在 $[x, x+h]$ 上连续，根据积分的均值定理，存在 $c \in [x, x+h]$ 使得 + $$\int_x^{x+h} f(t) \, dt = f(c) \cdot h$$ + 因此， + $$\frac{F(x + h) - F(x)}{h} = f(c)$$ +4. **取极限**： + 当 $h \to 0$ 时， $c \to x$ ，因为 $c$ 在 $[x, x+h]$ 内。由于 $f$ 在 $x$ 处连续， + $$\lim_{h \to 0} f(c) = f(x)$$ + 这段就是说，$h \to 0$ 时，相当于这段积分就在 $x$ 点上，那不就是 $c \to x$ 了吗？ + 因此， + $$F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F(x + h) - F(x)}{h} = f(x)$$ + +#### 微积分基本定理的第二部分 + +**定理陈述**：设 $f$ 是区间 $[a, b]$ 上的连续函数，且 $F$ 是 $f$ 的一个原函数（即 $F'(x) = f(x)$ ），则 +$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$ + +**详细证明**： + +1. **定义辅助函数**： + 设 $G(x) = \int_a^x f(t) \, dt$。根据第一部分，我们知道 $G'(x) = f(x)$。 + +2. **原函数的性质**： + 由于 $F$ 也是 $f$ 的一个原函数，即 $F'(x) = f(x)$，因此 $F(x)$ 和 $G(x)$只相差一个常数 $C$ ： + $$ + F(x) = G(x) + C + $$ + +3. **确定常数 $C$**： + 由于 $G(a) = \int_a^a f(t) \, dt = 0$，我们有 + $$ + F(a) = G(a) + C = 0 + C = C + $$ + 因此， + $$ + C = F(a) + $$ + 所以， + $$ + F(x) = G(x) + F(a) + $$ + +4. **计算定积分**： + 当 $x = b$ 时， + $$ + F(b) = G(b) + F(a) + $$ + 因此， + $$ + G(b) = F(b) - F(a) + $$ + 即 + $$ + \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) + $$ + +#### 总结 + +微积分基本定理的第一部分表明，积分函数的导数就是被积函数。第二部分表明，定积分可以通过原函数的差值来计算。 \ No newline at end of file