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# FUNÇÕES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

## Esperança de Função de V.a's

É claro que, dada uma v.a $X$ a função $Y=g(X)$ também será uma v.a desde que g seja uma função apropriada(mensurável).

Exemplo:<br> Seja $X$ uma v.a tal que $P(X=-1)=P(X=1)=\frac{1}{2}$.
Defina a função $Y=X²$, então $Y=X²$ também será uma v.a no mesmo e.p com f.p dada por $P(Y=1)=1$, ou seja, $Y$ é massa pontual em 1.
<br>(notar que: $E(X²)=E(Y)=1\cdot P(Y=1)=1$)

Definição: Seja $X$ uma v.a em $(\Omega,\mathbb{A},P)$ e seja $Y=g(X)$ uma função mensurável em $\mathbb{R}$. Então:

$$
\begin{align*}
&E(Y)=E\left[g(X)\right]=\int g(x)dF(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
\underset{x}{\sum}g(x)P(X=x),&X\text{ discreto}\\
\overset{+\infty}{\underset{-\infty}{\int}}g(x)f(x)dx,&X\text{ contínua}
\end{array}
\right.
\end{align*}
$$

Um caso importante de função de v.a é $g(x)=x^k,\;k=1,2,3,...$

Definição: Seja X uma v.a. O valor $E(X-b)^k$, se existir, é chamado k-ésimo momento de $X$ em torno de $b$, para $b\in\mathbb{R},k=1,2,...$

O k-ésimo momento de $X$ em torno de zero, $E(X^k)$, é chamdo simplesmente de k-ésimo momento de X ou momento de ordem $k$.

O k-ésimo momento de $X$ em torno de sua média,$E(X-E(X))^k$, é chamado k-ésimo momento central de $X$

obs:

$$
\begin{align*}
&1)\text{ O primeiro momento de X é }E(X)\\
&2)\text{ O primeiro momento central é zero, pois: }\\
&\quad E(X-E(X))=E(X)-E(E(X))=E(X)-E(X)=0\\
&3)\text{ O segundo momento central será a variância:}\\
&\quad\text{Prova: }E(X-E(X))²=E(X²-2XE(X)+[E(X)]²)\\
&\qquad\qquad =E(X²)-2E(X)E(X)+[E(X)]²\\
&\qquad\qquad =E(X²)-2[E(X)]²+[E(X)]²\\
&\qquad\qquad =E(X²)-[E(X)]²=Var(X)
\end{align*}
$$

Definição: Define-se o desvio padrão de $X$ como a raiz positiva da variância:$\Large\sigma\normalsize_X=\sqrt{Var(X)}$

Proposição:

$$
\begin{align*}
&1)\text{ Se }X=c,\text{ entâo } Var(X)=0\\
&2)\;Var(X+b)=Var(X)\text{ e }Var(aX+b)=a²Var(X)\\
&3)\text{ Desigualdade básica. Se X é uma v.a,não negativa então:}\\
&\quad P(X\ge\lambda)\le\frac{1}{\lambda}E(X),\;\forall\lambda>0\\
&4)\text{ Desiqualdade clássica de Tchebychev. Se X é integrável, então:}\\
&\quad P(|X-E(X)|\ge\lambda)\le\frac{Var(X)}{\lambda²},\;\forall\lambda>0\\
&5)\text{ Desigualdade de Markov. Para qualquer v.a X:}\\
&\quad P(|X|\ge\lambda)\le\frac{E|X|^t}{\lambda^t},\;\forall\lambda>0,t>0
\end{align*}
$$

Proposição: Seja $X$ integrável com $E(X)=\mu$. Então, $\mu$ é o valor que minimiza $E(X-c)²,\;c\in\mathbb{R}$.
<br> Ou seja, $Var(X)=E(X-E(X))²=\underset{c}{\min}E(X-c)²$


## Distribuição de Funções de V.a's

Dada uma v.a $X$ com distribuição conhecida e dada uma transformação $Y=g(X)$, sendo $g$ enumerável.
<br>O objetivo é encontrar a distribuição de $Y$ a partir da distribuição de $X$.

### Caso discreto

Seja $X$ v.a discreta em $\{x_1,x_2,...\}$
<br>Seja $Y=g(X) \rightarrow Y\in\{g(x_1),g(x_2),...\}$
<br>Então:

$$
\begin{align*}
&P(Y=y)=P(g(x)=y)=P(X=g^{-1}(y))
\end{align*}
$$

Exemplo: Seja $X$ com a seguinte distribuição:

$$
\begin{array}{l|l|l|l|}
X&-2&-1&0&2\\
\hline
P_X&\frac{1}{8}&\frac{1}{4}&\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\\
\end{array}
$$

Defina a nova v.a $Y=g(X)=X²$, vemos que $Y\in\{0,1,4\}$.

$$
\begin{align*}
&P(Y=0)=P(X=0)=\frac{1}{2}\\
&P(Y=1)=P(X=-1)=\frac{1}{4}\\
&P(Y=4)=P(X=-2)+P(X=2)=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}
\end{align*}
$$

