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El Cálculo es una ciencia deductiva y una rama de la Matemática pura. Al mismo
tiempo es muy importante recordar que el Cálculo tiene profundas raíces en pro-
blemas físicos y que gran parte de su potencia y belleza deriva de la variedad de
sus aplicaciones.
La rama de la Matemática conocida por Cálculo integral y diferencial es un
instrumento natural y poderoso para atacar múltiples problemas que surgen en
Física, Astronomía, Ingeniería, Química, Geología, Biología, y en otros campos,
Para dar una idea al lector de los muy diversos tipos de problemas que
pueden tratarse por los métodos de Cálculo se expone a continuación una pe-
queña muestra de cuestiones seleccionadas entre los ejercicios que aparecen en
capítulos posteriores de este libro.
¿Con qué velocidad debería ser impulsado un cohete para que nunca volviera
a la Tierra? ¿Cuál es el radio del menor disco circular que cubra a todo triángulo
isósceles de perímetro L? ¿Cuál es el volumen de material extraído de una esfera
de radio 2r al atravesarla por un orificio cilíndrico de radio r cuyo eje pase por
el centro de la esfera? Si un cultivo de bacterias crece en razón directa a la can-
tidad que hay en cada instante, y la población se duplica en una hora, ¿en cuánto
se habrá incrementado al cabo de dos horas? Si una fuerza de diez libras estira
una cuerda elástica una pulgada, ¿qué trabajo se necesita para estirarla un pie?
El Cálculo no sólo es un instrumento técnico, sino que contiene una colec-
ción de ideas fascinadoras y atrayentes que han ocupado el pensamiento humano
durante centurias. Estas ideas están relacionadas con velocidad, área, volumen,
razón de crecimiento, tangente a una línea, y con otros conceptos referentes a
otros dominios. El Cálculo obliga a detenerse y a pensar cuidadosamente acerca
del significado de estos conceptos. Otro carácter notable del Cálculo es su poder 
unificador. Muchos de estos problemas pueden ser formulados de manera que se
reduzcan a otros problemas de naturaleza puramente geométrica.
En el Cálculo se definen los con-
ceptos de área y tangente y se calculan el área de una región dada y la pen-
diente de la tangente a una curva dada. El Cálculo integral se ocupa del problema
del área y será discutido en este capítulo 1. El Cálculo diferencial se ocupa del
problema de la tangente

historia

El origen del Cálculo integral se remonta a más de 2000 años, cuando los
griegos intentaban resolver el problema del área ideando el procedimiento
que
llamaron método de exhaución. Las ideas esenciales de este método son real-
mente muy simples y se pueden describir brevemente como sigue: Dada una
región cuya área quiere determinarse,
se inscribe en ella una región poligonal
que se aproxime a la dada y cuya área sea de fácil cálculo. Luego se elige otra
región poligonal que dé una aproximación
mejor y se continúa el proceso to-
mando polígonos con mayor número de lados cada vez, tendiendo a llenar la
región dada. La figura 1.2 es una ilustración del método en el caso de una región
semicircular.
Este método fue usado satisfactoriamente
por Arquímedes
(287-
212 A.C.) para hallar fórmulas exactas de las áreas del círculo y de algunas
otras figuras especiales.
Desde Arquímedes,Gradualmente, el método de exhaución fue transformándose en lo que hoy
se conoce como Cálculo integral,

Hay muchas formas de estructurar el Cálculo como sistema deductivo. Una
manera posible, es tomar los números reales como conceptos no definidos o primi-
tivos. Algunas de las reglas que rigen las operaciones con los números reales
pueden tomarse como axiomas. Este sistema de axiomas se ha incluido en la
parte 3 de esta introducción. Nuevos conceptos, tales como integral, límite, conti-
nuidad, derivada, pueden definirse a partir de los números reales.