Seja $U=1+\cos(\pi X)$. $U\in\{0,2\}$

$$
\begin{align*}
&\begin{array}{l|l|l|l|}
X&-2&-1&0&2\\
\hline
P_X&\frac{1}{8}&\frac{1}{4}&\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\\
\hline
U&2&0&2&2\\
\hline
\end{array}\\
\\
&P(U=0)=P(X=-1)=\frac{1}{4}\\
&P(U=2)=1-P(U=0)=\frac{3}{4}
\end{align*}
$$

Exemplo: Seja $X\sim Geo(p),\;x=0,1,2,...$

$$
\begin{align*}
&P(X=x)=p(1-p)^x\quad,x=0,1,2,...
\end{align*}
$$

Seja $Y=X+1\rightarrow Y\in\{1,2,3,...\}$

$$
\begin{align*}
&\overset{P_Y(y)}{P(Y=y)}=P(X+1=y)=\overset{P_X(y-1)}{P(X=y-1)}\\
&\qquad\qquad=p(1-p)^{y-1}\;,\;y=1,2,3,...\\
&\text{Portanto:}\\
&\qquad\qquad Y\sim Geo(p)\;,\;y=1,2,3,...
\end{align*}
$$

### Caso contínuo

Exemplo: Seja $X\sim U(0,1)$

$$
\begin{align*}
&f_X(x)=1,\quad 0<x<1\\
&F_X(x)=x,\quad 0<x<1
\end{align*}
$$

Defina $Y=-\ln{X}$

$$
\begin{align*}
&F_Y(y)=P(Y\le y)=P(-\ln{X}\le y)=P(\ln{X}\ge -y)=P(X\ge e^{-y})\\
&=1-P(X\le e^{-y})=1-F_X(e^{-y})=1-e^{-y}\\
&\text{pois, }0<e^{-y}<1 \text{ se } y>0
\end{align*}
$$

Assim, $F_Y(y)=1-e^{-y},\quad y>0.$
<br>$\rightarrow Y\sim \exp(1)$

## Jacobiano

Teorema: Seja $X$ uma v.a contínua com densidade $f_X(x)$. Seja $Y$ a transformação:$Y=g(X)$, 
com g sendo bijetora sobre alguma região aberta. Então:

$$
\begin{align*}
&f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))|J(x,y)|
\end{align*}
$$

sendo $J(x,y)=\frac{dx}{dy}=\frac{d\left[g^{-1}(y)\right]}{dy}$, chamado o Jacobiano de transformação.

Exemplo_1: Se $Y=g(X)$

$$
\begin{align*}
&F_Y(y)=P(Y\le y)=P(g(X)\le y)=\overset{\text{se }g^{-1}\text{ existe}}{P(X\le g^{-1}(y))}=F_X(g^{-1}(y))\\
&F_Y(y)=F_X(g^{-1}(y))\\
&\text{Derivando ambos os membros:}\\
&f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\left|\left[g^{-1}(y)\right]'\right|
\end{align*}
$$

do exemplo contínuo:

$$
\begin{align*}
&f_X(x)=1,\quad 0<x<1\qquad\qquad\qquad y=g(x)=-\ln X\rightarrow x=g^{-1}(y)=e^{-y}\\
&\text{Assim,}\\
&f_Y(y)=f_X(e^{-y})\left|\left[e^{-y}\right]'\right|=e^{-y},\quad y>0
\end{align*}
$$

Exemplo_2: Seja $X\sim N(0,1)$ e seja $Y=X²$. Encontrar a distribuição de $Y$.

$$
\begin{align*}
&f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}{\Large e^{-\frac{x²}{2}},\quad x\in\mathbb{R}}
\end{align*}
$$

como $Y=g(X)=X^2$, então existem duas inversas, dependendo da região.
<br>Nesse caso, define-se:

$$
\begin{align*}
&g_1^{-1}(y)=-\sqrt{y}\quad\text{e}\quad g_2^{-1}(y)=\sqrt{y}
\qquad J_1(x,y)=\frac{-1}{2\sqrt{y}}\quad\text{e}\quad J_2(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}\\
\\
&f_Y(y)=f_X(g_1^{-1}(y))|J_1|+f_X(g_2^{-1}(y))|J_2|\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}{\Large e^\frac{{-\left[-\sqrt{y}\right]²}}{2}}\left|\frac{-1}{2\sqrt{y}}\right|+
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}{\Large e^\frac{{-\left[\sqrt{y}\right]²}}{2}}\left|\frac{1}{2\sqrt{y}}\right|=
2\frac{1}{\sqrt{2\pi}}{\Large e^{\frac{-y}{2}}}\frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi y}}{\Large e^{\frac{-y}{2}}},\quad y>0\\
&\text{Assim: }Y\sim{\large\chi}^{2}_{(1)}
\end{align*}
$$

Se $X_1,X_2,...,X_n$ são iid $N(0,1)\;\longrightarrow X^{2}_{1}+X^{2}_{2}+...+X^{2}_{n}\sim{\large\chi}^{2}_{(n)}$